一致连续函数性质的应用(2)

1一致连续函数性质的应用（2）定理 1 设 在 上有定义，且在 上有界，则有(),fxgII（1） ；sups()sup()xIxIxIfgx（2） ；inf()ifIIxIg（3） ；sups()sup()xIxIxIf fgx（4） 。in()iIIxIg证明 （1）由 ()()fxfgx，sup()sup()xI xIfg得 ，sup()xIxI xIff从而 ，sup()s()xIxIxIfgfg由对称性， ，up()xIxIxIffx所以 ；sup()s()s()xIxIxIfgfg（2） ff()()xgx，supxIf得 ，inf()()()xIxIfgxisupxIIx，()inf()xIxIgfg从而，inf()if()sup()xIxIxIf，iixIxIxIgfgfx故有 ；in()i()sup()xIxIxIff2（3） ；sup()s()sup()sup()xIxIxI xIfgfgfgx（4） 。iniIIxI xI定理 2 设 在 上连续，对每一 ，记 ， ，()fx,ab,ab()sup()atxMfinf()atxm则 ， 在 上连续。Mm,证明 (1) ，对任意 ，01()sup()s()atxuffaux0,xb0 0101() sp()uuxff，0sp()axax由 在 上一致连续，对任意 ，存在 ，当 ， 时，()fx,ab012,xab12x有 ，12ff于是当 ， 时，0,xab0x， （ ）0(1)(1)uuax00,1u，0()faxf从而有 ,即得 在 上连续；0()M()Mx,ab(2) ，01()infifatxumu0 0101i()inf()uuxfaxax，0sp因为 在 上连续， 在 上一致连续，()fx,ab()fx,ab对任意 ，存在 ，当 ， 时，有 ，0012,12x12()fxf于是当 ， 时，0,xab0x， （ ）0(1)(1)uuax00,1u，0()faxf,即得 在 上连续。0m()mx,ab3定理 3 设 在 上连续，对每一 ，记 ，(,)fxy,abcd,xab()sup(,)cydFxfx，()inf(,)cydGxx则 ， 在 上连续。F,ab证明 由 在 上一致连续，(,)fxy,cd对任意 ，存在 ，当 ， ， ， 时，0012,xab12,ycd12x12y有 ，12(,)(,)fxyf，1212|sup,sup(,)|sup|(,)(,)|cydcydcydFfxfxfxfy即得 在 上一致连续；()x,ab同理可证 在 上一致连续。G,定理 4 设 在 上连续，对每一 ，记 ，()fxyz,abcdef,xab()sup(,)cydezfFxx(,)sup,ezfxy则 在 上连续， 在 上连续。F,ab(,)Gxy,abcd1、 设函数 在 上一致连续， ， 在 上通过下式定义函数 ：)(f,)0(,)g，()sup:,(,)gxyzx试证 在 上一致连续。(,)证明 )sup(:,(,)gxfyzx，1212):,(,xtftt12|()|gx1121221212|sup)():,(,)sup()():,(,)|ftfxttfxtfxtt1( :,fxtftfxtftt，121sup)():(,)ftfxt1222sup()():(1,)fxtfxt由 在 上一致连续，,4对任意 ，存在 ，当 ， ，时，0012,(,)z12z有 ，12()fzf于是，当 ， ，时，,(,)x12x有 ，12|()|g即得 在 上一致连续。x,)设 ， 是在 上有定义的周期函数，)(fgx(,)且 ，(0limxfgx试证 。()fg证明 ， 的周期分别为 ，12,0T对任意 ， 由条件，得(,)x()fg11121222)()()()()()limnfxTgxngxnTfxnTfxnTgx，故得 。 02、若函数 在 上一致连续，求证： 在 上有界.)(xf),xf)(),证:由函数 在 上一致连续，1对 , ,对 ,且满足 时,有0,)x|,|(|1ffx特别有 ,|(1)|fn于是 |()|()|ffnf,( )|)|1k 1(k对任意 ,存在 ,使得 ,1)xm()x|()|(|()|ffffm()(kf5,()mfk()xfk故有,|x11|()|fk即得 在 上有界.f)(),3、若函数 在 上一致连续，求证：存在 正常数 ，使得 。xf(,),ab|()|fxab三、设函数 在 上一致连续，且对任何 ，有f0,)0,1x，(limnfxn证明： 。()0xf试举例说明，仅有 在 上的连续性推不出上述结论。f,)证明 证法一由 在 上一致连续，对 ， ，f0,)00当 12,)y且 时，12|便有 ；12|()()|fyfy取定充分大的正整数 ，使得 。现把区间 等分，设其分点为k10,1k，每个小区间的长度小于 。,0,1,ixik 对于任意 ，；0,1)x6从而必有 ，使得 ；,0,1,ixk |ixx由条件对每个 ，有 ；i ()0lminfn于是存在 ，当 时， ，对 都成立；N|()|2ifx0,1,ik故当 时，便有1x，|()|()|()()|i iffxfxfx2即得 ，结论得证。()0limxf证法二 设 ,由题设条件知()()nffxn在 上等度一致连续,对每一 ,有nfx01 01x;()linnf利用 Osgood 定理得, 在 上一致收敛于 0,()nfx0,1对 ,存在 ，当 时, 0N有 , ,|()|()|nfxfxx从而当 时,有 ,1|()|f即得 ，结论得证。()0limxfx4、设 在 上的连续，且对任何 ，f0,) 0,1x有 ，但推不出 。(0linfxn()limxf7例如函数满足在 上的连续，且对任何 ，2sin()1xfxx0,)0,1x有 ，()0limnf但不成立 。()xfx实事上, 取 ，,*Nn1ny显然有 ， （ ） ，ny但是 21()sin|)| |nf ， （ ） ，2222si1()1sin()()n所以不成立 .()0limxf7. 设 在 上连续可微， 收敛，且 在 上一致连续，f,a)(lixff),a试证必有 .0)(lifx证明 由 在 上一致连续，得，对 ， ，当 ，且),aI 0Ix21,时，便有 ；|21x12|(|fxf由 收敛， ，由微分中值定理，存在)(limfxli)nfn，使得 ，于是有 .1,n(1()nffflim()0nnf8对上述 ，存在 ，当 时，便有 ；0*Nn|()|nf取 ，对任意 ，必存在正整数 ，使得 ，MMxNm)1(,mx，故得 .|()|()|()|2mfxfffli()0xf8. 设 且 存在， 在 上有界，2,)fCali()xf()f,a试证成立 .li(0xf6. 设函数 在 上有三阶导数，并且 和 在 上有界，)(f),)(xf)(f),试证： 和 也在 上有界.x(f),例 13 设 在 上连续可微，且 收敛， 在 上有界，f),adxfa)()fx,a则必有 ， 。0(limx0)(lixf证明 设 ，则有 收敛，且 在 上有界，)aFtdlim()xF(),xF,于是 在 上有界， 在 上一致连续，(,x,a从而 。 ，故 ， 。li)0xli()x0)(lifx 0)(lixf例 14 设 ，且 ，对某个 ，2(,fCf函数 在 上有界 ，)xf(0,)试证 。lim(xf证明 设 ，则有 在 上有界，()()gfxf ()gx0,)于是 在 上一致连续；0,由 ，且 ，知 在 上一致连续；2()fClim()xfl()fx1,)从而 在 上一致连续；xg1,由 和 在 上一致连续，li()xfl()f)得到 。09二阶常微分方程解的一个性质定理 设 且 是方程),(),(2RCxqfxq（ 为常数） 。,0)(fcc的一个解,若 ，x)(lim则