上海市宝山区2015-2016学年八年级上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 3 分，满分 18 分） 1下列等式一定成立的是（ ） A B C D = 4 2方程 3x+7=0 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有无数个相等或不相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 3 “等腰三角形两底角相等 ”的逆命题是（ ） A等腰三角形 “三线合一 ” B底边上高和中线重合的三角形等腰 C两个角互余的三角形是等腰三角形 D有两个角相等的三角 形是等腰三角形 4若点 P（ 3， 2 m）在函数 y= 的图象上，则点 P 一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5如图，在平面直角坐标系中，直线 应的函数表达式为 y=2x，将直线 左平移，使之分别与 x、 y 轴交于点 A、 B，若 ，则线段 长为（ ） A 3 B 4 C 2 D 2 6命题甲：由正比例函数图象上任意一点的坐标可以确定该正比例函数的解析式； 命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形 则下列判断正确的是（ ） 第 2 页（共 20 页） A两命题都正确 B两命题都不正确 C甲不正确乙正确 D甲正确乙不正确 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分） 7化简： = 8方程 2（ x+3）（ x+4） =0 的根是 9在实数范围内分解因式： 24x 3= 10随着市场多重刺激，宝山的学区房一扫连月低迷，终于走上了连续上涨的轨道，某小区学区房去年第二季度每平方米 a 元，若平均每季度上涨 6%，则去年第四季度的价格为每平方米 元（用含 a 的代数式表示） 11函数 的定义域是 12已知函数 f（ x） = ，那么 f（ 3） = 13若 A（ 1， a）、 B（ 2， 3）是同一个正比例函数图象上的两点，则 a 3 14在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说： “从这个反比例函数图象上任意一点向 x 轴、 y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为 2016 ”乙同学说： “这个反比例函数在相同的象限内， y 随着 x 增大而增大 ”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 15以线段 底边的等腰三角形的顶点的轨迹是 16如图已知， 0， D 为 分线上一点， F， E，若 ，则 17已知点 A、 B、 C 的坐标分别 A（ 1， 5）、 B（ 1， 0）、 C（ 5， 0）若点 P 在 平分线上，且 ，则点 P 的坐标为 18如图，点 P 在边长为 1 的正方形 ，连接 点 B 作一条射线与边 延长线交于点 Q，使得 中 E 是边 长线上的点，连接 ，则 面积为 第 3 页（共 20 页） 三、解答题：（本大题共 8 题，其中 19题 5 分，第 24每题 7 分满分 46 分） 19计算： 20用适当方法解方程： x+3=0 21已知正比例函数 y=5x 与反比例函数 交于 A、 B 两点，其中 A 的横坐标为1求 A、 B 的坐标与反比例函数的解析式 22某工地利用一面 16 米长的墙和简易板材围一个面积为 140 平方米的长方形临时堆场，已知和墙平行的一边要开一个宽为 2 米的门，除留作门以外部分的板材总长度为 32 米，求这个长方形临时堆场的尺寸 23已知在同一坐标系中，正比例函数 y=中 k 0），反比例函数 （其中 t 0）的图象没有交点，试判断关于 x 的方程 ax+ 的根的情况并说明理由 24如图，在 ， E 是 中点，求证： A=2 B 25步彦京同学在前阶段复习中突然发现 “定理 ”：凡三角形都是等腰三角形 下面是步彦京同学的证明： 如图，设 A 的平分线与边 垂直平分线相交于 D， M 是边 直平分线的垂足联结 过 D 作 E、 F 为垂足由角平分线定理易知 F，又易证 而得到 F，同时由垂直平分线性质得 C，然后再证明直角 直角 而得到 F， 于是由等量公理得 E=F，即 C因此凡三角形都是等腰三角形 由此步彦京百思不得其解： “难道我们教材上的几何内容错了？学习如此低级错第 4 页（共 20 页） 误的内容岂不误人子弟？ ”同学：根据你所掌握的知识，你认为究竟是教材内容错了，还是步彦京同学错了？为什么？ 26如图，在 ， 0， 别是三边上的中线 （ 1）若 ， 求证： （ 2）是否存在这样的 得它三边上的中线 长恰好是一组勾股数？