函数的凸凹性与拐点

5 函数的凸性与拐点教学目的与要求：掌握凸函数凹函数的定义掌握可导函数为凸函数的充要条件掌握拐点的定义掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件教学重点，难点：可导函数为凸函数的充要条件拐点的判别方法教学内容：作函数的图形时，仅知道函数单调性是不够的，还应知道其曲线弯曲的情形，即曲线凹凸的概念, 读者已经熟悉函数 和 的图象。它们不同的特点是：曲2)(xfxf)(线 上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线 则相反，任意两点2xy y间的弧段总在这两点连线的上方，我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数：后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数。定义 1 设 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上的任意两点 和任意实数f 21,x总有),0(),(1)()1( 22xfxfxf （1）则称 为 上的凸函数. 反之，如果总有fI),(1)()1( 22xfxfxf （2）则称 为 上的凹函数。fI如果（1） 、 （2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。图 6-12 中的（a）和(b)分别是凸函数和凹函数的几何形状，其中。BACxfBfAxx )1(),(),(,)1( 212 容易证明：若 为区间 I 上的凸函数，则 为区间 I 上的凹函数，因此今后只需讨f f论凸函数的性质即可。引理 为 上的凸函数的充要条件是：对于 I 上的任意三点 ，总有fI 321x（3）2312 )()(xffxff(析) 必要性 要证(3)式成立, 需证 )()( 12321223 xfxfxf )(31即. ),()( 312123213 xfxfxf 记 ，则 ，由 的凸性易知上式132x31)(f成立. 充分性 在 I 上任取两点 在 上任取一点 ),(,31x31 )1(2x即 ，由必要性的推导逆过程，可证得),10(,3x132x,)()(131ff)(3xf故 为 上的凸函数。 fI注 同理可证， 为 上的凸函数的充要条件是：对于 上任意三点 ，有fI I321x（4）231312 )()()( xffxffxff 定理 6.13 设 为区间 上的可导函数，则下述论断互相等价：fI为 I 上凸函数；1f为 I 上的增函数；2f对 I 上的任意两点 ，有321,x（5）)()(12112 xfff (析) 要证 为 I 上的递增函数, 只需任取 上两点 及)1f I)(,21x充分小的正数 ，证明 h成立,hxfxfxff )()() 2211 由 是可导函数，令 时便可得结论.f 0h由于 ，根据 的凸性及引理有xx211 f.hxfxfffhff )()()() 221211 在以 为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和 递增条件，)32()(,21x f有 )()()( 1211212 xffxff 移项后即得（5）式成立，且当 时仍可得到相同结论21x设以 为 I 上任意两点， 。由 ，并利用)13(21, 10,)1(23xx3与 ，)(1xx)(123，)()( 213331331 xfxffff)()()() 123332332 xfxfxfxff 分别用 和 乘上列两式并相加，便得1 )()()( 2132 xfxffxf从而 为 I 上的凸函数。 f注 1 论断 的几何意义是：曲线 总3)(xfy是在它的任一切线的上方（图 6-14） 。这是可导凸函数的几何特征。对于凹函数，同样有类似于定理 6.13 的结论。定理 6.14 设 为区间 I 上的二阶可导函数，f则在 I 上 为凸（凹）函数的充要条件是f.),0()(Ixfxf这个定理的结论可由定理 6.3 和定理 6.13 推出。注 2 一般地说，函数可能在它的定义域里的某些区间是凹的，在另一些区间是凸的，这样的区间称为函数的凹凸区间,讨论函数的凹凸区间，关键是找出凹凸区间的分界点,由上述定理知，二阶导数在其两侧异号的点二阶导数为零的点、不连续的点和一阶、二阶导数不存在的点都是可能凹凸区间的分段点, 例 1 讨论函数 的凸(凹)性区间.xfarctn)(解 由于 ，因而当 时， 时 。从而2)1()xf 00;)(xf)(f在 上 为凸函数，在 上 为凹函数。 0,(f,0f例 2 若函数 为定义在开区间（ a,b）内的可导的凸（凹）函数，则 为f ),(0bax的极小（大）值点的充要条件是 为 的稳定点，即 。f 0xf)(0xf证 下面只证明 为凸函数的情形。f必要性已由费马定理给出，现在证明充分性。由定理 6.13，任取（a,b）内的一点 ，它与 一起有)(0x0)()(00xfxf因为 ，故对任何 总有0f ,ba)(0xf即 为 在 内的极小值点（而且为最小值点） 。 0f,ba下面的例子是定义 1 的一般情况例 3(詹森（Jensen）不等式)若 为 上凸函数，则对任意f,ba有,1),2,1(0,niiibax（6）.)(11niiniixfxf证 应用数学归纳法，当 时，由定义 1 命题显然成立，设 时命题成立，即2kn对任意 及,21baxk，ii 1,0都有 kiikiixfxf11).(现设 及,121bak 1),(0ii 令 则 由数学归纳法假设可推得,2,1kikii i1)( 121 kkxxf = 1121)( kkkkf )()()1( 121 kkk xfxxf ( 1211 kkk ffff )()()()( 12111 kkkkk xfxfxf 。