两齿差摆线行星齿轮传动的设计【中文3031字】
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两齿差摆线行星齿轮传动的设计【中文3031字】,两齿差,摆线,行星,齿轮,传动,设计,中文
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本科毕业设计（论文）外文翻译译 文 题 目 ： 两 齿 差 摆 线 行 星 齿 轮 传 动 的 设 计学 院 ： 机 电 与 车 辆 工 程 学 院专 业 ： 机 械 设 计 制 造 及 其 自 动 化学 生 姓 名 ： 陈 婷学 号 ： 6 3 1 4 2 4 0 1 0 5 0 1指 导 教 师 ： 徐 向 阳完 成 时 间 ： 2 0 1 8 年 4 月 1 0 日译 自 ： Designofcycloidplanetarygeardriveswithtoothnumberdifferenceoftwo两 齿 差 摆 线 行 星 齿 轮 传 动 的 设 计Shyi-JengTsaiLing-ChiaoChangChing-HaoHuang摘 要 ： 摆 线 行 星 齿 轮 减 速 器 在 自 动 化 机 械 中 有 着 广 泛 的 应 用 。 即 使 该 减 速 器 具 有 高 传 动 比 、 多 齿对 啮 合 、 减 震 能 力 强 等 优 点 ， 如 何 提 高 传 动 装 置 的 功 率 密 度 仍 然 是 当 今 摆 线 行 星 齿 轮 减 速 器 发 展的 重 要 课 题 。 为 此 ， 提 出 了 两 齿 数 差 的 概 念 。 本 文 的 目 的 是 系 统 地 分 析 这 种 摆 线 行 星 齿 轮 传 动 的载 荷 接 触 特 性 ， 以 评 价 其 可 行 性 。 本 文 首 先 导 出 了 摆 线 轮 廓 、 齿 面 接 触 和 摆 线 阶 段 比 滑 动 的 基 本方 程 。 从 建 立 的 基 于 影 响 系 数 法 的 模 型 出 发 ， 提 出 了 一 种 载 荷 齿 接 触 分 析 方 法 。 通 过 算 例 ， 系 统地 分 析 了 设 计 参 数 对 接 触 特 性 的 影 响 。 所 得 出 的 这 些 结 果 也 与 传 统 的 齿 数 差 为 1的 传 动 装 置 进 行了 比 较 。 分 析 结 果 表 明 ， 该 概 念 具 有 较 大 的 偏 心 率 和 较 小 的 销 钉 半 径 ， 既 能 有 效 地 扩 大 接 触 比 ，又 能 有 效 地 减 小 比 滑 、 载 荷 和 接 触 应 力 。 虽 然 轴 承 载 荷 的 径 向 部 分 也 可 以 相 应 地 减 小 ， 但 是 利 用两 齿 数 差 的 概 念 不 能 有 效 地 降 低 总 周 期 时 变 轴 承 载 荷 。1 . 引 言摆 线 行 星 齿 轮 减 速 器 是 动 力 和 精 密 运 动 传 动 的 重 要 传 动 装 置 。 目 前 ， 设 计 为 两 级 偏 心 差 速 器的 齿 轮 机 构 ， 即 所 谓 的 “ RV-传 动 ” ， 在 自 动 化 机 械 中 得 到 了 广 泛 的 应 用 。 如 图 1所 示 的 结 构 图所 示 ， 这 种 齿 轮 传 动 类 型 由 一 个 渐 开 线 行 星 级 传 动 和 一 个 两 个 圆 盘 的 摆 线 行 星 级 传 动 组 成 。 每 一个 渐 开 线 行 星 都 安 装 在 曲 柄 轴 上 ， 以 产 生 摆 线 盘 的 旋 转 运 动 。 这 种 设 计 结 构 不 仅 具 有 齿 轮 比 高 的优 点 ， 而 且 由 于 多 齿 对 的 接 触 ， 在 分 担 载 荷 和 减 震 能 力 方 面 具 有 良 好 的 性 能 。 然 而 ， 目 前 齿 轮 减速 器 设 计 的 趋 势 是 除 了 对 精 密 运 动 的 要 求 外 ， 还 要 增 大 功 率 密 度 。 为 此 ， 必 须 减 少 接 触 齿 副 和 曲柄 上 的 载 荷 。图 1 摆 线 行 星 齿 轮 传 动 结 构在 各 种 的 措 施 中 ， 通 过 采 用 较 大 的 齿 数 差 的 这 种 设 计 理 念 可 以 为 改 善 负 载 接 触 特 性 提 供 一 种可 能 性 。 换 句 话 说 ， 摆 线 齿 轮 副 的 齿 数 差 的 可 能 选 择 为 两 种 ， 而 不 是 常 规 应 用 中 经 常 使 用 的 一种 。 在 实 际 应 用 中 ， 齿 数 差 为 2( z=2)的 齿 轮 传 动 常 用 于 小 减 速 比 的 传 动 ， 但 是 齿 数 差 为 2的齿 轮 传 动 在 传 动 比 比 较 高 的 情 况 下 则 很 少 使 用 。 因 此 ， 评 价 这 种 替 代 驱 动 概 念 的 可 行 性 是 很 有 趣的 。 本 文 探 讨 了 设 计 参 数 对 加 载 接 触 特 性 的 影 响 ， 并 与 常 规 传 动 进 行 了 比 较 。载 荷 分 析 的 基 本 工 作 是 导 出 几 何 和 运 动 学 之 间 的 关 系 。 对 摆 线 轮 廓 线 数 学 模 型 的 研 究 在 许 多文 献 中 都 有 发 现 。 根 据 齿 轮 传 动 理 论 或 运 动 学 方 法 ， 也 可 以 对 齿 轮 啮 合 进 行 分 析 ， 比 如 即 时 中 心方 法 。 齿 轮 传 动 的 另 一 个 评 价 标 准 是 啮 合 齿 之 间 的 滑 动 特 性 。 例 如 齿 侧 的 损 伤 ， 如 点 蚀 、 磨 损 或打 分 ， 这 些 可 以 用 比 滑 动 率 来 预 测 。 然 而 ， 在 有 关 摆 线 齿 轮 泵 的 相 关 研 究 文 献 中 ， 较 少 涉 及 摆 线齿 轮 减 速 器 的 研 究 。此 外 ， 载 荷 分 析 也 是 评 价 z=2齿 轮 传 动 可 行 性 的 一 个 重 要 问 题 。 摆 线 齿 轮 接 触 应 力 分 析 的常 用 方 法 是 驱 动 器 有 限 单 元 法 。 