数学函数模型在科学中的应用

2013 初中科学论文1函数模型在科学中的应用内容提要：在初中科学教学中构建合适的模型，可以有效的开展教学。在研究物理量之间的量化关系时，通常要控制 变量， 这使得研究结果与可变 因素间形成了数学的自变量与应变量的关系，构建相应的函数模型在教与学 间搭建桥梁，使学习变得高效而充满趣味。关键词：函数模型；科学； 应用科学实验探究中，首先定性的研究可变因素与结果之间的关系。若存在定性的关系则进一步研究存在的定量关系，对于结果可能存在多个影响因素，使用控制变量的方法，使得结果与可变因素形成一一对应关系，这恰好对应数学的函数。以下笔者就函数模型在科学中的应用过程浅谈一些看法。一、函数的定义及常见类型1、函数指在某变化过程中设有两个变量 x,y，按照某个对应法则，对于每一个给定的x 值，都有唯一确定的 y 值与之对应，那么 y 就是 x 的函数。其中 x 叫自变量，y 叫 x 的因变量。2、初中常见的函数类型（1）一次函数：表达式为 y=kx+b(k0，k、b 均为常数)的函数，叫做 y 是 x 的一次函数。当 b=0 时称 y 为 x 的正比例函数，其图像为直线。正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数，可表示为 y=kx(k0)，其图像为经过坐标原点的直线。（2）反比例函数：形如函数 y=k/x（k 为常数且 k0）叫做反比例函数，其图像为双曲线。（3）分段函数：分段函数;对于自变量 x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数,而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集。二、构建函数模型教学在初中科学教学过程中，涉及很多物理量之间量化关系的研究。在选择教学方法中，先让学生将实验数据建立表格模型，然后建立坐标轴进行描点，用光滑曲线连起来形成图像模型，在利用图像特点回归到函数模型。这一方法符合学生的认知规律，同时加强了学科之间的联系，使得学生对研究问题的认识明显提高。2013 初中科学论文2八年级科学（上）第四章电路探秘，在学 习了电路的基本物理量 电流、 电阻、电压之后，需要研究三者之间的量化关系，通常的做法是：（1）控制电 阻一定，研究 电压与电流的关系。（2）控制电压一定，研究电流与 电阻的关系。在（ 1）中设计电 路图（甲）如下所示，移动滑动变阻器得到电压和电流的多组数据并记录表格（表一）。表一从表格模型中，可以初步得出：电阻一定时，通 过导体的电 流随电压的增大而增大。接下来建立坐标轴，横坐标为电流，纵坐标为电压，将表格中的数据进行描点，最后用光滑的线连起来，得到一条经过坐标原点的 线段。从函数的角度，这符合正比例函数 y=kx 图像的特征。由此进一步可以得到结论：电阻一定时，导体中的电流与电压 成正比。用同 样的方法进行上述（2）的研究，得到的图像符合反比例函数 y=k/x 图像的特征。由此进一步可以得到结论：电压一定时，导体中的电流与电 阻成反比。最后确定 电压、电阻、电流三者的关系为：I=U/R 在上述的研究过程中，科学的物理量之间的定量关系借助数学函数图像的建立过程，回归到自变量与应变量的关系，使最后结果的得出顺理成章。学生在学习过程中，对此类问题的研究有了明确的方法，自主学习能力得到加强。三、对实际问题的模型构建学生在学习中利用构建函数模型的思想，抓住所研究问题的本质特征，对原型进行抽象,把复杂的原型客体加以简化和纯化,并对抽象的假设或命题进行逻辑转换,以构建一个能反映原型本质联系的函数模型。不仅可以使学生更好地掌握科学知识，同时可以培养学生的研究能力。例如：当一个物体由静止开始自由下落过程中，重力做功的功率与下落 时间的关系。通常的方法是先计算做功再除以下落时间，即 P=W/t 。但用公式 P=GV 这个公式模型判断，此时功率取决于 V 的变化情况。自由落体运动中速度 V=gt，故功率 P=Ggt。公式中 G 和 g 都是定值，从公式模型中可看出功率 P 和时间 t 成正比，符合正比例函数模型。