向量组的线性相关性线性代数习题集

25线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性一选择题1n 维向量 线性相关的充分必要条件是 D s,21)(01（A）对于任何一组不全为零的数组都有 021skk（B） 中任何 个向量线性相关s,21 )(j（C）设 ，非齐次线性方程组 有唯一解,(sBAX（D）设 ，A 的行秩 s.),212若向量组 线性无关，向量组 线性相关，则 C ,（A） 必可由 线性表示 （B） 必不可由 线性表示, ,（C） 必可由 线性表示 （D） 比不可由 线性表示 二填空题：1 设 TTT ),(,)(,)( 0431012则 22(,1)T2 设 ，其中 ，)()()(32153 35T)10,5(2，则 T,4,T3 已知 线性相关，则 2 Tk),(,)()( 84101321 k4 设向量组 线性无关，则 满足关系式 , bacba cba,0bc三计算题：1 设向量 ， ， ， ，试问当1,T2(1,)T3(1,)T2(1,)T26为何值时 （1） 可由 线性表示，且表示式是唯一？321,（2） 可由 线性表示，且表示式不唯一？,（3） 不能由 线性表示？321132123 2201(,)1 00,(3)(1)rr 解 因 为 2110,(3)() 123123123(),(,), ;RR且 时可 由 线 性 表 示 且 表 达 式 唯 一 123123(2)0(,)(,), ;时可 由 线 性 表 示 但 表 达 式 不 唯 一 123123(3)(,)(,),.RR当 时不 能 由 线 性 表 示线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 27第三节 向 量 组 的 秩一选择题：1已知向量组 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 C 4321,（A） （B）11, 14321 ,（C） （D）432, 2设向量 可由向量组 线性表示，但不能由向量组（）： 线性m,21 121m,表示，记向量组（）： ，则 B 1（A） 不能由（）线性表示，也不能由（ ）线性表示m（B） 不能由（）线性表示，但可由（ ）线性表示（C） 可由（）线性表示，也可由（ ）线性表示（D） 可由（）线性表示，但不可由（ ）线性表示m3设 n 维向量组 的秩为 3，则 C s,21（A） 中任意 3 个向量线性无关 （B） 中无零向量s,21 s,21（C） 中任意 4 个向量线性相关 （D） 中任意两个向量线性无关 4设 n 维向量组 的秩为 ，则 C s,21r（A）若 ，则任何 n 维向量都可用 线性表示srs,21（B）若 ，则任何 n 维向量都可用 线性表示（C）若 ，则任何 n 维向量都可用 线性表示 （D）若 ，则 s,21 nsr二填空题：1已知向量组 的秩为 2，则 t = 3 ),(,),(,),( 540012321 t2已知向量组 ， ， ， ，则该向量组43546),(7654的秩为 2 2 向量组 ， ， ， 的秩为 2，Ta),(1 Tb),(2 T),(123 T),(1324则 a = 2 b = 5 28三计算题：1设 ， ， ， ， T),(513T),(412T),(3123T),(9254Td),(26（1）试求 的极大无关组432（2）d 为何值时， 可由 的极大无关组线性表示，并写出表达式4321,13432135231234(1)512(),)12594920001210rrrr 解 ：3241 423123123 12(,), .666110145400rrRdd 4因 为 则 线 性 无 关 ， 且故 为 的 一 个 极 大 无 关 组 .() 1231234123(,),3204160104.r dRR 只 有 时即 可 由 的 极 大 无 关 组 表 示 .所 以 =293 已知 3 阶矩阵 ，3 维向量 满足 ，且向量组 线性无关。Ax32Ax2,xA(1) 记 ,求 3 阶矩阵 ,使 ; (2)求 2(,)PxBP|解： ,20(,)1220(,)1xx且 3220(,)31AxxAx2232 20(,)(,)(,)13(,)PxxxAxAB又因向量组 线性无关,故 可逆. 2,A2(,)P得 .100313BP(2) , .1A11|0BPB线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第五节 向 量 空 间 综 合 练 习一选择题：1设向量组 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 B, C 321,（A） （B）112312,（C） （D）321, 321132 52设矩阵 A 的秩 ，E m 为 m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 B nm)(Rn（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关 （B ）A 通过初等行变换，必可以化为（E m0）的形式（C）A 的任意 m 阶子式不等于零 （D）非齐次线性方程组 一定有无穷多组解bAx二填空题：301设 ，三维列向量 ，已知 与 线性相关，则 a = 40321ATa)1,(A12从 的基 ， 到基 ， 的过渡矩阵为2R11212231三计算题：1 设 ， ， 试用施密特正交化1T23T3068T方法将向量组标准正交化。解： 11T2