企业退休职工养老金制度的改革

2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：企业退休职工养老金的模型摘要：养 老 保 险 是 世 界 各 国 较 普 遍 实 行 的 一 种 社 会 保 障 制 度 ， 我 国 也 不 例 外 ， 我国 的 养 老 保 险 改 革 正 处 于 过 渡 期 。对 于 问 题 一 ， 根 据 附 件 1， 利 用 MATLAB 画 出 年 对 应 的 散 点 图 像1978201， 根 据 图 像 分 析 ， 年 平 均 工 资 成 指 数 增 长 模 型 ， 并 对 它 进 行 拟 合 ， 函 数 为 ：。 接 着 从 网 上 查 找 了 一 些 国 家 统 计 局 数 据 ， 并 进 行 拟 合 ， 建 立 了254.63019xye中 国 经 济 增 长 函 数 为 ， 观 察 图 像 3， 发 现 中 国 经 济 增 长 和 年 平 均275.9340.12xye工 资 增 长 模 式 吻 合 ， 确 定 了 模 型 1 对 年 平 均 工 资 的 增 长 假 设 较 为 合 理 。 利 用MATLAB 画 出 拟 合 图 像 2， 发 现 图 像 3 与 拟 合 图 像 2 相 吻 合 。 因 此 预 测 2011 年 至2035 年 的 山 东 省 职 工 的 年 平 均 工 资 。对 于 问 题 二 ， 根 据 附 件 2 数 据 ， 利 用 EXCEL 算 出 年 该 企 业 各 年 龄 段 职 工09工 资 与 该 企 业 平 均 工 资 之 比 ， 即 得 出 职 工 缴 费 指 数 的 参 考 值 （ 附 件 8） ， 建 立 替 代率 的 函 数 模 型然后分别将该企业职工自 2000 年起从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，这六种情况的对应值代入 中，养老金替代率利用 EXCEL 分别算出来 ，10.2649， ， ， ， 。2.738740.178350.486360.2751对于问题三，由题意，养老金保险基金的来源于企业将职工工资总额的 20%缴纳到社会统筹基金账户与职工个人工资的 8%缴纳到个人账户，养老金的支出即为发放给个人的退休养老保险额，则收支平衡模型为：当 时，养老金的收支达到平衡；即此人领养工资 62 岁时，缴存的养老保险0Q与其领养的养老保险之间达到收支平衡。对于问题四应该从社会养老保险基金的征缴、发放与管理等方面做好收支平衡的工作。关键词：拟合；MATLAB 软件； EXCEL 软件 ；指数增长；收支平衡121()mdiii iamQxrY1211%()2mi miikxcxrb.问题提出1养 老 保 险 是 世 界 各 国 较 普 遍 实 行 的 一 种 社 会 保 障 制 度 ， 我 国 也 不 例 外 ， 我 国 的养 老 保 险 改 革 正 处 于 过 渡 期 。附 录 中 没 有 提 到 职 工 在 职 期 间 每 月 的 缴 费 工 资 ， 因 此 需 要 根 据 题 意 及 附 录 估 算出 职 工 在 职 期 间 每 月 的 缴 费 工 资 ；个 人 账 户 储 存 额 储 存 在 银 行 ， 务 必 考 虑 个 人 账 户 的 利 息 ， 而 且 得 考 虑 的 是 银 行的 存 款 利 息 是 按 复 利 计 算 还 是 按 单 利 计 算 ， 这 个 问 题 便 可 在 假 设 中 说 明 ；该 职 工 自 2000 年 起 从 30 岁 、 40 岁 开 始 缴 养 老 保 险 ， 一 直 缴 费 到 退 休 （55 岁，60 岁，65 岁） ，退休当年，该职工是否还缴养老保险金这容易让人产生误解，值得考虑，根据题意，我们多次的揣摩，认为退休当年不缴养老保险金，且从退休的当年便可以领取养老保险了；既要达到目标替代率，又要维持养老金之间收支平衡，则根据问题二与问题三的模型便可求出，参保人员退休前 年的值，而要同时满足这两个模型，求出的 值很mm可能不一样，因此得采取适当的措施来达到目标替代率同时能够维持养老保险基金的收支平衡。.问题的分析2本文讨论了历年养老金的缴费、替代率、养老保险的缺口的问题。问题一针对未来中国经济的发展和工资的增长趋势，我们建立的指数增长模型，利用 MATLAB 算出的函数，从而根据函数预测出未来中国经济的发展和工资的增长趋势。同样的方法预测出山东省职工的年平均工资。问题二针对替代率，根据题意及附录的信息便可估算出 2000 年到 2035 年个人退休前的工资，从而计算出六种情况下的替代率。问题三针对缺口问题，影响缺口的因素主要有缴存养老保险基金额与领取的养老保险基金额，根据题意及附录，建立了收支差额模型，对模型进行求解便可算出该企业职工自 2000 年从 30 岁开始缴养老保险金，一直领养到 62 岁时，他缴存的养老保险基金与领取的养老保险基金达到收支平衡。