近似法在物理学中的运用_学士学位论文

学士学位论文 s 文题目 近似法在物理学中的应用 作者 姓名 孙浩钦 学号 2009112010120 所 在 院 系 物理与电子科学学院 学科 专业名称 物理学 导 师 及 职 称 王中元 副教授 论文答辩 时间 2013 年 5 月 12 日 编号 2013120120 研究类型 理论研究 分类号 湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书 中文题目 ： 近似法在物理学中的应用 外文题目： 学生姓名 孙浩钦 学生学号 2009112010120 院系专业 物理与电子科学学院 物理学学生班级 0901 学 生 承 诺 我承诺在学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）： 2013 年 5 月 6 日 指导教师承诺 我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 2013 年 5 月 6 日 目 录 . 1 . 1 . 1 研究物理问题过程中使用近似处理的方法 . 2 研究物理问题时对条件进行近似处理的方法 . 3 建立物理模型时使用近似似处理的方法 . 5 物理学计算中进行近似处理的方法 . 6 物理实验中进行似处理的方法 . 8 . 10 . 11 近似法在物理学中的应用 孙浩钦（指导老师，王中元 副教授） （ 湖北师范学院物理与电子科学学院 湖北 黄石 435002） 摘 要 : 物理学是一门定量的学科。 在描述物理模型、推导物理规律、求解物理问题和进行物理实验等方面 ， 为了分析认识所研究问题的本质特性 ， 突出实际问题的主要方面 ， 忽略次要因素 , 只要抓住主要的矛盾，无需追求精确的结果， 往往会用近似的方法对物理问题做出相应的处理。近似法是研究物理问题的基本思想方法之一 ， 在实 际中具有广泛应用。 关键词 : 近似法；物理学；运用 中图分类号 : un （ of 35002） is a In of of in to of of to of so as to of of is of of in 北师范学院物理与电子科学学院 2013 届学士学位论文 1 近似法在物理学中的应用 孙浩钦（指导老师，王中元 副教授） （湖北师范学院物理与电子科学学院 湖北 黄石 435002） “近似法”是指在分析、处理和研究某些物理现象和问题时，根据所研究问题的需要，忽略研究对象和问题的次要因素，突出其主要矛盾和本质特征，科学、合理地对所研究的问题进行近似处理的方法 。近似法不仅是一种常用的解题方法和思维方法，而且也是物理学的重要研究方法之一。研究物理问题时，往往涉及许多物理模型，如结构模型、运动模型、相互作用模型等，对这些模型的数学描述如果追求精确，处理起来常常感觉很棘手，但如果采用近似法处理，可使描述和运算简单化。但是，并不是说所有问题都要用近似法来解决的。因此，在解决问题时要根据问题本身来选择方法。 客观世界中物体间的相互作用相当复杂，所遇到物理问题通常也都很复杂，同时会有许多因素在里面起作用。我们研究这些问题时不可能面面俱到，而 只能侧重研究其中一个或少数几个主要的因素。如果要同时从各个方面、对各个起作用的因素都予以考虑，那么研究就很可能进行不下去。因此，要研究并解决物理问题，就需要建立一个比实际情况简单但与实际情况相似，且具有一些最主要特点的物理模型。建立了物理模型之后，就要对物理模型进行处理，即对它赋予数学形式，进行求解。在此过程中，有些数学形式太复杂，无法计算，这时就需要进行各种近似，使问题简单化，这样才能得出明了简洁的答案，暴露出所要研究问题中的最主要的物理规律和物理思想。 在研究物理问题 时，我们常常要用到各种各样的近似法对来一些物理问题来进行处湖北师范学院物理与电子科学学院 2013 届学士学位论文 2 理。下面列举一些物理学中常常用到的近似方法。 研究物理问题过程中使用近似处理的方法 物理学所研究的对象和过程，往往不是处于自然状态的实际客体和实际现象，而是采用科学抽象方法适当简化后建立的理想模型和理想过程；又由于物理学是一门实验科学，在观察和实验中，限于当时仪器的精密程度、操作技术的准确程度，从而不可避免地出现测量误差。