基 于 该 分 析 方 法 而 开 发 了 另 一 种 负 荷 分 析 方 法 。 比 如 轧 制 作 用力 的 计 算 方 法 ， 该 方 法 是 为 了 支 持 在 滚 动 作 用 力 下 的 的 摆 线 盘 的 轴 承 。 也 有 着 重 研 究 了 制 造 误 差对 传 输 负 载 和 传 动 误 差 的 影 响 。 还 有 一 些 人 基 于 齿 面 啮 合 刚 度 假 设 ， 分 析 了 加 工 误 差 对 动 载 荷 行为 的 影 响 。 也 有 人 进 行 了 接 触 应 力 分 析 实 验 ， 验 证 了 分 析 方 法 的 理 论 分 析 结 果 。 本 文 作 者 基 于 影响 系 数 法 开 发 了 一 种 数 值 加 载 的 齿 面 接 触 分 析 方 法 ， 该 方 法 还 成 功 地 应 用 于 摆 线 齿 对 以 及 考 虑 轴承 刚 度 和 摩 擦 力 的 全 齿 接 触 分 析 。因 此 ， 本 文 的 目 的 是 系 统 地 研 究 设 计 参 数 对 这 种 替 代 驱 动 概 念 的 接 触 和 负 载 特 性 的 影 响 。 本文 首 先 导 出 了 z=2的 摆 线 齿 廓 、 齿 面 接 触 和 摆 线 阶 段 比 滑 动 的 基 本 方 程 。 扩 展 了 一 种 新 的 载 荷分 析 方 法 。 从 发 展 的 数 值 加 载 的 齿 面 接 触 分 析 模 型 ， 进 一 步 系 统 地 分 析 了 设 计 参 数 对 接 触 特 性的 影 响 ， 即 ： 接 触 比 、 比 滑 动 、 载 荷 分 担 、 接 触 应 力 。 本 文 讨 论 了 周 期 时 变 轴 承 载 荷 并 且 将 这些 结 果 与 z=1的 常 规 驱 动 器 进 行 了 比 较 。2 摆 线 行 星 齿 轮 传 动 分 析 方 法 的 基 本 原 理2.1 两 齿 差 摆 线 盘 的 构 造基 本 齿 廓 的 定 义 ： z=2行 星 摆 线 级 的 齿 廓 可 以 看 作 是 两 个 具 有 相 同 基 座 摆 线 廓 线 的 两 个 圆 盘 的组 合 ， 其 角 度 为 c ， 其 值 等 于 基 摆 线 轮 廓 的 2oC ， 见 图 2。摆 线 轮 廓 的 基 本 设 计 参 数 如 下 ：螺 距 圆 半 径 为 cR 的 销 轮 ；针 的 半 径 pr ；曲 柄 的 偏 心 度 ；传 动 的 齿 轮 比 e， 这 里 等 于 zZp 。图 2 z=2的 摆 线 盘 的 构 造2.2齿 轮 啮 合 分 析摆 线 齿 轮 啮 合 的 分 析 可 以 将 圆 片 视 为 固 定 的 ,当 销 轮 的 中 心 相 对 于 曲 柄 轴 角 c 围 绕 盘 的 中 心 移 动时 ， 销 轮 本 身 也 以 角 ）（ ucp 旋 转 。 相 对 运 动 可 以 用 图 3所 示 的 几 何 关 系 来 表 示 。图 3 z=2的 摆 线 盘 齿 面 接 触 的 基 本 几 何 关 系2.3 两 种 齿 数 差 的 典 型 齿 廓由 于 基 摆 线 轮 廓 由 凹 型 和 凸 型 组 成 ， 在 z1的 情 况 下 ， 可 以 找 到 两 种 轮 廓 类 型 ， 即 凹 型 或凹 型 一 凸 型 。 根 据 拐 点 位 置 与 针 尖 指 向 之 间 的 关 系 ， 对 这 两 种 摆 线 轮 廓 进 行 了 划 分 。凹 型 轮 廓 类 型 ， tinf P 凹 型 凸 型 轮 廓 类 型 ， Pt inf 。一 般 情 况 下 ， 凹 面 轮 廓 有 利 于 齿 面 接 触 ， 但 接 触 比 也 相 应 降 低 。3数 值 算 例 综 述为 了 分 析 设 计 参 数 的 影 响 ， 在 表 1中 列 出 了 必 要 的 齿 轮 数 据 。 本 文 所 考 虑 的 设 计 参 数 是 销 半径 Pr 和 偏 心 度 e， 相 应 的 分 析 值 列 于 表 2。 这 里 不 考 虑 更 大 的 销 半 径 ， 因 为 在 销 轮 上 安 装 销 的 可用 空 间 是 有 限 的 。 表 1 数 值 分 析 中 的 基 本 齿 轮 传 动 数 据名 称 数 值 备 注销 轮 的 节 圆 半 径 1 6 2 .5 mm摆 线 盘 的 齿 数 7 8销 轮 齿 数 8 0减 少 比 率 (卡 勒 固 定 ) 4 0 Zp/z摆 线 盘 厚 度 3 1 .5 mm轴 承 孔 中 心 半 径 9 0 mm输 出 扭 矩 4 0 0 0 Nm表 2 影 响 分 析 的 设 计 参 数名 称 数 值针 形 半 径 3 ,4 ,5 ， （ 6 ）偏 心 2 .5 ,3 ,3 .54 设 计 参 数 的 影 响 分 析4.1齿 廓 与 接 触 比设 计 参 数 e和 Pr 对 尖 端 位 置 和 接 触 比 率 的 影 响 表 示 在 图 4中 。 由 于 齿 面 接 触 比 与 齿 形 变 量Pt 呈 线 性 相 关 ， 因 此 图 中 的 曲 线 同 时 说 明 了 齿 面 接 触 和 齿 形 变 量 这 两 个 因 素 。一 般 情 况 下 ， z=2的 摆 线 传 动 具 有 较 小 的 引 脚 和 较 大 的 偏 心 比 ， 且 具 有 较 大 的 接 触 比 。 在 这 种情 况 下 ， 摆 线 轮 廓 具 有 凸 凹 部 分 。 另 一 方 面 ， 较 大 的 销 钉 半 径 ， 例 如 ， 7r P ， 其 降 低 了 接 触 比 ，增 加 了 偏 心 率 。偏 心 e（ mm）图 4 电 子 和 电 子 技 术 对 针 尖 定 位 及 触 点 比 的 影 响4.2比 滑 动图 5和 图 6分 别 说 明 了 针 半 径 Pr 和 偏 心 e对 比 滑 动 的 影 响 。 摆 线 盘 厚 度 c 的 比 滑 动 远 大 于 针 轮 厚度 P 。 P 的 比 滑 动 单 调 地 从 开 始 A增 加 到 E。 相 反 ， c 的 比 滑 动 先 单 调 下 降 ， 然 后 渐 近 于 奇 点 附近 的 一 点 ， 其 中 传 输 角 等 于 15。 