问题四针对目标替代率与养老保险金的收支平衡，可以提出一些合理的措施，如适当提高退休年龄、推迟职工的就业年龄、建立健全有关的法律法规等。模型假设3.1.假设此人是年初退休；2.假设 年时该企业职工恰好为 岁或 岁；20043.假设山东该企业职工在 2000 年到 2035 年无死亡情况；4.假设现阶段企业与个人的缴费比例都不变。.符号说明：职工退休时的养老金；Y：基础养老金；H：个人账户养老金；G:国家收入与支出的差值；Q：本人指数化月平均缴费工资；S： 企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计；n：企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限；m：替代率；：开始缴纳养老保险的年份a：职工的死亡时的年龄d：参保人员退休前 年本人缴费工资额 ；ixi 1,2im：参保人员退休前 年山东省 “职工平均工资” ；ic ,i：年龄为时退休养老金的计发月数 。kb40,7k：职工工人工资缴纳到个人账户的比例为i8%：个人账户储存额一年期存款的利率为r 35 模型求解（一）问题一的求解根据附件 1 中的统计数据，利用 MATLAB 对数据进行描点，画出散点图，如图 1 所示：1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 201000.511.522.533.5x 104通过对图像的观察，建立山东省平均工资关于年份成指数增长模型 1，（ 1）1pxqye利用 MATLAB 对散点进行拟合（见图 2）并求解，得出平均工资关于年份的关系式为：（ 2）10.391.47x（ 求 解 过 程 见 附 件 1）图 11975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 201000.511.522.533.5x 104 人人1人人人人人人人图 2由题可知，工资水平与人均 GDP 相关，根据中国历年 GNP 和人口增长率 求的从 21978-2009 年的人均 GDP（附件 3 表 1） ，而利用 MATLAB 对数据进行拟合，求解的出人均 GNP 关于年份的表达式为:（ 3）120.42.45xye（ 求 解 过 程 见 附 件 1）利 用 MATLAB 进 行 绘 图 ， 通 过 对 比 平 均 工 资 的 增 长 和 人 均 GDP 的 增 长 模 式 相 符 （ 见图 3） ， 从 而 推 断 出 模 型 1 的 假 设 是 合 理 的 。 因 此 可 以 预 测 中 国 经 济 发 展 和 工 资 都是 成 指 数 增 长 趋 势 ； 2011 年 -2035 年 山 东 省 职 工 的 年 平 均 工 资 也 是 成 指 数 增 长 趋 势 ，预 测 到 2035 年 。 如图 3 所示：1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040024681012x 105 GNP人人人人人人人人人人人人人人人人人人人GNP图 3结果给出（二）问题二的求解根据附录 2，利用 EXCEL 软件计算出 2009 年该企业各年龄段职工的总人数及各年龄段职工年工资总额（其中：某年龄段年工资总额= 各档工资的中值相应年12龄段该档工资的人数） ，然后将各年龄段职工年工资总额与对应年龄段职工的总人数相比即得出各年龄段职工年工资的平均值。同理，也可以算出 2009 年山东省该企业的年平均工资。由题意，将各年龄段职工年工资的平均值分别与山东省该企业的年平均工资相比，得出的即是职工缴费指数的参考值。应给出缴费指数，结果。 （太简单）个人账户储存额以当时公布的一年期存款利息计算，题中利息统一设定为 。3%由题意，养老金=基础养老金+个人账户养老金，即；YHG个人账户养老金=个人账户储存额 计发月数，即；21()( )miikGxrb值 见 养 老 金 的 计 算 方 法 基础养老基金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化平均缴费工资） 缴费年限 ，即2%121%cHSm本人指数化平均缴费工资 1112 1.2mimxccxxS因此替代率 1211%()2mi miikxcxrb若该职工 2000 为 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到 55 岁退休，此时计算出从 30到 55 岁缴纳的个人账户养老基金，即这年龄段中每年工资的本息和的 8%，30-34 岁段个人账户养老金和为 元；35-39 岁段个人账户养老金和为 17256.02379 元；9172.0640-44 岁段个人账户养老金和为 31440.71794 