停车场设计问题

停车场设计问题的数学模型摘要近几年我国城市机动车的增长速度平均在 15%左右，一个新的私家车消费高潮很快就要来到，而与此同时，城市的交通基础设施建设却相对落后，其中停车场地的缺乏和停车管理的不科学使得城市停车难的问题尤为突出，停车问题正在逐渐成为限制城市交通的“瓶颈” ，给城市居民的生活带来了极大的不便。如何解决好城市停车问题，尤其是大型城市的停车问题，对维护城市交通系统的正常运作以及促进城市经济发展有着重要的现实意义。本文针对停车场设计问题建立数学模型并求解。现对 1600 平方米（见方）的区域设计停车场，需满足如下要求：（1） 、尽可能容纳更多的车；（2） 、保持车辆的良好通过性（也即“好停车” ） 。针对问题一：要求在 1600 平方米的区域设置单层停车场，主要有以下五种停车方式：平形式停车、倾斜角为 30、45、60的斜列式停车方式、垂直式停车方式。每种停车方式所占用的车位面积均不同，但又考虑到停车的便利，故不同的停车方案对于通道的宽度要求也不一样。为求最优的停车方式，我们引入“单位停车面积”这个概念（即满足停车场设计要求的情况下，每辆车所占用的最小停车面积） ，它是衡量车位面积及通道宽度的综合指标。通过测算并比较上述每种停车方式的单位停车面积，我们得出垂直式停车方式容纳的车辆最多，为 54 辆。针对问题二：欲建设一个主体占地 1600 平方米(见方)立体停车场（地上二层，地下一层） ，因为考虑不超过 3%占地面积用于引道，使得停车数量尽可能的多。我们采用先进的升降设备建设停车场，最下层和最上层采用直接升降的方式，每层之间用平移方式来达到存放车辆的目的。考虑到车辆的良好通过性，在中间一层空出两个车位，以便存取车时节省时间。此停车场中每层按 6*12 的矩阵方式密集排列，最终可停靠 214 辆小型汽车。然后我们模拟了取车过程，只用了两步就完成取车，速度非常快，满足了良好通过性的要求。关键词：优化模型 层次分析法 比例系数 数学建模 MATLAB 线性规划1、问题重述1.1 问题背景随着城市道路交通的发展，越来越多的家庭都拥有小汽车，而如何在大型商贸市场、医院等人流密集的地方停车成了令人头疼的问题。本文就停车场的设计问题建立了数学模型，旨在如何在一定的面积下使该停车场容纳更多的停车位，并且可以保持良好的通过性（“好停车” ） 。1.2 所给数据及限制条件1.2.1 停车场各项设计指标（见附件一）。问题一：1.2.2 停车场面积 1600 平方米见方，具有独立的出口和入口（同侧） ；1.2.3 本问题仅考虑小型汽车。问题二：1.2.4 此停车场为立体停车场（地上两层，地下一层） ；1.2.5 不超过 3%占地面积用于引道。1.3 待解决问题问题一：在现有的技术标准下，如何设计该停车场能使其容纳最多的停车位；问题二：请设计该停车场（道路和停车位） ，令其满足最多的停车位和良好的通过性（“好停车” ） 。2、问题分析问题一中考虑在 1600 平方米的的停车场在现有技术条件下，设计合理的方案使停车场容纳更多的车，而通常的停车方式主要有以下五种：平形式停车、倾斜角为 30、45、60的斜列式停车方式、垂直式停车方式。因为停车场的总面积是一定的，欲使容纳更多的车，只需要单位停车面积更小即可，所以我们通过求出每种停车方式的单位停车面积即：，)54321(/40)*2(对 应 不 同 的 停 车 方 式、iqSsiqwaiii然后通过比较 的大小，选出最优的停车方式。is问题二中建设一个 1600 平方米(见方) 地上二层，地下一层的立体停车场，考虑到容纳更多的车，我们采用先进的升降设备建设停车场，在最下层和最上层我们采用直接升降的方式来存放和取车，考虑到车辆的良好通过性，在中间一层空出两个车位，并采用平移设备来移动车辆，从而达到取车和放车的目的。