当 齿 对 进 一 步 啮 合 时 ， c 从 无 穷 大 减 小 到 一 个 局 部 极 限 值 。图 5销 径 Pr 对 比 滑 动 的 影 响图 6偏 心 率 e对 比 滑 动 的 影 响4.3接 触 齿 对 之 间 的 共 同 载 荷因 为 活 齿 对 的 传 动 角 是 不 同 的 ， 正 常 载 荷 在 接 触 齿 对 之 间 的 分 配 也 不 均 匀 。 销 半 径 对 载 荷 分 配的 影 响 较 小 ， 相 反 ， 一 个 较 小 的 偏 心 会 导 致 不 均 匀 地 分 担 负 载 。5 与 齿 数 差 为 1的 摆 线 行 星 齿 轮 传 动 比 较为 了 比 较 其 传 动 特 性 ， 使 z=1和 2的 减 速 器 的 偏 心 度 e为 相 同 的 值 ， 而 使 其 销 半 径 的 值 不同 。6 总 结 和 展 望为 了 提 高 高 传 动 比 摆 线 行 星 齿 轮 传 动 的 传 动 性 能 ， 提 出 了 齿 数 差 为 2( z=2)的 概 念 。 利 用建 立 的 基 于 影 响 系 数 法 的 加 载 齿 接 触 分 析 模 型 ， 探 讨 了 该 传 动 方 式 的 载 荷 接 触 特 性 。 分 析 了 设 计参 数 对 偏 心 率 和 销 径 的 影 响 ， 并 与 z=1的 摆 线 行 星 齿 轮 传 动 进 行 了 比 较 。 因 此 得 到 了 一 些 结 果 ，分 析 结 果 使 我 们 得 出 以 下 结 论 ：（ 1） 采 用 合 适 的 设 计 参 数 可 以 提 高 z=2的 摆 线 行 星 齿 轮 传 动 的 理 论 接 触 比 ， 并 期 望 采 用 较 小的 针 半 径 和 较 大 的 偏 心 度 。（ 2） 偏 心 率 对 比 滑 动 有 显 著 影 响 。 当 偏 心 较 大 时 ， 具 有 无 限 大 比 滑 动 c 的 点 将 向 齿 根 方 向 移 动 ，即 摆 线 轮 廓 ， 且 c 值 减 小 ，（ 3） z=2载 荷 和 接 触 应 力 的 共 同 作 用 侧 翼 ， 且 在 z=1的 情 况 下 可 以 显 着 地 降 低 接 触 应 力 ， 小数 值 的 销 半 径 和 较 大 偏 心 度 适 合 于 这 种 传 动 装 置 的 设 计 。（ 4） Z 2的 侧 向 载 荷 和 接 触 应 力 的 变 化 与 循 环 渐 开 线 齿 轮 传 动 一 样 ， 类 似 于 渐 开 线 直 齿 圆 柱齿 轮 传 动 的 现 象 。（ 5） 用 z=2的 摆 线 齿 轮 传 动 对 于 减 小 曲 柄 上 的 轴 承 载 荷 的 效 果 不 是 很 显 著 ， 因 为 环 向 力 的 影响 要 大 得 多 。然 而 ， 由 于 间 隙 存 在 的 必 要 性 ， 这 种 改 进 后 的 摆 线 廓 形 常 被 应 用 于 实 际 应 用 中 ， 而 不 是 应 用于 理 论 中 。 因 此 为 了 进 一 步 设 计 z=2的 摆 线 传 动 的 侧 面 改 进 ， 本 文 得 出 了 一 些 好 的 结 果 。 同 时 ，本 文 提 出 的 分 析 方 法 也 是 一 种 有 效 的 工 具 。译 文 原 文ForschIngenieurwes(2017)81:325336DOI 10.1007/s10010-017-0244-yORIGINALARBEITEN/ORIGINALSDesignofcycloidplanetarygeardriveswithtooth numberdifferenceof twoA comparative study on contact characteristics and loadanalysisShyi-JengTsai1 Ling-ChiaoChang1 Ching-HaoHuang1Received:30March2017Springer-VerlagGmbHDeutschland2017Abstract The cycloid planetary gear reducers are widelyapplied in automation machinery. Even having the advan-tages of high gear ratio, multiple contact tooth pairs andshock absorbing ability, how to enlarge the power densityof the drives is still the essential development work today.Tothis end, the concept of tooth number difference of twois proposed. The aim of the paper is to analyze systemati-cally the loaded contact characteristic of such the cycloidplanetary gear drives so as to evaluate the feasibility. A setofessential equations for the cycloid profile, the tooth con-tact and the specific sliding of the cycloid stage are at firstderived in the paper. A loaded tooth contact analysis ap-proach is extended from a developed model based on theinfluence coefficient method. The influences of the designparameters on the contact characteristics