请说明理由 （提示：满足关系 a2+b2= 3 个正整数 a、 b、 c 称为勾股数） 第 5 页（共 20 页） 2015年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 3 分，满分 18 分） 1下列等式一定成立的是（ ） A B C D = 4 【考点】 二次根式的混合运算 【分析】 根据二次根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的除法法则对 据二次根式的性质对 C、 D 进行判断 【解答】 解： A、 与 不能合并，所以 A 选项错误； B、原式 = ，所以 B 选项正确； C、原式 =|x|，所以 C 选项错误； D、原式 =| 4|=4 ，所以 D 选项错误 故选 B 2方程 3x+7=0 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有无数个相等或不相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 【考点】 根的判别式 【分析】 把 a=1， b= 3， c=7 代入 =4行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况 【解答】 解： a=1， b= 3， c=7， =4 3） 2 4 1 7= 19 0， 方程没有实数根 故选 A 第 6 页（共 20 页） 3 “等腰三角形两底角相等 ”的逆命题是（ ） A等腰三角形 “三线合一 ” B底边上高和中线重合的三角形等腰 C两个角互余的三角形是等腰三角形 D有两个角相等的三角形是等腰三角形 【考点】 命题与定理 【分析】 直接交换原命题的题设和结论即可得到正确的选项 【解答】 解： “等腰三角形两底角相等 ”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，故选 D 4若点 P（ 3， 2 m）在函数 y= 的图象上，则点 P 一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 反比例函数图象上点的 坐标特征 【分析】 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再由点 P 横坐标的值即可得出结论 【解答】 解： 函数 y= 中， k=1 0， 函数图象的两个分支分别位于一三象限 点 P（ 3， 2 m）中 3 0， 点 P 一定在第一象限 故选 A 5如图，在平面直角坐标系中，直线 应的函数表达式为 y=2x，将直线 左平移，使之分别与 x、 y 轴交于点 A、 B，若 ，则线段 长为（ ） A 3 B 4 C 2 D 2 【考点】 一次函数图象与几何变换 第 7 页（共 20 页） 【分析】 先写出 A 点坐标，则 利用两直线平行的问题，设直线 应的函数表达式为 y=2x+b，再把 A 点坐标代入求出 b 的值，则可确定 B 点坐标，于是可得到长 【解答】 解： ， A（ 2， 0）， 线 应的函数表达式为 y=2x， 直线 应的函数表达式可设为 y=2x+b， 把 A（ 2， 0）代入得 4+b=0，解得 b=4， 直线 应的函数表达式为 y=2x+4， B（ 0， 4）， 故选 B 6命题甲：由正比例函数图象上任意一点的坐标可以确定该正比例函数的解析式； 命题乙：大边上的中线 等于大边一半的三角形是直角三角形 则下列判断正确的是（ ） A两命题都正确 B两命题都不正确 C甲不正确乙正确 D甲正确乙不正确 【考点】 命题与定理 【分析】 分别判断两个命题后即可确定正确的选项 【解答】 解：命题甲：由正比例函数图象上任意一点（除原点外）的坐标可以确定该正比例函数的解析式，不正确； 命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形，正确， 故选 C 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分） 7化简： = x 1 【考点】 二次根式的乘除法 第 8 页（共 20 页） 【分析】 直接利用二次根式的性质化简求出答案 【解答】 解： =x 1 故答案为： x 1 8方程 2（ x+3）（ x+4） =0 的根是 x= 3， x= 4 【考点】 解一元二次方程 【分析】 方程利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 【解答】 解：方程 2（ x+3）（ x+4） =0， 可得 x+3=0 或 x+4=0， 解得： x= 3， x= 4 故答案为： x= 3， x= 4 9在实数范围内分解因式： 24x 3= 2（ x ）（ x ） 【考点】 实数范围内 分解因式 【分析】 根公式法据解方程 bx+c=0，可得方程的解，根据因式分解法可得bx+c=a（ x ）（ x ） 【解答】 解：由 24x 3=0，得 x= 原式 =2（ 2x ） =2（ x ）（ x ）， 故答案为： 2（ x ）（ x ） 10随着市场多重刺激，宝山的学区房一扫连月低迷，终于走上了连续上涨的轨道，某小区学区房去年第二季度每平方米 a 元，若平均每季度上涨 6%，则去年第四季度的价格为每平方米 a（ 1+6%） 2 元（用含 a 的代数式表示） 【考点】 由实际问题抽 象出一元二次方程 【分析】 由题意可知：去年第三季度的价格为第二季度的（ 1+6%），即 a（ 1+6%）第 9 页（共 20 页） 元，去年第四季度的价格为第三季度的（ 1+6%），即 a（ 1+6%） 2 元 【解答】 解： 某小区学区房去年第二季度每平方米 a 元，若平均每季度上涨6%， 去年第三季度的价格为 a（ 1+6%）元，去年第四季度的价格为 a（ 1+6%） 2 元 故答案为 a（ 1+6%） 2 11函数 的定义域是 x 取全体实数 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围 【解答】 解：根据题意得： 0， 解得： x 取全体实数 故答案为 x 取全体实数 12已知函数 f（ x） = ，那么 f（ 3） = 2 【考点】 函数值 【分析】 直接利用已知将 x=3 代入原式，进而利用二次根式的性质化简求出答案 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ 3） = = =2 故答案为： 2 13若 A（ 1， a）、 B（ 2， 3）是同一个正比例函数图象上的两点，则 a 3 【考点】 一次函数图象上点的坐标特征 【分析】 运用待定系数法求得正比例函数解析式，进一步求得 a 的值， 从而求解 【解答】 解：设解析式为： y= 将点（ 2， 3）代入可得： 2k=3 解得： k= 第 10 页（共 20 页） 故函数解析式为： y= 将点（ 1， a）代入可得： a= a 3 故答案为： 14在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说： “从这个反比例函数图象上任意一点向 x 轴、 y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为 2016 ”乙同学说： “这个反比例函数在相同的象限内， y 随着 x 增大而增大 ”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函 数的性质 【分析】 先设反比例函数的解析式 y= ，根据甲同学说的可知 k= 2016，根据乙同学说的可知 k 0，综合可得 k= 2016，即得到反比例函数的解析式 【解答】 解：从这个反比例函数图象上任意一点向 x 轴、 y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为 2016， |k|=|2016， k=2016 或 k= 2016， 这个反比例函数在相同的象限内， y 随着 x 增大而增大， k= 2016， 故反比例函数的解析式是 y= 故答案为： 15以线段 底边的等腰三角形的顶点的轨迹是 线段 垂直平分线（与交点除外） 【考点】 轨迹；等腰三角形的性质 【分析】 满足 线段 底边且 B，根据线段的垂直平分线判定得到点 C 在线段 垂直平分线上，除去与 交点（交点不满足三角形的条件） 【解答】 解： 线段 底边， B， 点 C 在线段 垂直平分线上，除去与 交点（交点不满足三角形的条第 11 页（共 20 页） 件）， 以线段 底边的等腰三角形的顶点 C 的轨迹是 线段 垂直平分线，不包括 中点 故答案为线段 垂直平分线，不包括 中点 16如图已 知， 0， D 为 分线上一点， F， E，若 ，则 4 【考点】 角平分线的性质；平行线的性质 【分析】 过点 D 作 G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得E，根据两直线平行，同位角相等可得 0，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求解即可 【解答】 解：如图，过点 D 作 G， 平分线， E， 0， 在 ， 2=4 故答案为： 4 17已知点 A、 B、 C 的坐标分别 A（ 1， 5）、 B（ 1， 0）、 C（ 5， 0）若点 P 在 平分线上，且 ，则点 P 的坐标为 （ 6， 5）或（ 1， 0） 【考点】 坐标与图形性质 【分析】 先根据 A、 B、 C 三点的坐标判断 位置与大小，再根据点 P 在 第 12 页（共 20 页） 平分线上，且 ，判断点 P 的位置，并写出点 P 的坐标 【解答】 解： A（ 1， 5）、 B（ 1， 0）、 C（ 5， 0） ，且 0 如图，以 A 为圆心， 为半径画弧，交 