山东高中2014版数学复习学案：12命题及其关系、充分条件与必要条件

2014 版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。【考纲知识梳理】1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。2、四种命题及其关系（1）四种命题命题 表述形式原命题 若 p，则 q逆命题 若 q，则 p否命题 若 ，则逆否命题 若 q，则 p（2）四种命题间的相互关系（3）四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。3、充分条件与必要条件（1） “若 p，则 q”为真命题，记 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。（2）如果既有 q，又有 ，记作 ，则 p 是 q 的充要条件，q 也是 p 的充要条件。【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。2、例题解析例 1设原命题是“已知 p、q、m、n 是实数，若 p=q，m=n ，则 pm=qn”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假解：逆命题：“已知 p、q、m、n R，若 pm=qn，则 p=q，m=n(假)原命题：“已知 p、q、m、nR ，若 pq，mn，则 pmqn”(假)逆否命题：“已知 p、q、m、nR，若 pmqn，则 pq 或 mn”(真)注，否命题“若 pq，mn”应理解为“pq 或 mn”即是指：pq，但 m=n，p=q 但 mn，而不含 pq 且 mn因为原命题中的条件：“若 p=q，m=n”应理解为“若 p=q 且 m=n，”而这一语句的否定应该是“pq 或mn”例 2以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题内接于圆的四边形的对角互补；已知 a、b、c 、d 是实数，若 ab，cd，则 acb d；分析：首先应当把原命题改写成“若 p 则 q”形式，再设法构造其余的三种形式命题解析：对：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补” ；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆” ；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补” ；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆” 对：原命题：“已知 a、b、c、d 是实数，若 ab，cd，则 acbd” ，其中“已知a、b、c、d 是实数”是大前提， “ab，cd”是条件， “acbd”是结论所以：逆命题：“已知 a、b、c 、d 是实数，若 acbd，则 ab，cd” ；否命题：“已知 a、b、c 、d 是实数，若 ab 或 cd，则 acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab 或 cd”只需要至少有一个不等即可) ；逆否命题：“已知 a、b、c 、d 是实数，若 acbd 则 ab 或 cd” 逆否命题还可以写成：“已知 a、b、c、d 是实数，若 a cbd 则 ab，cd 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理试一试：写出命题“当 c0 时，若 ab，则 acbc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断若 pq，则 p 是 q 的充分条件；注：“p 是 q 的充分条件” 是指有 p 就有 q，但无 p 也可能有 q如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分( 不必要)条件，但无 “两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“ 两个三角形面积相等” 的另一个充分(不必要)条件若 p，则 p 是 q 的必要条件；注： “q 是 p 的必要条件”是指有 q 才能有 p，但有 q 未必有 p如，一个偶数未必能被 6 整除(q：为偶数，p：能被 6 整除)若 q且 p，p 是 q 的充要条件； p 是 q 的必要而不充分条件（2）利用集合判断记条件 p、q 对应的集合分别为 A、B，则：若 ,AB则 是 的 充 分 条 件 ;若 ，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 ,则 是 的 必 要 条 件 ；若 ，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 A=B，则 p 是 q 的充要条件；注：p 与 q 之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。2、例题解析例 1 “ 2m”是“直线 03)2()(013)2( ymxmyx与 直 线 相互垂直”的（ ）A充分必要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件答案：B；解析：当 12m时两直线斜率乘积为 1从而可得两直线垂直,当 2m时两直线一条斜率为 0 一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 2m是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。注：对于两条直线垂直的充要条件 1,k都存在时 12.k 12,k中有一个不存在另一个为零对于这种情况多数考生容易忽略。例 2已知 p：x 1，x 2 是方程 x25x60 的两根，q：x 1x 25，则 p 是 q 的 A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析：利用韦达定理转换解析：x 1，x 2 是方程 x25x60 的两根，x 1，x 2 的值分别为 1，6，x 1x 2165因此选 A说明：判断命题为假命题可以通过举反例三、充要条件的证明例 1（12 分）求证方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a0 或 a=1.分析：（1）讨论 a 的不同取值情况；（2）利用根的判别式求 a 的取值范围. 解答：充分性：当 a=0 时，方程变为 2x+1=0,其根为 x= ,方程只有一个负根；12当 a=1 时，方程为 x2+2x+1=0.其根为 x=-1,方程只有一个负根。当 a0,方程有两个不相等的根，且 1”是“ x2”成立的 （ ）A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件答案：C（6） （2011 届湖南省长沙市一中高三月考（理） ）若集合 21,4“2AmBm则 是“4“AB的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不 必要条件答案：A（7）2011 届温州市高三八校联考（文） “ 2a”是“直线 2()0axy和直线210xy互相平行”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：A（8）已知 ， ， ， 为实数，且 .则“ ”是“ ”的abcdcdabcbdA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】显然，充分性不成立.又，若 和 都成立，则同向不等式相加得 acbdcab即由“ ” “ ”acbd（9） 是“实系数一元二次方程 有虚根”的2 012x（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件答案：A解析： 40 时，2 2，因为 是“2 2”的必要不充分条件，故选 A2aaaa（10）2011 届汕头华侨中学高三摸底（理）已知 1，xf()，则 1f(x)成立的一个充分不必要条件是( )A 01x B 0 C 2 D 21x 答案：B（11） （2011 届怀柔区一模(理) ）若 a(1,2,3)， b(2, a1, a2 3)， 则“ a1”是“ b”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案:A（12） （2011 届东城区一模（文） ）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，则这两个平面互相平行；若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面.其中为真命题的是 （ ）A和 B和 C和 D和答案：D二、填空题（1） 若不等式 成立的充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是答案： 34,2（2） （2011 届湖北监利一中高三月考（文） ）若 :(3)10px ， :12qx，则 p 是 q 的_ 条件。 （填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要” ）答案：必要不充分（3） p：平行四边形是轴对称图形则 p 的否定命题 p 是：_平行四边形不都是轴对称图形_（4） （2011 届贵州省高三上第二次五校联考（理） ）条件甲：“ 1|2|x”；条件乙：“ mx|12|”若条件甲是条件乙成立的充分不必要条件，则实数 m的取值范围是 答案： ),(三、解答题（1） （2011 届湖南长沙一中高三月考（理） ） （本小题满分 12 分）设 p：函数 |()2xaf在区间（4，+）上单调递增； :log21aq，如果“ p”是真命题， “或 q”也是真命题，求实数 的取值范围。解析： |:()xaf在区间（4，+）上递增，|u在（4，+）上递增，故 4.a（3 分）:q由 log21l012aa或 （6