are systematicallyanalyzed with an example. These results arealso comparedwith the conventional drive having tooth numberdifferenceof one. The analysis results show that the proposed con-cept with a larger eccentricity and a smaller pin radius cannot only effectively enlarge the contact ratio, but also re-duce the specific sliding, the shared loads and the contactstress. Although the radial portion of the bearing load canbe also reduced accordingly, the total periodical time-vari-antbearing loadcan notbereducedeffectively byusingtheconceptoftoothnumberdifferenceof two.Shyi-JengTsaisjtsai.tw1 DepartmentofMechanicalEngineering,NationalCentralUniversity,No.300,Jhong-DaRoad,Jhong-Li District,TaoyuanCity320,Taiwan1 IntroductionThe cycloid planetary gear reducers are important dri-ves for power and/or precision motion transmission. Thegear mechanism designed in the type oftwo-stageeccentricdifferential, i. e. the so-called “RV-drive”, is today widelyapplied in automation machinery. As the structural dia-grams in Fig. 1 show, this gear drive type consists of aninvolute planetary stage and a cycloid planetary stage withtwo disks.Each involute planet is mounted on acrankshaftto generate the revolution motion of the cycloid disk. Suchthe design configuration has not only the advantages ofhigh gear ratio,but also good performances in load sharingand shock absorbing ability becauseof multiple tooth pairsin contact. Nevertheless, the trend in designing the gearreducers today is to enlarge the power density, besides therequirements on precise motion. Tothis purpose, the loadsacting on the contact tooth pairs and the cranks must bereduced.Among various measures, the design concept by usingalarger tooth number difference (abbr. TND) can giveapossibilitytoimprovetheloadedcontact characteristics.Fig. 1 Structureofcycloidplanetarygeardrive1 326 ForschIngenieurwes(2017) 81:325336In other words, the TND of the cycloid gear pair can beselectedastwo,notasonethat isoften used inthe conven-tionalapplication.ThegeardriveswithTNDoftwo(6z =2) are often applied in the transmission of small reductionratios in the practice, but they are rarely used in the caseswith a higher ratio. Therefore it is interesting to evaluatethe feasibility of such the alternative drive concept. Theinfluences of the design parameters on the loaded contactcharacteristics and the comparison with the conventionaldrivesshouldbe explored.The essential work for the load analysis is to derive thegeometrical and kinematic relations. The study on the ma-thematic modelof thecycloid