3、变量说明平行式前进停车 ，斜列式 30前进停车，斜列式 45前进停车，斜列式 60后退停车，垂直式后退停车 分别取 1 ，2 ，3，4，5i通道的最小宽度 iw停车的区域面积 iS停车部分区停车数量为 iq停车垂直通道方向的停车带宽(m) ia平行通道方向的停车带长(m) ib所以平形式停车的单位停车面积 iS停车位的长边与通道的夹角 (0)2平行通道的垂直排放可容纳车辆 1Q垂直通道的垂直排放可容纳车辆 24、模型假设4.1、进入停车场的车型只考虑小型车，小型车的详细指标参见名词解释。4.2、假设每辆车都能够按规定停车，不超出车位线。4.3、每一位司机的驾驶能力都是一样的4.4、每辆汽车的大小结构都是一样的4.5、车子的车宽车长都是固定不变的5、模型的建立和求解一般来说，想尽可能的把车塞进停车场，最好的办法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行，但是这样停放的后果就是车辆不能自由出入，只有后进入的车辆全部先出去了，先进入的车才可以离开停车场，显然不符合实际的需求。因而，为了使汽车能够自由地出入停车场，必须设立一定数量具有足够宽度的通道，并且每个通道都应该有足够大的“转弯半径” ， 这样才能让车顺利的停入车位，如下图一所示，对车辆转弯半径做临界假设，求出车辆通道的最小宽度，这样每辆车分摊的通道面积变小，其车库相对可以容下更多的车。5.1 问题一模型建立和求解：考虑到不同的停车方式其单位停车面积不同，也即相同面积的停车场所容纳的小汽车的数量不同（通常的停车方式主要有以下五种：平形式停车、倾斜角为 30、45、60的斜列式停车方式、垂直式停车方式） 。现假设车库的车按照列有次序的排列，先对车库的部分区域的停车情况进行分析，对于每一个车位，为了便于该车位上的小轿车自由进出，必须有一条边是靠通道的，设该矩形停车位的长边与通道的夹角为，其中 便是车辆垂直从通道驶入车位， 就是车辆从(0)220通道平行驶入车位，即平时所说的平行泊车。然后分别计算出每一种停车方式的单位停车面积。已知各种停车方式所对应的参数，如下：通道的最小宽度 iW平形式停车垂直通道方向的停车带宽(m) ia平行通道方向的停车带长(m) ib停车位的长边与通道的夹角 (0)2则：图一：对车辆转弯半径做临界假设（1）此 停 车 方 式 可 停 车 数 量此 停 车 方 式 所 占 面 积ii iibaqwStn/40*2)(i所以此停车方式单位停车面积为：（2）iqwaiiiSs40*)2(/5.1.1 、平形式停车为了留出通道空间和减少停车面积，显然，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，然后以 =0的角度进入停车位如图二所示：一一一一OP=9.60m一K4.一一L=2.80m一KQ7.一OR=5.0m一LM=4.0 一R: (0.35.0) 一P: (9.6一4.)O: (0.0.)N: (9.6一.)M: (.80.0)L: (2.一.)K: (0.0.) RQPONMLK图二：平形式停车其中： mw0.41a8.2mb71o0代入（1）式得： 辆10q代入（2）式得：辆/6.3821ms5.1.2 、30的斜列式停车与平形式类似，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，然后以 =30的角度进入停车如图三所示：一30一一AD=12.40m一H.一一AB=4.20m一G5.6一UX=5.0m一ST=4.0一一J: (0.35.0)I: (12.4一4.)H: (0. 0.)G: (4.2一5.6)D: (1.0.0)C: (8.2一.)B: (4.0.0)A: (.一.) IHJGDCBA图三：30的斜列式停车其中 mw0.42amb6.52o30代入（1）式得： 辆102q代入（2）式得：辆/6.3821ms5.1.3 、45的斜列式停车同理，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，然后以 =45的角度进入停车位如图四所示：一一一45一一AB=14.0m一G.