因此，反映各物理量之间关系的物理规律往往具有近似性，它们只能在一定精度范围内足够真实但又近似地反映客观世界。物理近 似方法主要指理想化方法，即在物理教学中通过想象建立模型和进行实验的方法。通常的物理现象和物理过程相当复杂，因此在分析物理现象和研究物理过程时，就要忽略次要因素，抓住主要矛盾，通过想象而抽象出一个与实体特点相似的物理模型，以便于研究、分析问题，此即理想化方法。自然界的物质，从宇宙天体到分子、原子等基本粒子，从电磁场到引力场，无不处于永恒的运动变化之中，将一些复杂的物理过程进行分解、简化，近似抽象为简单的、易于理解的近似过程。利用这个理想化的近似过程，就能比较容易且相当准确地描述客观世界中真实物体的运动规律。 我们在研究物理规律，推导物理公式和结论时，如果完全依照实际情形推导，往往即繁又难。因此常常需要通过恰当的取舍进行近似处理，简化推导讨程。 试证明在双缝干涉实验中，相邻两条亮纹或暗纹间的距离 为x 其中 为光的波长， 图 1 双缝干涉 证明 :如图 1所示是双缝干涉的示意图， 1S 与 2S 是两条离得很近的狭缝，它们间的距离为 d ； 与刻有双缝的屏相互平行， O 为 21垂线上的点， 013 届学士学位论文 3 的距离为 L。现用单色激光束垂直照射双缝， O 点处一定是明亮的，这是因为 S 等远，从 1S 和 2S 射出的光，到达 O 点的路程相等，振动一定得到加强，因此是亮的。如果 点相邻的亮条纹中心，那么 S 及 2S 间的距离 1r ，及 2r 间应满足关系 12 中 为这单色光的波长。从图中可以看出， 2221 )2( ，2222 )2( 两式相减得： 2)( 12122122 由于 l 远大于 d ， l 远大于 x ； 因此 21 ，所以 ，即 。 研究物理问题时对条件进行近似处理的方法 力学中通常遇到的“光滑平面”、“不计空气阻力”、“忽略摩擦阻力”等，实际上就隐含了研究条件的各种近似，通 常很难实现这种理想情况，这只是为了研究问题的方便而假想的。牛顿第一定律就是物理实验大师伽俐略由理想实验得出的伟大杰作。实验内容是：把两个斜面对接起来，让静止的小球沿一个斜面滚下来，小球将滚上另一个斜面。如果没有摩擦，小球将上升到原来一致时的高度。如果减小第二个斜面的倾角，小球在这个斜面上仍然要达到原来的高度，但要通过更长的距离。继续减小第二个斜面的倾角，最后使它成为水平面，小球不可能达到原来的高度，就要沿着水平面以恒定的速度持续运动下去。伽俐略的理想实验，以可靠的事实为基础，经过抽象思维，抓住主要因素，忽略 了次要因素，从而更深刻地反映了牛顿第一定律这个自然规律 1。此外，在研究牛顿第二定律的演示实验中，当小车的质量远大于祛码的质量时，可以认为小车所受的水平拉力的大小近似等于祛码 (包括祛码盘 )所受重力的大小，从而得出小车的加速度 a、力 也是物理实验对条件的一种近似。 伽利略忽略实际物体间存在的摩擦力这一事实，设计出的在可靠事实基础之上的理想斜面实验，基本上得出了惯性定律，推翻了亚里士多德“力是维持物体运动状态的原因”的错误观念，为牛顿力学体系的创立铺平了道路；质点模型的引入为万有引力定 律、牛顿运动定律及力学理论建立了基础。 此外，“细绳”、“轻杆”、“轻弹簧”则隐含了研究中绳子、杆、弹簧的质量可以忽略不计，只需重点分析题中最主要的研究对象 2。一般的振动是一种很复杂的过程，为了讨论振动现象，并揭示其一般规律，我们对振动过程进行简化，不考虑摩湖北师范学院物理与电子科学学院 2013 届学士学位论文 4 擦力和空气阻力的影响，先研究其中最简单、最基木的理想化振动形式，即简谐运动。弹簧振子所作的振动就近似看作简谐运动。简谐振动是忽略了阻尼作用而简化得到的一种等幅振动。热学中的等压变化、等温变化、等容变化、绝热过程等，也都是过程的理想的模型化 3。在讨论 这些问题是都对其条件近似处理，忽略其他次要条件的影响。又如杠杆中“硬棒”的“硬”则说明不考虑棒的形变，把棒当作刚体来研究。自由落体运动是忽略了空气阻力和高度变化对重力加速度的影响等次要因素的情况下提炼出来的理想运动。 