profilecan befound inmanyliteratures. The gear mesh can be also analyzed based onthe theoryofgearing orthe kinematic methods,e.g. thein-stant center method 2, 3. Another evaluation criterion ofthedrivesistheslidingcharacteristics betweentheengagedteeth. The damages on the tooth flanks, e. g., pitting, wearorscoring, can bepredicted bythe ratio of specific sliding.However,the related research is often found in some artic-les on trochoidal gear pumps 4, and is less mentioned inthefieldofthecycloidgear reducer.Additionally, the load analysis is also an important is-sue for evaluating the feasibility of the gear drives with6z = 2. The often applied method for analysis of the con-tact stress of the cycloid gear drives is FEM, e. g. 59.Another approach for load analysis is developed based onanalytical methods. For example,Dong etal. 10proposeda calculation approach for the acting forces on the rollingbearingsforsupportingthecycloiddisks.BlancheandYang11,12 focused onthe influences of the manufacturing er-rorsonthetransmittedloadandtransmissionerrors.Hidakaet al. 13 analyzed the influences of manufacturing errorson the dynamic load behaviors based on the assumptionof contact mesh stiffness of tooth action. Gorla et al. 14conducted an experiment to analyze the contact stress soas to validate the theoretical analysis results from the ana-lyticalapproach. The authorshave developed an numericalloaded tooth contact analysis (LTCA) approach based onthe influence coefficient method 15.This approachisalsosuccessfully applied for analysis of the cycloid tooth pairs2, 3 and also the complete tooth contact considering thebearingstiffnessandthefriction 16.The aim of the paper is therefore to studysystematicallythe influences of the design parameters on the contact andloadingcharacteristicsofsuchthealternativedriveconcept.A set of essential equations for the cycloid profile, toothcontact and the specific sliding of the cycloid stage with6z = 2 are at first derived in the paper. A new load analy-sis approach is extended from the developed LTCA model12.Theinfluencesofthedesignparametersonthecontactcharacteristics are further systematically analyzed.Namely,thecontactratio,thespecificsliding,theloadsharing, thecontact stress and the periodical time-variant bearing loadsarediscussed in the paper.These results are also comparedwiththeconventionaldrivehaving6z= 1.2 Fundamentals of the analysis methods forcycloid planetary geardrives2.1 Construction of the cycloid disk for toothnumberdifference (TND) oftwo(1) Definition of the base tooth profiles. The