一AC=5.20m一E4.FG=2.8m一CD4.0H: (14.0一4.0)G: ()F: (0.37.20)E: (5.2一4.)D: (9.0.0)C: (5.2.)B: (14.0一.0)A: ()FEHGBDCA图四：45的斜列式停车其中 mw0.43a25b.3o45代入（1）式得： 辆163q代入（2）式得：辆/23ms5.1.4 、60的斜列式停车同理，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，然后以 =60的角度进入停车位如图五所示：一一一60一一AB=16.30m一G4.一AC=5.90m一E3.2FG=4.60m一CD=4.50H: (16.304.0)G: (.一.)F: (0.35.40)E: (5.9.2)D: (10.4一0.)C: (5.9.)B: (16.30.0)A: (.一.)FEG HBDCA图五：60的斜列式停车其中 mw5.4a9b2.34o60代入（1）式得：辆23q考虑到通道的宽度， 最后一辆车不能放，所以： 辆203q代入（2）式得：辆/6.24ms5.1.5 、垂直式停车同理，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，然后以 =90的角度进入停车位如图六所示：G: (18.0一40.)一AB=18.0m一F4.一一AC=6.0m一H2.8一EF=3.60m一CD=6.0H: (.2.8) 一一F: (0.一40.)E: (.36.)D: (12.0一0.)C: (6. .)B: (18.0一0.)A: (. .)CGFEH BDA图六：垂直式停车其中： mw65a0.o598.2b代入（1）式得： 辆285q考虑到通道的宽度， 最后一辆车不能放车，所以： 辆65代入（2）式得：辆/7.225ms通过对以上五种停车方式的单位停车面积的比较可得：垂直式停车的单位停车面积最小，故按照垂直式停车可使停车库容纳更多的车，垂直排放的方式又可分成平行通道和垂直通道两种方式（如图七、图八）所示：一一CD=40.mI一EL=6.0JK28mCB=3.0一EF6.mD: (40.一.0)J: (3.20一7.)B: (3.20.)I 40H: (0.3.)G .一27.0F: (0.13.)E .7.K 6A: (6.8一.)C L: (0.1.0)一一一(1)一(2)一(1)一(1) DJBKHGFEIACL图七：平行通道排放R: (7.0一2.80)一HN=40.m一OIJ=6.0R28m一PQ=3.60JK.m 一(2)一一(1)一Q: (13.6.4)P: .0.0O: (4.一4.)N: 00M: (3)L: 27.0一.0K: (13)J: 7.0.0I: (1.一.)H: 00RQ OPNMLKJHI图八：垂直通道排放通过对两种不同的通道排放方式的比较可以得出：平行通道的垂直排放可容纳车辆为 辆503*1241Q垂直通道的垂直排放可容纳车辆为 辆42显然： 21Q所以选择垂直通道的排放方式，最终的容纳车辆为： 辆542（2）、问题二模型建立和求解：考虑建造一个主体占地 1600 平方米(见方)立体停车场（地上二层，地下一层），同时满足引道不超过 3%（折合成面积是 48 平方米）。仍然以小型汽车为例。由附件一中的表二数据，代入公式得知每辆车车在停车带所占的面积分别是 19.6 平方米，23.52 平方米,20.8 平方米,18.88 平方米，18.88平方米，16.8 平方米,16.8 平方米.相对于引道的面积而言，无论哪种停车方式，最多只能有 2 个停车位。由附件一中的表一， 小型汽车长 5 米，宽 2 米，高 2.2 米，在设计停车位以及升降的过程时，我们考虑到车与车之间的安全距离和设备本身有厚度，我们设计的停车位长 m=6.5 米，宽 n=3.3 米，高h=3.3 米。