在热学中，为了表征一定质量气体处在热动平衡态时三个状态参量 (P , V ,T )之间存在的关系，许多物理学家进行了不懈的努力，从实验中总结出了玻意耳一马略特定律、盖吕萨克定律、查理定律这三条基本定律，并通过理想气体模型，运用逻辑思维把三个气体的经验定律统一起来，得到一般形式下的理想气体状态方程，从而为热力学理论的发展奠定了基础 4。 推导理想气体的压强公式时，忽略了气体分子在两个容器壁间运动时与其它气体分子的碰撞作用，并且忽略了气体与器壁碰撞时的摩擦力作用而把这种碰撞认为是完全弹性碰撞；弹性碰撞是忽略了物体间的相互摩擦而得到的一种理想化过程。再比如无限长螺线管 内的均匀磁场是忽略了边缘效应而把磁感应强度视为恒量的一种近似。在研究物理问题时，对其过程的近似处理，不但可以使问题得到简化，提炼出物理现象的本质规律，还可以加深学生对有关概念、规律的理解，有利于培养学生思维的灵活性 5。 图 2 双电容法 如测量比荷置如图 2所示，在真空管中由阴极 初速度可以忽略不计，此电子被阴极 间的电场加速后穿过屏障 1D 上的小孔，然后顺序穿过电容器 1C ，屏障 2D 上的小孔和第二个电容器 2C 而射到荧光屏 极与阴极间的电势差为 u ，在电容器 21间加有频率为 f 的完全相湖北师范学院物理与电子科学学院 2013 届学士学位论文 5 同的交流电， 21间距离为 L ，选择频率 证明电子的比荷为 22 /2/ ，其中 电子从 K 发出由于速度很小因此近似看作静止的。在其运动过程中忽略边缘效应，电子可以近似的看作没受到其它外力的影响。由于 21加的是交变电压，所以电子穿过 21，电压要变化，不会总为一定值。但由于电子通过电容器的时间极短，所以在极短的时间内，电压可近似 看作不变，所以要想电子不偏转。则电子通过 21两极间的电压应为零，从而求解 子通过 21候两级的电压为 0，即 （ 子进过 据动能定理有 221 故： 22 /2/ 建立物理模型时使用近似似处理的方法 所谓模型，就是人们为了某种特定的目的而对研究对象、研究过程所作的一种简化的描述。客观世界千头万绪，错综复杂，自然界中发生的一切物理现象和物理过程也是极其复杂的。近似法是建立物理学理论的基础方法之一，它在物理学的产生和发展过程中发挥了重大作 用。纵观物理学史，从宏观天体的运行到微观粒子的运动，无论是力学现象、热学现象、光学现象还是电磁学现象，不论是原子物理，还是近代物理，物理学的一切理论无不是建立在一定的模型上的。而从前面的分析知道，物理模型或多或少总是与客观实际之间存在着一定的差距，任何模型的建立都是具有近似性的。在一定的条件和目的下，可以事先建立一个物理模型，即抓住研究对象的主要特点和本质因素，忽略次要因素，把研究对象抽象为一个简单但足以表征其主要特征的理想化模型。尽管对条件进行近似处理来建立物理模型，但利用这个与实际情况差距极小的理想化模 型对物理现象进行研究，得到的物理规律却是最能反映出实际研究对象行为的规律。 物理学中常把研究的客观实体抽象为理想化实体模型，或把所研究的物理过程抽象为理想化过程模型。这种物理科学方法，能抓住研究对象、研究过程的主要特征，舍去大量具体细节，将研究对象、过程进行简化，即对研究对象或过程采用了近似处理的方法。根据近似的具体情况，对模型的近似处理可以是对研究对象本身的近似，即忽略研湖北师范学院物理与电子科学学院 2013 届学士学位论文 6 究对象本身的次要因素，只考虑其主要因素。如 :力学中的质点就是最简单、最重要的理想化物理模型。如果在所研究的问题中物体的大小和形状不起作用 或所起作用很小，就可以忽略它的大小和形状，而用一个代表质量的点来代替整个物体，这个点就称为质点 6。在研究地球的公转时，我们就可以把地球视为质点。 再如，力学中刚体的概念也应用了近似处理的方法。刚体是一种理想化物理模型，无论它在多大外力的作用下，系统内任意两点间的距离始终保持不变。再比如点电荷模型也是科学近似的结果，实验表明，每个静止的带电体之间的作用力 (静电力 )除了与电量及相对位置有关外，还依赖于带电体的大小、形状及电荷的分布情况。要用实验确立所有这些因素对静电力的影响是困难的；但是，如果带电体的线度比 带电体之间的距离小得多，那么，静电力基本上只取决于它们的电量及其之间的距离。