元；45-49 岁段个人账户养老金和为57027.22061 元；50-54 岁段个人账户养老金和为 114116.7198 元；将这些年龄段累加得出个人账户养老金 计发月数，即得出个人账户养老金值为元；此年龄段对应的本人指数化月平均缴费工资为 21020.66 元，进而算出基础养老金，便可算出退休时的养老金，此时退休前工资为 元，最终算出此种情2675.1297.15况的替代率为 ，同样地计算出 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到 6010.25439岁退休，此种情况的替代率为 ；30 岁开始缴养老保险，一直缴费到20.965 岁退休（因为附件中没有 60-64 岁年龄段的月平均工资，因此需要对这个年龄段的总工资，与这个年龄段的总人数分别进行二次函数拟合与一次线性函数拟合，拟合结果见附件 7）得出 60-64 段的个人月平均工资为 1259.693878，缴费指数为 0.48821，此种情况的替代率为 ；40 岁开始缴养老保险，一直缴费到 55 岁退休，30.78249此种情况的替代率为 ；40 岁开始缴养老保险，一直缴费到 60 岁退休，40.169572此种情况的替代率为 ：40 岁开始缴养老保险，一直缴费到 65 岁退休，5此种情况的替代率为 。6.83（求解见附件 8）（三）问题三的求解由图 3 可知山东省该职工历年平均的工资，由附件 2 可知该职工 2009 年的个人平均工资，结合图 2 与图 3，可以观察，个人的平均工资与社会平均工资的变化是呈正相关的，则有0920=年 山 东 省 年 平 均 工 资 年 山 东 省 年 平 均 工 资年 人 均 工 资 年 人 均 工 资便可求出该职工自 2000 年 30 岁时的平均工资，同理我们可以得出从 2000 年到2035 年个人退休前的工资，如图 5 所示，利用图 5 中的数据算出六种情况的对应 值，S从而算出六种情况下历年的养老保险 ，建立收支平衡模型为：iY121()mdiii iamQxrY当 时，不存在养老保险金的缺口情况；0Q当 时，养老金的收支达到平衡；当 时，存在养老保险金的缺口情况。历年养老保险 iY将 2000 年从 30 岁开始缴养老保险直到（55 岁，60 岁，65 岁）退休时对应的值代入 ,从而得出， , , ;（见附件Q178364.52439.57Q382.906Q11）要使收支平衡，则令 时，此时得出 ，约等于 62 年，即该职工领取养061.d老金到岁时 62 岁，养老保险达到收支平衡。（四）问题四的求解措施 一：退休年龄5退休年龄是决定养老金负担水平的一个基本因素。在平均预期寿命和保障水平一定的情况下，提高退休年龄，不仅可以缩短平均享用养老金年限，降低养老金支付总负担，而且还可以延长职工缴纳养老保险费的期限，增加养老保险基金收入，从双向有利于实现养老基金收支的平衡。措施二：缴费工资按照国家规定，企业应以全部职工缴纳工资基数之和作为缴费基数。缴费基数的大小对社保基金收入的增减以及缴费率升降产生重要影响，在缴费比例既定的前提下，缴费基数大，基金收入数额就越大。当基金收入达到一定规模的结余后，又为降低缴费比例创造了条件；反之，缴费基数小，基金收入就少，从而不利于基金收支的平衡。为了保持养老基金收支的平衡，人们又不得不提高养老保险费的征收比例。措施三：就业年龄根据我国的基本养老保险制度，则每个退休职工从 岁到 岁每年获得养老1mad金和为该职工的总款额 ，将它折算为其在 岁时初的现值为 ：1maiYC1maiiYCr每个职工从 岁开始工作，到 岁退休。退休后养老金包括基础养老金在a1a岁出的现值 和个人人账户养老金在 岁出的现值 .则：a1D2D111 12%mid iaimaxcr 2211()1dmiikiaimaDxrbr12D根据社会养老基金“以收定支”的原则进行测算，则 0C据此，在其他变量不变的情况下， 每增大一岁，养老金的缴费年限就会减少一a年，总供款额会因此减少，进入个人账户的供款额也相应减少，故个人账户储存额减少，从而个人账户养老金年龄额也降低。在领取年限不变的情况下，总额款项也因此而减少。因此，推迟职工的就业年龄有利于减少养老金负担，缓解就业压力。而延长年轻人的教育年限，限制正式职工最低年龄等，都不失为推迟职工开始工作年龄的有效途径。另外，从经济发达国家的经验来看，推迟就业年龄也是符合社会经济发展的客观规律的。措施四：工资增长率由于职工缴费的指数化工资与领取的养老金均按一定的比例与工资挂钩，因此一旦工资增长，职工所缴纳与所领取的养老金也会随着整长。过去 20 年，我国工资增长一直较快，年平均 5.7%，预计今后 20 年仍以 3%-5%的速度增长。如此高度的增长速度，大大增加了与其挂钩的养老金负担和转制成本。既然理论分析表明，养老金应首先与消费者物价指数挂钩，使其保值，那么我们就应该尽快改革现有的按工资指数话的管理方法，以相应的减轻养老金支付负担和转制成本，从而缓解养老金收支不平衡的状况。