由上可以计算出，每排 6 辆，共 12 排，每层是 72 辆，中层有 2 个停车位，应为 70 辆。所以三层共有 72+70+72=214 辆。停车位的位置将在示意图中给出。示意图如图十至图十二所示：一(1) 一(2)一一一AB=40.mC一DF=6.5E3mF: (32.7540.)E: 6.36.5D: (2.5一40.)C: 0B: (4.0.)A: 0.一. EFDCBA图十：立体式存放方式（俯视图）一一AB=40.m一3*C7.5一DE=3.m一F2.5F: (40.一2.50)E: ()D: (36.45.0)一C: (0.一2.)B: (4.0.)A: (0) 一 EFC BA D图十一：立体式存放方式（主视图）一(2)一(1)一一一AB=40m3*D7.5一一EF=6.5mG2.G: (26.31一2.50)F: (.75.)E: (26.34.0)一D: (0.一2.5)B: (4.0.)A: (0)一一一A一一GBDA FE图十二：立体式存放方式（左视图）6、模型检验假设第二层有一待取车辆，位置如图十三、四所示： (6,12)(1,2)(6,1)(1,)一(1) 一(2)一一一一一一一一一BA图十三：待取车原始位置（俯视图）现对该车进行模拟取车，对停车场俯视图建立平面直角坐标系（其中每个停车位对应一个坐标） ，模拟水平位置取车步骤：第一步：1、将位于(4,10)位置的车移动至(3,10)位置；2、将位于(4,9)位置的车移动至(3,9)位置；3、将位于(4,8)位置的车移动至(3,8)位置；4、将位于(4,11)位置的待取车辆移动至(4,7)位置。实现过程如图十四所示：(1,) (6,1)(6,12)(1,2) 3241一一一一一一一 一一(2)一(1)BA图十四：水平位置模拟取车过程(1,)(1,3) (6,3)(6,1)一(2)一(1) 一一一一2 CBA图十三：待取车原始位置（左视图）对停车场左视图建立平面直角坐标系，模拟竖直位置取车步骤如下：第二步：1、将位于(4,3)位置的待取车辆移动至(5,3)位置；2、将位于(4,2)位置的车移动至(4，3)位置；3、将位于(5,2)位置的车移动至(4,2)位置；4、将位于(5,3)位置的待取车辆移动至(5,2)位置；5、将位于(5,2)位置的待取车辆移动至(6,2)位置的引道处，车辆成功取出。实现过程如图十五所示： (6,3)(6,1)(1,3)(1,) 54312 1一一 一一一一(1) (2)CBA图十五：竖直位置模拟取车过程7、模型的评价与改进7.1、优点1 对现实中的停车库进行了模型的假想，有利于问题的简化工作。2）在度量不确定指标时采用了稳健性原则，对于不确定的指标给予较低的评价，以最大程度保证稳定性。3）本文提出的模糊综合模型对停车场的效度进行评估可以将难以量化的因素进行量化，且将各个指标的不确定性通过模糊数学的方法使其变为确定性指标。7.2、缺点1）在评价停车场效度时用的主要是主观评价法，难免可能产生误差，有失客观性。2）本文是对模型的假设，但是现实生活中可能会出现更多复杂的问题，如果要运用到现实车库的建设上，还需根据实际车辆的大小及车型情况进行车库大小的改正。8、参考文献1现代数学建模方法 王庚 王敏生 科学出版社2数学建模 浙江大学出版社 杨启帆 方道元3数学模型 （第三版） 高等教育出版社 姜启源4最优化方法及其应用 高等教育出版社 郭科 陈聆 魏友华5 MATLAB 程序设计与应用 高等教育出版社 刘卫国 陈昭平 张颖 6 数学建模与实验M哈尔滨工程大学出版社 何文章 宋作忠9、附录表一：机动车停车场设计参数垂直通道方向的停车带宽(m) 平行通道方向的停车带长(m) 通道宽(m) 单位停车面积(平方米) 停车方 式 平行式前进停车2.62.83.5 3.53.55.27.012.716.022.03.04.0 4.54.55.021.333.673.092.0132.030前进停车3.24.26.4 8.011