化工数学第四章答案

化工数学第四章习题1.（）判别以下方程的类型，并指出变系数中自变量取值范围（1） 43xyxuuy（2） sin（3） 20xy（4） u解：（1）a1，b2，c 3，b 2ac0 ，是双曲型方程（2）b0.5，b 2ac0 ，是双曲型方程（3）b 2acx 2y2，当 x0 或 y0 时，是抛物线型方程，否则是双曲型方程（4）b 2acxy，当 x0 或 y0 时，是抛物线型方程，当 x 和 y 同号时是双曲型方程，否则是椭圆型方程2. （）证明：（1）圆形区域上 Laplace 方程 在圆对称情况下的通解为2u=(,)lnrArB式中 r 为径向极坐标，A、B 为任意常数（2）球形区域上 Laplace 方程 在球对称情况下的通解为20(,)/urr式中 r 为径向球坐标，A、B 为任意常数证明：（1）在极坐标下，圆型区域内，laplace 方程的表达式为 211()0rur在圆对称情况下，0u（ ）原方程可化为 ，()r解得 (,)lnuArB（2）同理可证3. （） 用分离变量法求解以下一维热传导方程的定解问题(1) (01)(0,);,txxuutf解：设(,)()(120(3)()41uxtXTtX由（4） 2();,3(5)1cos(;,2(6)nnXxCxn （5）代入（2） 2()ep(7)nTtBt2111(,)xcos()(8n nuxtAtx其中 An 由下式确定： 102,()cs()(2o9nntxxfAfd(2) 36()(,)1;1,2txxuut=-0,x）将上式与 Sturm-Liouville 方程（8）比较，知 k(x)=1-x20，(x)=10，q(x)=0，满足特征值问题的条件。由于 k(x)在边界 x=1 上均为零点，因此边界条件应代之以自然边界条件（9）(1)()H，根据 Sturm-Liouville 特征值问题的四个基本定理，特征值 s 和特征函数 H(x)必定存在，且 s(s+1) 0，特征函数 H(x)正交且完整。因此方程（7）若要得到满足边界条件（9）的解，参数 s 只能取为正整数，即(n=),12相应的特征函数为 n 阶的 Legendre 多项式（10）()HxP从而由方程（6） 、 （10）以及线性叠加原理可将原问题的一般解表示为一下级数形式（n=1,2,） （11）(1)0(,)cos)nnurArB由边界条件（2）得（12） ， （13）(1)110()222()cso)nnnnnfRPAB方程（11）的系数 An、Bn 由上述两式确定。若 f1()、 f2()具有一阶连续导数及分段连续二阶导数，则由 Sturm-Liouville 特征值问题的第四定理，可得（14）1()11 1021()()cos)in2nnn nfPxdARBfPd其中 ()nx同理 （15）(1)2220()cos)inn nARBfPd由（14） 、 （15）可解得系数 An、Bn 的值，然后代入方程（11）即得问题的解。14. 如果将5.4 节所述的反应扩散模型的边界条件(4.5.69）改换成无渗透边界条件，即 0,10,1xxu试给出相应的线性稳定性问题的失稳判据。解： 改为无渗透边界条件 之后，对于开放系统中的化学反应，01,1,0xxvu仍存在唯一的均匀稳定解，即 ，小扰动变量的定义仍然适用，u、v 所ABYXss满足的线性方程组(4.5.68)可转化为 (4.5.68B)，Lvut其中 2221xDABxDL与例题类似，当方程中不含化学反应项时，(4.5.68B) 中的两个方程可分别独立求解，其级数解具有如下形式 ，将此解形式代入原方程组再利用矩阵解法可得：xnecvutos21， 0121221 cAnDBDnn 要令方程组存在非零解，则 c1c2 不能完全为零，其必要条件为 22nnn表示成更直观的形式为 02nrt其中 21421222122 )()()( DnBDADnABtr 解得 )4(212rrntI. 时， 有负实部，因此稳态解 对波数很大的扰动总是稳定的nn ,SYXII.当 时， 为复数，若同时 ，即 ，则042rt 0rt )()1(2122DnAB的实部为正，此时系统是不稳定的，临界条件为n nn 取 0，1，2，时各本征解对应的 B0，B1 ，B2，是产生分岔解的所在之处，意即，对于 n 的某个值，每当至少有一个相应的 的实部为正时，稳态解对波数 n 的不均匀扰动是n不稳定的，这样的扰动便会长大而可能导致某种以波数 n 为特征的有序结构，由还可以得到 ,同时满042rt )()1)()( 2122121 DABAn 足上两式的分岔解，属于时间周期解。. 时， 为实数，且必有一个正实数，系统是不稳定的n21221nDADB从稳定到不稳定的临界曲线为 21221nDABn 此为稳定区和扰动能够非振荡地长大的不稳定区之间的分界线。 15 理想流体绕球体的流动可用速度势函数的 Laplace 方程描述02边界条件为 cos,0Ururar试用分离变量法求出速度势函数 在球外的分布，并进而求出径向和 方向的速度分()量 rur1,解：问题由球坐标系中的 Laplace 方程描述，在轴对称条件下，方程简化为（1）21sin0,ir ra边界条件 （2）0cosrrauU， ，用分离变量法处 ，令 （3）,RrH分离变量后可得到 （4）21(1)drsR（5）sin()iH这里将常数 表示为 s(s+1)是为了下面求解的方便。由于 R(r)的边界条件不是齐次的，方程（4）不构成特征值问题，其展开后为欧拉方程，通解为（6）(1)()ssRrABr对方程（5）作变换，令 x=cos，化为 Legendre 方程（7）2(1)()0dHxs（8）()ykxqy， （ a,x0）将上式与 Sturm-Liouville 方程（8）比较，知 k(x)=1-x20，(x)=10，q(x)=0，满足特征值问题的条件。由于 k(x)在边界 x=1 上均为零点，因此边界条件应代之以自然边界条件（9）(1)()H，根据 Sturm-Liouville 特征值问题的四个基本定理，特征值 s 和特征函数 H(x)必定存在，且 s(s+1) 0，特征函数 H(x)正交且完整。因此方程（7）若要得到满足边界条件（9）的解，参数 s 只能取为正整数，即(n=),12相应的特征函数为 n 阶的 Legendre 多项式（10）()HxP从而由方程（6） 、 （10）以及线性叠加原理可将原问题的一般解表示为一下级数形式（n=0,1,2,） （11）(1)0(,)cos)nnrArB上式（11）求导可得（12）1(2)0(cs)nnnrrPr由第一个边界条件得1(2)0(cos)0nnnAaBaP 易得 即 （13） 1(2)(0nn21nnAa易知 0B， A为 任 一 常 数（14） 21(,3)nna再来看第二个边界条件，由于 231(2)01123 ()112(cos)(cos(cos)(cos)nnnnnnBrPABrPArBrPA P当 r 趋向于无穷大时， 为有限值，因此0cosruU（15）0(,3n ）由（14）知，此时 （16）B2,n ）进一步可得 31110limli()(cos(cos)srruArPAU因此 0 0111cos()2()UaUABP，由于 （17）101 30s(co)2a至此，将（13） 、 （15） 、 （16） 、 （17）中的 An，