既要达到目标替代率，又要维持养老保基金的收支平衡，则可以建立（1） 1211%()2 58.%mi miikxcxrb （2）121()0mdiii iamQxrY的模型，通过上文四项措施对（1） （2）进行优化，从而得到 与 的最优值。md6.模型的评价优点：1.根据题目中的附件，能够提取信息，画出对应的图形，便于模型的建立与求解；2.层次清晰，解答简便，结果明了。缺点：1.没有准确的数据来调整模型的系数，使模型更加贴近现实。2.第二问仅用 2009 年的职工缴费指数来预测，由于仅利用一年数据来预测，可能会影响预测的效果。3.模型是在理想的情况下建立了 J 型曲线，没考虑现实生活中存在的因素，因此模型仍存在不足，我们根据发达国家的国情，一个国家或地区的经济增长曲线大致呈一条拉平的“ ”型曲线。因为 Logistic 函数具有典型的“ ”型曲线特征，比较符S S合自然界和人类社会发展规律，因此经济增长呈“ ”型曲线具有很好的借鉴意义和指导价值。参考文献：黄开枝译.MATLAB7 基础教程面向工程应用. 北京：清华大学出版社，2007.71姜启源,谢金星,叶俊.数学建模M。北京：高等教育出版社，20072历年国内生产总值(出自中国统计年鉴 2010)，3/view/2f8c2f2a3169a4517723a3d1.html，（2011 年 9 月 9 日）。kexianchao，中国历年 GDP 数据,GDP 及人均 GDP 增长率,通货膨胀率,人口总数, 人口出生4率、死亡率和自然增长率/view/8ed95b886529647d272852d0.html，（2011 年 9 月 9 日）。吕志勇，王霞，张良。新政策下养老保险基金收支平衡精算模型的相关因素分析.5山东大学学报 2009 年第 1 期.哲学社会出版社 附 录1 x=1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010; y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1921 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074; plot(x,y,*)2x=1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010;y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1921 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;y=log(y);d =ones(1,size(x,2);a=d;x;b = a*y;a=a*a;c=abc =-254.63000.13193x=1978:0.1:2010; y=exp(-254.7+0.1319*x); w=1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010;z=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1921 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074; plot(x,y,r,w,z,*) title(附件 1 数据拟合) xlabel(年份),ylabel(元)4x=1978:1:2009; y=379.0823 416.4954 460.5262 488.5943 524.372 581.0764 694.1318 854.1003 955.649 1102.527 1354.352 1508.457 1637.176 1884.444 2298.971 2975.103 4014.056 4938.081 5731.111 6314.273 6654.666 7034.102 7734.218 8467.505 9271.538 10460.2 12277.04 14210.33 16548.19 20265.32 23812.05 25441.83 ; y=log(y);d =ones(1,size(x,2);a=d;x;b = a*y;a=a*a;c=abc =-275.93640.14245 x=1978:0.1:2035; y=exp(-254.63+0.1319*x); plot(x,y,r,w,z,*) w=1978:0.1:2035; z=exp(-275.9364+0.1424*w); plot(x,y,r,w,z,b) title(GNP 和平均工资增长对比图 ) xlabel(年份),ylabel(元)61978 