toothprofileof the planetary cycloid stage with 6z = 2 can be regardedas combination of two disks with the same base cycloidprofile rotated against each other with an angle C, whichisequaltoC0/2 ofthebasecycloid profile.,seeFig.2. Theessential design parameters for the cycloid profile are asfollows, thepitchcircleradiusRCofthepin-wheel, theradiusrP ofthepins, theeccentricityeofthecrank, thegearratiouofthedrive,hereequalto zP/6z.Thebasecycloidprofileisinaccordancewiththecycloidprofilewith thesamedesign parametersbutwith 6z = 1,i.e.,ownsthecoordinates2,seeFig. 3:xC =RC cosotherwise, if the cranks rotate in the clockwise direction, the toothpairswithnegativeeqi areincontact.(6) Sliding velocity. on the contact point plays an import-antroleforevaluationoftoothscuffing.Theslidingvelocityoftheithcontacttoothpaircanbedeterminedbasedonthe ThespecificslidingCi willbecomeinfinitelygreat, andPi =1,ifthetransmissionanglei isequalto /2.2.3 Typicaltooth profile for TND oftwoBecause the base cycloid profile consists of both concaveandconvexprofile,twoprofiletypes,i.e.,eitherconcaveorconcave-convex profile,can befound inthe caseof6z 1.Thesetwo typeofthe cycloid profile aredivided accordingto the relation between the location of the inflection pointandtippointing,i.e., concaveprofile,inf pt; concave-convexprofile,infpt.Ingeneral,theconcaveprofileisgoodfortooth contact,butthecontactratioisreduced accordingly.i:4 5ForschIngenieurwes(2017) 81:325336 3292.4 Loaded tooth contactanalysis n 0 m 1 TX X(1)BasicLTCAmodelforcycloidstage. Thecontactpro-blemofmultipletoothpairsunderloadingisstatically in- i=1 sqi j=1 pijA= (18)edeterminate. The shared loads on the tooth pairs can besolved by using two typesof equations,namely the equati-ons of load equilibrium as well as the equations of loadeddeformationanddisplacement15.Tothisend,anumericalapproachforloadedtoothcontactanalysisofcycloidplane-tarygeardrivesisdevelopedbytheauthors.This approachisbasedontheinfluencecoefficientmethodtoexpress the where the factorqi is equal toqi =sini.The set of the deformation-displacement equations andthe load equilibrium equation can besummarized in aformofmatrixequation2,asthe expression:relation of the deformation of any specific point i on the 6 :engagedflanks dueto theinfluence ofall the distributed 776qnI Ppressurespj,i.e., 4q s I q s I 54q s I 0nwi =X.fij pj. (16)j=1wherefij istheinfluencecoefficientforthecondition, that 1 1 2 2 n n e2 H 1 36 H 2 76 76 76 76 H n 7 (19)thedeformationonpointiiscausedbyaloadactingon thepointj. .A Q P . . H= T=.ue/. (20)Therelationsofdisplacement-deformationisthus