19_3501663_10.利用点到直线距离的最小性.妙解一类最小值问题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 利用点到直线距离的最小性 问题 函数 f(x)=(+(的最小值 问题 的 解 法 我们知道 点 P(x0,直线 l:ax+by+c=0 的距离就是点 P 到直线 l 上的任意一点的距离的最小值 ;利用该结论可巧妙解一类二元函数的最值问题 . 母题结构 :己知 实 数 x,y 满足 ax+by+c=0(a2+0),则函数 f(x)=(+(的最 小 值 = 22202 )(ba . 母题 解 析 :令 点 P(x0,在 直线 l:ax+by+c=0 上任取一点 Q(x,y),则 f(x)=(+(=|;由 |最 小 值 =点 P 到 直线 l 的距离 d=22 00| 函数 f(x)的最 小 值 =2202 )(ba . 子题类型 :(2003 年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )若 2x+y 1,u=x,则 u 的最小值等于 . 解析 :由 u=x=(x+3)2+( A(),直线 l:2x+,则 2x+y 1 表示直 线 l 及其上方的区域 ,由 A()到 2x+ 的距离 d=556 514. 点评 :本题是 直接考查点到直线距离最小性的典型例子 ,赋于 u=几何意义是解决问题的关键 . 子题类型 :(2011 年全 国高中数学联赛 湖北 初赛试题 )已知 a,b R,关于 x 的方程 x4+x2+=0 有一个实根 ,求 a2+ 解析 :设 t 为方程 x4+x2+=0 的实根 ,则 t4+t2+=0,即 tb+=0,视为 关于 a,b 的直线方程 ,由直线上一点 (a,b)到原点的距离大于原点到直线的距离 22 22324)(|12| a2+1( )12( 42224tt 1( 4)1(4)1( 4244224 tt 4 1+1442t t+4 8,当且仅当24 1=1442t t,且ba= r=1,a=b= r=-1,a=b=2 时等号成立 a2+ 8. 点评 :本题是变式考查点到直线距离最小性的典型例子 ,把 关于 t4+t2+=0,视为关于 a,tb+=0是解决问题的关键 . 子题类型 :(2009年全 国高中数学联赛贵州 初赛试题 )已知向量 a,b,a|=|b|=2,|c|=1,(0,则 |a- b|的取值范围是 . 解析 :设 c=(x,y),则 x2+,由 (0,不妨 设 a,0),0,b),则 a=(x+a,y),b=(x,y+b) a, | 22 ;由 |a|=|b|=2 (x+a)2+,y+b)2=4,两式相 加得 :2by+a2+ 直线 l:2by+a2+0 与圆 x2+ 有交点 圆心 l 的距离 d=22222|6| 1;设 t=| 22 0 | 2t 6 0 8 8+2 7 7 t 7 +1 |取值范围是 7 7 +1. 点评 :本题是隐含考查点到直线距离最小性的典型例子 ,挖掘隐含条件 :2by+a2+,并利用 直线 l:2by+与圆 x2+有交点是解决问题的关键 . 1.(2004 年全 国高中数学联赛福建 初赛试题 )如果实 数 x,y 满足 3x+20,那么 u=x2+最小值是 . 2.(2013 年 江西 高考试题 )设 f(x)= 3 对任意实数 x 都有 |f(x)|a ,则实数 . 3.(2013 年 课标 高考试 题 )设当 x= 时 ,函数 f(x)=得最大值 ,则 . 4.(2013年全 国高中数学联赛 浙 江 初赛试题 )设二次函数 f(x)=2b+1)a,b R,a 0)在 3,4上至少有一个零点 ,求 a2+ 5.(2014 年全 国高中数学联赛 贵州 初赛试题 )已知函数 f(x)=x2+1x+xa+b(x R,且 x 0),若实数 a、 b 使得 f(x)=0 有实根 ,求 a2+ 6.(2014年全 国高中数学联赛 内蒙古 初赛试题 ) 已知 a=xb+yc(x,y R),|a|=|b|=2,|c|=1,(0,则 |取值范围是 . 由 u=x2+x+3)2+( A(),直线 l:3x+2,则 3x+20 表示直线 l 及其上方的区域 ,由A()到 2x+ 的距离 d=13138 1366. 由 f(x)= 3 f( )= 3 令 x,y,则 x2+,且 3 x+ )=0 直线 l: 3 x+ )=0 与圆 x2+ 有交点 圆心 O 到直线 l 的距离 d=2 |)(| f 1 |f( )| 2 |f(x)| 2;所以 ,对任意实数 x 都有 |f(x)|a |f(x)|a a 2 实数 a 的取值范围是 2,+) . 设 a,b,则直线 l:2f(x)=0与圆 a2+有交点 圆心 d=5|)(| 1 |f(x)| 5 ;当且仅当 25 =0,且 a2+,即 a=b=51时 ,等号 成立 ,此时 ,a=设 一个零点 为 t,则 t 3,4,且 2b+1),即 (a+2tb+,看成关于 a,b 的直线方程 ,由直线上一点 (a,b)到原点的距离大于原点到直线的距离 22 222 )2()1(|2| a2+(122=2425)2(1 01,因为 53,4上是减函数 当 t=3 a=b=等号 成立 a2+设 实根 为 t,则 t2+1t+ta+b=0,即 (t+t1)a+b+1t=0,视为 关于 a,由直线上一点 (a,b)到原点的距离大于原点到直线的距离 22 1)(|2122 s=1t 2) a2+2s+3)+394,当且仅当s=2,即 t=1,a=b=等号 成立 a2+设 c=(x,y),则 x2+,由 (0,不妨 设 a,0),0,b),则 a=(x+a,y),b=(x,y+b) a, | 22 ;由 |a|=|b|=2 (x+a)2+,