379.08231979 416.49541980 460.52621981 488.59431982 524.3721983 581.07641984 694.13181985 854.10031986 955.6941987 1102.5271988 1354.3521989 1508.4571990 1637.1761991 1884.4441992 2298.9711993 2975.1031994 4014.0561995 4938.0811996 5731.1111997 6314.2731998 6654.6661999 7034.1022000 7732.2182001 8467.5052002 9271.5382003 10460.22004 12277.042005 14210.332006 16548.192007 20265.322008 23812.052009 25441.837x=22 27 32 37 42 47 52 57;y=487000 546250 613500 622000 668750 634000 421000 301000;polyfit(x,y,2)ans =1.0e+005 *-0.0088 0.6551 -5.5545x=22 27 32 37 42 47 52 57;y=282 263 242 226 221 194 135 101; polyfit(x,y,1)ans =-4.8952 401.36198年份 职工平均 工资 xi/ci2000 8988.726 1.0247072001 10254.24 1.0247072002 11655.01 1.0247072003 12877.49 1.0247072004 14686.09 1.0247072005 18482.32 1.1124542006 21390.27 1.1124542007 25412.91 1.1124542008 29373.25 1.1124542009 33026.55 1.1124542010 39230.6 1.2231282011 46737.93 1.2231282012 53327.71 1.2231282013 60846.61 1.2231282014 69425.63 1.2231282015 85549.85 1.3209542016 97611.88 1.3209542017 111374.6 1.3209542018 127077.8 1.3209542019 144995 1.3209542020 157869.1 1.2605172021 180127.8 1.2605172022 205524.8 1.2605172023 234502.6 1.2605172024 267566.1 1.2605172025 291750.3 1.2046072026 332885.4 1.2046072027 379820.3 1.2046072028 433372.7 1.2046072029 494475.8 1.2046072030 238478 0.5091732031 272102.1 0.5091732032 310466.9 0.5091732033 354240.9 0.5091732034 404186.8 0.5091732035 461174.8 0.509173年龄段各年龄段平均工资 缴费指数20-24 岁职工数 1726.950355 0.669325-29 岁职工数 2076.996198 0.80530-34 岁职工数 2535.123967 0.982535-39 岁职工数 2752.212389 1.066740-44 岁职工数 3026.0181 1.172845-49 岁职工数 3268.041237 1.266650-54 岁职工数 3118.518519 1.208655-59 岁职工数 2980.19802 1.15560-65 岁职工数 1259.693878 0.488219年份 社会平均工资 个人年平均工资 缴费指数 2000 8772 8988.725723 1.0247065352001 10007 10254.23829 1.0247065352002 11374 11655.01213 1.0247065352003 12567 12877.48702 1.0247065352004 14332 14686.09406 1.0247065352005 16614 18482.31877 1.1124544822006 19228 21390.27478 1.1124544822007 22844 25412.91019 1.1124544822008 26404 29373.24815 1.1124544822009 29688 33026.54867 1.1