11)()(iikff这就证明了对任何正整数 ，凸函数 总有不等式（8）成立。 )2(nf例 4 证明不等式 ，其中， 均为正数。cbacba3)( cba,证 设 由 的一阶和二阶导数.0,ln)xf )(ffxf 1,1l( 可见， 时为严格凸函数，依詹森不等式有.0,ln)xf ),()(31cfbafcbaf 从而 ),lnln(31ln3cbacba即cbacba3又因 所以,c。 cbacba3)(例 5 设 为开区间 I 内的凸（凹）函数，证明 在 I 内任一点 都存在左、右导数。f f0x证 下面只证凸函数 在 存在右导数，同理可证也存在左导数和 为凹函数的情形。f0x f设 ，则对 （这里取充分小的 ，使 ） ，210h2010hx2hIx20由引理中的（4）式有 200100 )()(hfxfhfxf 令 故由上式可见 F 为增函数，任取 且 ，则对任何,)()00ffF Ix0x，只要 ，也有hIhx0 )()()( 000 hxffff 由于上式左端是一个定数，因而函数 在 上有下界。根据定理 3.10 极限 存)(F0)(hF在，即 存在。)(0xf注 由例 5 易知开区间 I 内的凸（凹）函数一定处处连续从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、凸区间的分界点十分重要，我们称之为拐点, 下面给出拐点的精确定义.定义 2 设曲线 在点 处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线)(xfy)(,0xf在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点 为曲线 的拐点。)(,0xf)(xfy由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图 6-15 中的点 M。例 1 中的点（0，0）为 的拐点。容易验证：xyarctn正弦曲线 有拐点 为整数。xysink),0(读者容易证明下述两个有关拐点的定理。定理 6.15 若 在 二阶可导，则 为曲线f0x)(,0xf的拐点的必要条件是)(xfy)(0f定理 6.16 设 在 可导，在某邻域 内二阶可导若在 和 上f0x)(0xUo )(0xUo)(0o的符号相反，则 为曲线 的拐点)(xf )(,ffy注 1 若 是曲线 的一个拐点， 在 的导数不一定存,(0xf)(xf )(xfy0在请考察函数 在 的情况3y注 2 与函数的极值点不同，拐点是从几何角度定义的，是平面上的点，必须用两个坐标来表示,注 3 曲线的拐点就是凹凸区间的分界点,因此应在使得 和二阶不可导点所对0y应的曲线上的点中找拐点,注 4 设 在 的某邻域内有三阶连续导数, 且 则f0x ,0)(,)()(00 xfxff是曲线 的拐点.)(,0x)(fy从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、凸区间的分界点十分重要，我们称之为拐点, 下面给出拐点的精确定义.定义 2 设曲线 在点 处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线)(xfy)(,0xf在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点 为曲线 的拐点。)(,0xf)(xfy由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图 6-15 中的点 M。例 1 中的点（0，0）为 的拐点。容易验证：xyarctn正弦曲线 有拐点 为整数。xysink),0(读者容易证明下述两个有关拐点的定理。定理 6.15 若 在 二阶可导，则 为曲线 的拐点的必要条件是f0x)(,0xf)(xfy)(0xf定理 6.16 设 在 可导，在某邻域 内二阶可导若在 和 上f0x)(0xUo )(0xUo)(0o的符号相反，则 为曲线 的拐点)(xf )(,ffy注 1 若 是曲线 的一个拐点， 在 的导数不一定存,(0xf)(xf )(xfy0在请考察函数 在 的情况3y注 2 与函数的极值点不同，拐点是从几何角度定义的，是平面上的点，必须用两个坐标来表示,注 3 曲线的拐点就是凹凸区间的分界点,因此应在使得 和二阶不可导点所对0y应的曲线上的点中找拐点,注 4 设 在 的某邻域内有三阶连续导数, 且 则f0x ,0)(,)()(00 xfxff是曲线 的拐点从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、凸)(,0x)(fy区间的分界点十分重要，我们称之为拐点, 下面给出拐点的精确定义.定义 2 设曲线 在点 处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线)(xfy)(,0xf在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点 为曲线 的拐点。)(,0xf)(xfy由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图 6-15 中的点 M。例 1 中的点（0，0）为 的拐点。容易验证：xyarctn正弦曲线 有拐点 为整数。xysink),0(读者容易证明下述两个有关拐点的定理。定理 6.15 若 在 二阶可导，则 为曲线f0x)(,0xf的拐点的必要条件是)(xfy)(0f定理 6.16 设 在 可导，在某邻域 内二阶可导若在 和 上f0x)(0xUo )(0xUo)(0o的符号相反，则 为曲线 的拐点)(xf )(,0xf)(xfy注 1 若 是曲线