这时，我们就可忽略带电体的大小、形状及电荷分布等次要因素，突出带电体的电量及它们之间的距离这些主要因素，将带电体视为只带有一定电量的几何点，即点电荷。这一模型的精确程度不仅取决于带电体本身的大小，而且还取决于它们之间的距离以及讨论问题所要求的精确程度。另外哥白尼对天体运行的简化模型 太阳系模型、卢瑟福对原子结构的简化模型 原子核模型，以及对点光源、薄透镜、单摆、弹簧振子、轻绳等问题的处理时，均属于对实体的近似处理。电磁学研究的很多理 论也借助了物理模型得以实现。如为了总结两个静止的带电体间相互作用力的基本规律而引入的电荷模型，为库仑定律的建立提供了条件，库仑定律就是在点电荷模型条件下由库仑通过扭秤实验总结出来的。而库仑定律的建立又为电磁学理论的发展提供了理论基础，随后所建立起来的静电场的环路定理、高斯定律等都是在库伦定律的基础上建立起来的 7。又如当螺线管的管径远比管长小时，可忽略螺线管的边缘效应，将管内部的磁场视为匀强磁场。除此之外，光学、原子物理学、近代物理学等的理论也都是建立在一定的模型之上的。此外，在研究刚体运动的力学规律时， 为简化问题而抽象出来的理想化模型 刚体，即是在忽略在外力作用下物体所发生的微小形变而得到的；再如流体力学中没有粘滞性、不可压缩的“理想流体”；气动理论中忽略分子体积和分子引力作用的“理想气体”；电磁学中的理想变压器模型等。 物理学计算中进行近似处理的方法 物理学是一门定量科学，在分析解决物理问题时，数学成了一个必不可少的工具。在解决某些物理问题时，无需追求结果的精确性，只要抓住主要矛盾，对计算结果进行合理的近似，就可反映出该物理问题的物理本质，揭示出物理规律。在处理各种实际问湖北师范学院物理与电子科学学院 2013 届学士学位论文 7 题时，除了采用适当的 模型以简化问题外，往往还需要借助数学工具对模型进行处理。由于数学与物理相互联系，密不可分，要想学好物理知识，必须有扎实的数学知识作基础。因此，数学近似方法也是物理中一种重要的处理问题 的方法。在对结果进行近似处理时，可以根据具体情况，结合数学知识，采用不同的近似方法。比如利用泰勒级数或付里叶级数，可以求得许多函数的近似解；再比如用有限过程 (如取有限项、有限次 )代替无限过程 (无限项、无限次 )；或者忽略一些较小项对结果的影响，进行数量级的估算等 8。在物理学处理上，也常常需要进行近似处理。 如三角函数的近似在物 理学中的运用，常见的三角函数近似公式有 : 222 s in=c o s ,c o s ,s ,时 1 ，相对误差 小。所以，伏特表的内阻大，而待测电阻小时，使用安培表外接较合适。 由以上分析可知用伏安法测电阻时，由于安培表和伏特表都有一定的内阻，将它们接入电路后，就存在着接入误差（系统误差），所以测得的电阻值不是偏大就是偏小，两个相比较，当 X 时，采用安培表外接电路有利。 应说明的是，待测电阻的阻值大小是相对于所用仪表的内阻来说的。量程大的安培计内阻小，量程小的内阻大；量程大的伏特计内 阻大，量程小的内阻小。但量程大的电表每小格表示的安培数或伏特数较大，对于很小的电流和电压读不出较准确的值来。 除电表内阻对测量结果的影响外，电表的准确度不同级别对电阻测量也会带来误差。 在伏安法测电阻这个实验中，不但对电压表和电流表都忽略了其内阻进行了近似的处理，还对实验中各式各样的误差进行了近似的处理。 例如在“用油膜法测分子大小实验”中，需要测量出油膜分布的面积大小，一般将油膜分布的图形在坐标纸上的进行投影，每格正方形大小为 21通正方形的方格来计算出油膜面积的大小。 分析 :先计算完整格的格数和不完整格的格数，将不完整的格数做近似处理：将面积等于或超过小正方体一半的格当作一个，将面积不到一半的格子数忽略掉，再由格子湖北师范学院物理与电子科学学院 2013 届学士学位论文 10 数目来计算出图形面 积。如此作近似处理可以估算出油膜的面积。 从以上讨论可以看出，近似法在物理学中有广泛的应用。通过近似处理的手段，抓住了所研究问题的本质属性，简化了求解过程 有广泛的应用，善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究应培养的重要能