validforthespecificpoint Yi S 0 e T=.ue/wi +hi =eqi (17)wherehiistheseparationdistancebetweenthe engagedflanksatthediscretepoint,moredetailsee 2.Another relation for the loaded tooth contact is the loadequilibrium equation, i. e., the sum of all the acting forcesin the tangential direction (see Fig. 6) must be equal to theequivalentforceT/(ue),i.e., The sub-matrices in Eqs. 19 and 20 are defined as fol-lows: Aicontains all the influence coefficients fPifor the toothpairi; all these sub-matrices are summarized in the ma-trixA inEq.20. I iseitherthecolumnortherowunitvector. Pias a column vector contains all the contact stressesonthediscrete units ofthe tooth pairi; allthesesub-vectorsaresummarizedinacolumnvector PinEq.20. Hias a column vector contains all the separation distan-ces between the engaged tooth flanks of the tooth pair iaccording to the discrete points; all these sub-vectorsaresummarizedinacolumnvector HinEq.20. S inEq.20combinesalltherowvectorswithavalue ofqisi.Because the contact region of two engaged flanks aredivided into small discretized areas for load analysis, theactual contact pattern and distributed contact stresses canbesimulated.Moredetailscanbefoundin2,3,15, 16.(2) ConversionofthebasicLTCAmodelforthecasewith6z= 2. Considering two disks with a separation angle ofC,the LTCAmodelfor analysisof thecase of6z=2canbeexpandedbytheexpression:2AI 0 QI32PI3 2HI34 0 AII QII5 4PII5 =4HII5 (21)Fig. 6 Relationofactingforcesonthecycloiddisk SI SII 0 e T=e2 A1 0 0 q1I32P136 0 A2: 0: q2I76P2766 : : : : : 7 6 : 7 6 : 776 0 0 An 76 7n5=u330 ForschIngenieurwes(2017) 81:325336Thecontact areaswith distributed stressesof the contacttoothpairsbasedonEqs.19or21aresolvediterativelyuntilthe convergent condition is fulfilled, i. e., all the contactstressesarepositive.(3) Load sharing of the drive is distinguished betweenthe loadsharing among the toothpairsataspecific angularposition as well as the shared loads distributed on an indi-vidualtoothflank within ameshing cycle. ThenormalloadFNiI,II acting on the ith odd/even-numbered contact toothpair is determined as the sum of all the distributed contactstresseswhicharesolvedfromtheLTCAapproach based Ft =Fc = Tout3ueTout .u1/3urR Fig. 7Relationofactingforcesonthecrank (30)(31)onEq.21, namely,mnFNiI;II =Xsipij (22)j=1(4) Bearing loads on the cranks can be divided into threetypes of forces based on the load equilibrium conditions,seeFig.6and2, 10: Forceequilibrium,mFr =Xqri FNi=3 (23)ionly the radial f
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