平分线于两点 点 P 在 平分线上，且 当点 P 在点 B 处时， 坐标为（ 1， 0） 当点 P 在第一象限内时，由 等腰直角三角形，可知 坐标为（ 6， 5） 故答案为：（ 6， 5）或（ 1， 0） 18如图，点 P 在边长为 1 的正方形 ，连接 点 B 作一条射线与边 延长线交于点 Q，使得 中 E 是边 长线上的点，连接 ，则 面积为 【考点】 正方形的性质；勾股定理 【分析】 先由 0易得 为直角三角形，再证得 得 A，设正方形的边长 AB=a， PA=x，利用方程思想和勾股定理可得 值，据此可得 面积 【解答】 解： 0， 0， 0， 第 13 页（共 20 页） 在 ， ， A， 设正方形的边长 AB=a， PA=x，则 QC=x， C+QC=a+x， D PA=a x， 在 ， B2=x2+ ， （ a x） 2+（ a+x） 2=x2+ a x） 2+1， 解得： 2， ， 面积 S= B= = 故答案为： 三、解答题：（本大题共 8 题，其中 19题 5 分，第 24每题 7 分满分 46 分） 19计算： 【考点】 二次根式的混合运算 【分析】 先利用二次根式的乘 法法则运算，然后把各二次根式化简后合并即可 【解答】 解：原式 = + =3+ 第 14 页（共 20 页） =3+ 20用适当方法解方程： x+3=0 【考点】 解一元二次方程 【分析】 在本题中，把常数项 3 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 6的一半的平方 【解答】 解： x+3=0， x= 3， x+9=6， （ x+3） 2=6， x+3= ， 3 ， 3+ 21已知正比例函数 y=5x 与反比例函数 交于 A、 B 两点，其中 A 的横坐标为1求 A、 B 的坐标与反比例函数的解析式 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 先把 x=1 代入正比例函数 y=5x 求得点 A 坐标，再根据对称性得出点 而得出反比例函数的解析式 【解答】 解：根据题意易知 A（ 1， 5）， 将 A（ 1， 5）代入 ，得 k=5， 反比例函数的解析式为 ， 由正比例函数和反比例函数的交点对称易知 B（ 1， 5） 22某工地利用一面 16 米长的墙和简易板材围一个面积为 140 平方米的长方形临时堆场，已知和墙平行的一边要开一个宽为 2 米的门，除留作门以外部分的板材总长度为 32 米，求这 个长方形临时堆场的尺寸 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 设这个长方形临时堆场垂直于墙面的一边为 x 米，然后可得平行于墙面第 15 页（共 20 页） 的一边为（ 32 2x+2）米，然后利用其面积为 140 列出方程求解即可 【解答】 解：如图，设这个长方形临时堆场垂直于墙面的一边为 x 米，则平行于墙面的一边为（ 32 2x+2）米， 根据题意有， x（ 34 2x） =140， 解得 x=7 或 x=10， 其中 x=7 时， 34 2x=20 16， 所以 x=10 答：这个长方形垂直于墙面的一边为 10 米，平行于墙面的一边为 14 米 23已知在 同一坐标系中，正比例函数 y=中 k 0），反比例函数 （其中 t 0）的图象没有交点，试判断关于 x 的方程 ax+ 的根的情况并说明理由 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题；根的判别式 【分析】 根据题意首先判断出 0，再判断 的值的情形即可解决问题 【解答】 解： 在同一坐标系中， y=中 k 0）和 （其中 t 0）的图象没有交点， 0， 关于 x 的方程 ax+ 的根的判别式 =4 0， 关于 x 的方程 ax+ 有两个不相等的实数根 24如图，在 ， E 是 中点，求证： A=2 B 第 16 页（共 20 页） 【考点】 直角三角形斜边上的中线 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 E= 据等边对等角可得 B= 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 B，然后求出 E，根据等边对等角可得 A= 【解答】 证明： E 是 中点， E= B= 由三角形的外角性质得， B+ B， E， A， A=2 B 25步彦京同学在前阶段复习中突然发现 “定理 ”：凡三角形都是等腰三角形 下面是步彦京同学的证明： 如图，设 A 的平分线与边 垂直平分线相交于 D， M 是边 直平分线的垂足联结 过 D 作 E、 F 为垂足由角平分线定理易知 F，又易证 而得到 F，同时由垂直平分线性质得 C，然后再证明直角 直角 而得到 F，于是由等量公理得 E=F，即 C因此凡三角形都是等腰三角形 由此步彦京百思不得其解：