【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)

22018 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间： 2018 年 6 月 30 日上午 9:00 11:30）题号 一二总分9 10 11 12得分评卷人复核人注意： 1. 本试卷共 12 小题，满分 150 分； 2. 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3. 书写不要超过装订线； 4. 不得使用计算器 .一、填空题（每题 8 分，共 64 分，结果须化简）1. 设三个复数 1,i, z 在复平面上对应的三点共线，且 | z | 5，则 z . 2. 设 n 是正整数，且满足 n5 438427732293，则 n . 3. 函数 f (x) | sin(2x) sin(3x) sin(4x) | 的最小正周期 .4. 设点 P,Q 分别在函数 y 2x 和 y log x 的图象上，则 | PQ |的最小值 . 5. 从 1,2, ,10 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差 s2 1的概率 . 6. 在边长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 AC1 相切，则小球半径的最大值 . 7. 设 H 是 ABC 的垂心，且 3HA 4HB 5HC 0 ，则 cos AHB .8. 把 1,2, , n2 按照顺时针螺旋方式排成 n 行 n 列的表格 T ， 第一行是 1, 2, , n . 例如：T1 2 38 9 4 .n设 2018 在 T100 的第 i 行第 j 列，则 (i , j ) .二、解答题（第 9 10 题每题 21 分，第 11 12 题每题 22 分，共 86 分）3 7 6 59. 如图所示，设 ABCD 是矩形，点 E, F 分别是线段 AD, BC 的中点，点 G 在线段 EF 上，点 D, H 关于H线段 AG 的垂直平分线 l 对称 . 求证 : HAB 3 GAB . D ClE G FA Ba b a b10. 设 O 是坐标原点，双曲线 C : x2 y21(a 0,b 0) 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A, Ba2 b2两点 .（ 1）求证 : AOB 的面积 S 是定值；（ 2）求 AOB 的外心 P 的轨迹方程 .11. （ 1）求证：对于任意实数 x, y, z 都有 x2 2y2 3z2 3( xy yz zx) .（ 2）是否存在实数 k 3 ，使得对于任意实数 x, y, z 下式恒成立？x2 2y2 3z2 k(xy yz zx)试证明你的结论 .12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色 . 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数 . 参考答案和评分标准一、填空题（每题 8 分，共 64 分）1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 i 或 3 4 i 213 2 1 ln(ln 2) 2 ln 2 1 15 4 6 5 66(34,95) 二、解答题（第 9 10 题每题 21 分，第 11 12 题每题 22 分，共 86 分）9由 E, F 分别是 AD, BC 的中点，得 EF / AB AD (3 分 ) 设 P 是 E 关于 l 的对称点，则 EP / AG l ，故四边形 AEPG 是等腰梯形 (8 分 ) 进而 PAG EGA GAB ， APG GEA ，从而 AP HG (13 分 ) 再由 HP DE EA PG ，得 HAP PAG GAB (18 分 ) 因此， HAB 3 GAB (21 分 ) 10 (1) M ( x0 , y0 ) 处的切线方程 x0 x a2 y0 y b2 1 (3 分 ) 与渐近线方程联立，得 A( x1 , y1 ) x0 y0 , x0 y0 ， B( x2 , y2 ) x0 y0 , x0 y0 (6 分 ) a b a b a b a b 1 2 4 3 2从而， S 2 x1 y2 x2 y1 ab 是定值 (9 分 )(2) 由 (1) 可设 A( a, b), B( , ), P( x, y) ， 为非零常数 (12 分 )a b由 PA PO PB ，得 ( x a) 2 ( y b)2 x2 y2 ( x a )2 ( y b ) 2 (15 分 )从而有 ax by (a2 b2 ) ， ax by 1 (a2 b2 ) (18 分 )上述两式相乘，得 P 的轨迹方程为 a 2 x 2 b 2 y 2 1 (a 2 b 2 )2 (21 分 ) 11 (1) 由均值不等式， 1 x2 3 y 2 3xy， 1 x2 3 z 2 3xz， 1 y 2 3 z 2 3 yz 2 2 2 2 2 2 故 x 2 2 y 2 3 z2 3 xy yz zx (8 分 ) (2) x2 2 y2 3z 2 k xy yz zx (x k y k z) 2 (2 k 2 ) y2 (3 k 2 )z 2 ( k 2 k) yz (14 分 )2 2 k 2 k 2 24 4 2 k2 k2上式 0 恒成立当且仅当 2 4 0 且 ( 2 k) 4(2 4 )(3 4 ) (18 分 )化简得 k 2 2 且 k 3 6k 2 24 0 显然， k 2 3 满足要求 (22 分 )12设 N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目， M 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目， xi 是以第 i 个顶点为端点的红色线段数目，则有2018 M N C2018 ， xi (2017 xi ) 2M (10 分 )i 1 3 2 3当且仅当每个 xi 1008或 10