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文档简介

一. 填空题1设 , 则 a = _.解. 可得 = , 所以 a = 2.2. =_.解. 0, b 0解. = 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. , 所以 x = 0为第一类间断点.(2) 解. 显然 , 所以 x = 1为第一类间断点;, 所以 x = 1 为第一类间断点.(3) 解. f(+0) =sin1, f(0) = 0. 所以 x = 0为第一类跳跃间断点;不存在. 所以 x = 1为第二类间断点 ;不存在, 而 ,所以 x = 0为第一类可去间断点;, (k = 1, 2, ) 所以 x = 为第二类无穷间断点.5. 设 , 且 x = 0 是 f(x)的可去间断点. 求, .解. x = 0 是 f(x)的可去间断点, 要求存在. 所以. 所以0 = = 所以 = 1.= 上式极限存在, 必须 . 6. 设 , b 0, 求 a, b的值.解. 上式极限存在, 必须 a = (否则极限一定为无穷). 所以= . 所以 .7. 讨论函数 在 x = 0处的连续性.解. 当 时不存在, 所以 x = 0为第二类间断点;当 时, 所以 时,在 x = 0 连续, 时, x = 0 为第一类跳跃间断点.8. 设 f(x)在a, b上连续, 且 a b, 试证在(a, b)内至少存在一个, 使 f() = .证明: 假设 F(x) = f(x)x, 则 F(a) = f(a)a 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个, 使 f() = .10. 设 f(x)在0, 1上连续, 且 0 f(x) 1, 试证在0, 1内至少存在一个, 使f() = .证明: (反证法) 反设 . 所以 恒大于0或恒小于 0. 不妨设 . 令 , 则 . 因此 . 于是 , 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个, 使 f() = .11. 设 f(x), g(x)在a, b上连续, 且 f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个, 使f() = g().证明: 假设 F(x) = f(x)g(x), 则 F(a) = f(a)g(a) 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个, 使 f() = .12. 证明方程 x53x2 = 0 在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令 F(x) = x53x2, 则 F(1) =4 0所以 在(1, 2)内至少有一个, 满足 F() = 0.13. 设 f(x)在 x = 0的某领域内二阶可导, 且 , 求 及 .解. . 所以. f(x)在 x = 0的某领域内二阶可导, 所以 在 x = 0连续. 所以 f(0) = 3. 因为, 所以 , 所以= 由 , 将 f(x)泰勒展开, 得, 所
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