d6_2二阶常系数齐次线性微分方程

目录 上页 下页 返回 结束 复 习1. 微分方程的概念微分方程 ; 定解条件 ;2. 可分离变量方程的求解方法 :说明 : 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如 , 方程分离变量后积分 ; 根据定解条件定常数 .解 ; 阶 ; 通解 ; 特解y = x 及 y = C 3. 齐次方程 令解法 : 然后分离变量 .目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 求下列方程的通解 :提示 : (1) 分离变量(2) 方程变形为(3) (3)(4) (4) 令目录 上页 下页 返回 结束 4. 一阶线性方程方法 1 先解齐次方程 , 再用常数变易法 .方法 2 用通解公式通解为常数变易： 令 ，代入原方程确定 u(x).目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习判别下列方程类型 : 提示 :可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数 第五节齐次线性微分方程 基本思路 : 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程 (代数方程 )之根转化第六章 目录 上页 下页 返回 结束 (二阶线性微分方程 )时 , 称为非齐次方程 ; 时 , 称为齐次方程 .复习 : 一阶线性方程通解 :非齐次方程特解齐次方程通解 Y一、二阶线性微分方程概念 目录 上页 下页 返回 结束 证毕二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解 ,也是该方程的解 .证 : 代入方程左边 , 得(叠加原理 ) 定理 1.目录 上页 下页 返回 结束 说明 :不一定 是所给二阶方程的通解.例如 , 是某二阶齐次方程的解 ,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题 , 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念 . 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关概念：线性相关 存在不全为 0 的 使( 无妨设线性无关 常数思考 : 中有一个恒为 0, 则必线性 相关目录 上页 下页 返回 结束 定理 2. 是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 数 ) 是该方程的通解 .例如 , 方程 有特解 且常数 , 故方程的通解为则目录 上页 下页 返回 结束 三、二阶常系数齐次线性微分方程 :和它的导数只差常数因子 ,代入 得称 为微分方程 的 特征方程 ,1. 当 时 , 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解 :因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令 的解为 则微分其根称为 特征根 .目录 上页 下页 返回 结束 特征方程2. 当 时 , 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解 ( u (x) 待定 )代入方程得 :是特征方程的重根取 u = x , 则得 因此原方程的通解为目录 上页 下页 返回 结束 特征方程3. 当 时 , 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解 :利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解 :因此原方程的通解为目录 上页 下页 返回 结束 小结 :特征方程 :实根 特 征 根 通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 的通解 .解 : 特征方程 特征根 :因此原方程的通解为例 2. 求解初值问题解 : 特征方程 有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为目录 上页 下页 返回 结束 例 3.解 : 所给方程的特征方程为因此所求通解为目录 上页 下页 返回 结束 四、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时 , 物体处于 平衡状态 , 例 4. 质量为 m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 ,力作用下作往复运动 ,解 :阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开 ,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点 ,建立坐标系如图 . 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况 .弹性恢复力物体所受的力有 :(虎克定律 )成正比 , 方向相反 .建立位移满足的微分方程 .目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得则得有阻尼 自由振动方程 :阻力位移满足定解问题 :目录 上页 下页 返回 结束 方程 :特征方程 : 特征根 :利用初始条件得 :故所求特解 :方程通解 :1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )目录 上页 下页 返回 结束 解的特征 :简谐振动 A: 振幅 , : 初相 , 周期 : 固有频率 (仅 由系 统 特性确定 )目录 上页 下页 返回 结束 方程 :特征方程 :特征根 :小阻尼 : n k临界阻尼 : n = k 解的特征解的特征解的特征目录 上页 下页 返回 结束 小阻尼自由振动解的特征 : 由初始条件确定任意常数后变形运动周期 : 振幅 : 衰减很快 ,随时间 t 的增大物体趋于平衡位置 .目录 上页 下页 返回 结束 大阻尼解的特征 : ( n k )1) 无振荡现象 ; 此图参数 : 2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 .目录 上页 下页 返回 结束 临界阻尼解的特征 : ( n = k )任意常数由初始条件定 , 最多只与 t 轴交于一点 ; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 .2) 无振荡现象 ;此图参数 : 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数非齐次线性微分方程 第六节一、二、第六章 （略）目录 上页 下页 返回 结束 一、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解 , Y (x) 是相应齐次方程的通解 ,定理 1.则是非齐次方程的通解 .证 : 将 代入方程 左端 , 得目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解 , 又 Y 中含有两个独立任意常数 ,例如 , 方程 有特解对应齐次方程 有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式 ,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法目录 上页 下页 返回 结束 一、 为实数 ,设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 .(1) 若 不是特征方程的根 , 则取从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多