d52多元函数的极限连续性

目录 上页 下页 返回 结束 第五章 第二节一、多元函数的概念二、多元函数的极限与 连续性三、多元连续函数的性质多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 一、多元函数的概念 引例 : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式目录 上页 下页 返回 结束 定义 1. 设非空点集点集 D 称为函数的 定义域 ; 数集称为函数的 值域 .特别地 , 当 n = 2 时 , 有二元函数当 n = 3 时 , 有三元函数映射 称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 二元函数定义域为 圆域说明 : 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面 .的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为 空间中的超曲面 .单位闭球目录 上页 下页 返回 结束 等值线 ： 另一种表示函数 z=f(x,y)的方法是利用xOy面上的曲线族。当点 (x,y)在其中每一条曲线f(x,y)都取相同的值所谓的等值线 f(x,y） =C， 其中 C为常数。它表示上变化时 . 函数目录 上页 下页 返回 结束 容易看出，等值线f(x,y)=C实际上就是曲面 z=f(x,y)与平面 z=C 的交线在 xOy平面上的投影。因此 ,将等值线f(x,y)=C族中各曲线升到相应得高度 z=C处就不难想象出曲面z=f(x,y)的图像目录 上页 下页 返回 结束 例 画出函数 的 等值线， 并由此等值线解 : 显然等值线为可知， 此曲面仅位于 xOy平面的上方， 与 xOy平面讨论此曲面的形状。容易看出，当 C0时，等值线是以原点为中心的同心圆 ， C越小半径越小 ; C=0时为原点 O(0,0); C0时无轨迹。由此切于原点， 在 xOy平面上方与水平平面 z=C的截面都是圆， 且越往上开口半径越大目录 上页 下页 返回 结束 定义 设非空点集是自变量 ; 是因变量，显然，一个 n 元向量值函数 y=f(x)对应于 m 个 n 元数量值函数映射称为定义 在 D 上的 n 元向量值函数 , 也可记作目录 上页 下页 返回 结束 为运算方便， 有时把其中与 中的向量写成列向量， 在这种情况下 n 元向量值函数 也可记作目录 上页 下页 返回 结束 例 我们知道 , 空间中曲线的参数方程为它可以看做是从 到 的一个映射，即一元其中向量函数目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的极限和连续性定义 2. 3 设 n 元函数点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限 )当 n =2 时 , 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A , 对一记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,切目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 设求证 :证 :故总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 设求证：证：故总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 如图x x0 x x注： 当点趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在 .函数说明： 目录 上页 下页 返回 结束 xoX0XD对二元函数 f (X), 如图有 点 X以任何方式趋近于 X0时 , f (X)的极限都存在且为 A.Dz = f (x, y)Xf (X)MX0Ayzxo目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 设 f (x, y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在 .证 : 只须证明当 X 沿不同的线路趋于 (0, 0)时 , 函数f (x, y)对应的极限也不同即可 .目录 上页 下页 返回 结束 考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于 (0, 0)的情形 .如图对应函数值xoy目录 上页 下页 返回 结束 从而 , 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于 (0,0)时 , 函数极限当 k 不同时 , 极限也不同 . 因此 , f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .请考察当 X = (x, y)沿 x 轴 , 沿 y 轴趋于 (0, 0)的情形 .目录 上页 下页 返回 结束 沿 x 轴 , y = 0. 函数极限= 0沿 y 轴 , x = 0. 函数极限= 0但不能由此断定该二重极限为 0目录 上页 下页 返回 结束 例 . 求累次极限解：和二元函数还可以定义两个累次极限 和累次极限 目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在 , 推不出其它二者存在 .注 . 二重极限不同 . 如果它们都存在 , 则三者相等 .例如 , 显然与累次极限但由 例 3 知它在 (0,0)点二重极限不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 注：多元数量值函数极限的概念可推广到多元向量值函数的情形定义： 设 D为一点集则称 a 为函数为一 n元向量值函数对一记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,切是 D 的聚点目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的连续性 定义 3 . 设 n 元函数 定义在 D 上 ,如果函数在 D 上 各点处 都连续 , 则称此函数 在 D 上如果存在否则称为 不连续 , 此时称为 间断点 .则称 n 元函数连续 .连续 , 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 函数在点 (0 , 0) 极限不存在 , 又如 , 函数上间断 .故 ( 0, 0 )为其间断点 .在圆周结论 : 一切多元初等函数在定义区域内连续 .目录 上页 下页 返回 结束 定理 ： 设 是紧集， 是 A 上的 (2) f在 A 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (最值定理 ) (3) 对任意(介值定理 ) 三 . 多元连续函数的性质 :的连续函数， 则(有界性定理 ) (1) f在 A上有界 ;目录 上页 下页 返回 结束 定理 ： 设 是紧集， 在 A 上连续 , f 必在 A 上一致连续 , 即(证明略 ) 时， 恒有注： 有界闭区域都是连通的紧集，故上述定理对有界闭区域上的连续函数都成立。(一致连续性定理 ) 目录 上页 下页 返回 结束 解 : 原式例 5.求例 6. 求函数 的连续域 .解 :目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 多元函数概念n 元函数常用 二元函数(图形一般为空间曲面 )三元函数目录 上页 下页 返回 结束 有2. 多元函数的极限3. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质 :有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理3) 一切