故可以做图来形象的理解，如下图（一）所示。如果想进一步研究重力做功与时间的关系，可从原来功率的计算基础上再乘以时间，考电压 /VR=5电流 /A2013 初中科学论文3虑这是一个匀加速过程，故速度 应取平均值，即 V=1/2 gt。此时重力做功可表示为W=1/2Ggt2。此公式模型属于二次函数，对应的图像应为抛物线，如下图（二）所示。图（一） 图（二）根据研究的任务、目的抽象出被研究对象的本质特征,舍去许多次要的细节和非本质的属性,把要研究的现象、问题从纷繁复杂的交错关系中明确、清晰地显示出来,使问题得以简化和明确化,并制订出解决问题的程序,从而充分地发挥思维的能动作用,达到认识原型的目的。四、利用函数公式模型与图像模型解题函数模型是联系实际问题与数学的桥梁，具有解释、判断、预测等重要功能，在科学研究中，函数模型是发现问题、解决问题和探索新规律的有效途径之一。1、物理学中的一次函数运用例如：在一次校运动会，小明骑 一质量为 m 的独轮车，以速度 v 匀速通过一重为 G、长为 L 的水平独木桥，独木桥的两端由两根竖直支柱 A、B 支撑着，如图所示设独轮车骑上A 端支柱处为初始时刻（t=0），下面哪一个 图正确地表示了 B 端支柱所受压力 FB 与时间 t 的函数关系？（不考虑独木桥的形变）（ ）A B C D首先要分析桥的受力，左右两端的支持力分别为 FA、FB，桥自身的重力 G，在桥上移动的人与车的重力 mg，我们以 A 为支点，那么 桥的重力和人 车重力都是要让桥顺时针转动的力，而 B 端的支持力是要使桥逆时针转动的力，因此有 FBL = G0.5L + mgX，X 是人车距离 A 端的距离：X=vt ，因此可计算得到 FB= (mgv/L)t + 0.5G 。当 t=0 时，F B=0.5G，当 t=L/v 也就是行驶到 B 端时：F B=0.5G+mg 。综上 B 端支柱所受压力 FB 与时间 t 构成一次函数关系，其图像为上述 B 选项所示。2013 初中科学论文4物理学中涉及很多物理量间的量化关系，当我们控制其他的可变因素之后，研究结果与唯一可变因素之间就形成了相应的函数关系。结合函数公式模型和对应的图像模型，让解题变得轻松而有据可循。通过科学与数学的整合，有利于培养学生简约、严密的思维品质。2、化学中的分段函数运用例如：做实验时，小科取了 40mL 的 Ba（OH）2 溶液，并随手倒人等量的稀盐酸（均未知浓度）。老师发现后，递给他一瓶未知质量分数的 K2CO3 溶液，让小科来检测混合溶液的酸碱性。小科在混合液中慢慢滴入 K2CO3，溶液，获得相关数据并绘成如图所示图象。图（三） 图（四）本题图形从数学的角度可看作是分段函数模型。当碳酸钾 溶液质量 x 取值范围在（0， 10）时，生成沉淀质量为 y=0；当碳酸 钾溶液质量 x 取值范围在 10， 40时，生成沉淀质量为y=0.328x+3.28；当碳酸钾溶液质量 x 取值范围在40 时，生成沉淀质量为 y=0 。分析原溶液发生的反应为 Ba(OH)2+2HCl=BaCl2+2H2O。三个取值范围内发生的是不同的变化，x 取值范围在（0，10）发生的反应是 K2CO3+2HCl=2KCl+H2O+CO2反应后的溶质组成为：BaCl 2、KCl ; x 取值范围在10，40时，BaCl 2+K2CO3=BaCO3+2KCl 反应后的溶质组成为：KCl ； x 取值范围在40 时，碳酸钾过量，没有反应发生，此时溶质的组成为：KCl、K 2CO3相关的图形都可采取上述的方法进行分析，理清在不同区域的变化，判断反应结束时溶液的物质组成，完成所设问题的回答。并且此类为题可以推广为如图（二）所示的类型，解题的思路是一致的。总之,构建函数模型是数据处理的重要方法，充分理解函数公式模型与图像模型的建立过程，以此来指导科学研究过程的数据处理，可以培养学生的学习能力和思维广度。学生置身于探索科学现象、发现科学规律的活动中,充分体会了学科之间的交融。学以致用激发其学习2013 初中科学论文5的积极性，以及继续探索相关问题的浓厚兴趣。同时顺着科学的思路和方法去感知、去思索,在不知不觉中,就领略到科