吉林省松原市宁江区2017届九年级上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 27 页） 2016年吉林省松原市宁江区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 12 分） 1我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 2一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ） A B C D 3如图，在 ， C=90， ， ，那么 值等于（ ） A B C D 4如图， O 的直径，弦 E，连接 列结论中不一定正确的是（ ） A E B = C E D 0 5将抛物线 y=3上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A y=3（ x+2） 2+3 B y=3（ x 2） 2+3 C y=3（ x+2） 2 3 D y=3（ x 2） 2 3 6若 0，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 在同一坐标系数中的大致第 2 页（共 27 页） 图象是（ ） A B C D 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 7方程 x 的根为 8已知 =3，则 = 9抛物线 y=（ x 1） 2 3 的顶点坐标是 10如图，铁道路口的栏杆短臂长 1m，长臂长 16m，当短臂端点下降 ，长臂端点升高为 （杆的宽度忽略不计） 11如图，在 O 中， 直径， 弦， 切线，连接 0，则 度数为 12某校去年投资 2 万元购买实验器材，预计今明 2 年的投资总额为 8 万元若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为 x，则可列方程为 13如图，在平面直角坐标系中，点 A 是函数 y= （ k 0， x 0）图象上的点，过点 A 与 y 轴垂直的直线交 y 轴于 点 B，点 C、 D 在 x 轴上，且 四边第 3 页（共 27 页） 形 面积为 3，则 k 值为 14如图是二次函数 y=bx+c 图象的一部分，图象过点 A（ 3， 0），对称轴为直线 x= 1，给出四个结论： 4 2a+b=0； a+b+c=0； 若点 B（， C（ ， 函数图象上的两点，则 中正确结论是： （填上 序号即可） 三、解答题（一）（每小题 5 分，共 20 分） 15计算：（ 0 | 4|+（ ） 1 16解方程： 1=2（ x+1） 17先化简： （ x ），然后 x 在 1， 0， 1， 2 四个数中选一个你认为合适的数代入求值 18某学校为了了解九年级学生 “一份中内跳绳次数 ”的情况，随机选取了 3 名女生和 2 名男生，从这 5 名学生中，选取 2 名同时跳绳，请你用列表或画树状图求恰好选中一男一女的概率是多少？ 四、解答题（二）（每小题 7 分，共 28 分） 19 顶点坐标为 A（ 2， 3）、 B（ 3， 1）、 C（ 1， 2），以坐标原点O 为旋转中心，顺时针旋转 90，得到 ABC，点 B、 C分别是点 B、 C 的对应点 第 4 页（共 27 页） （ 1）求过点 B的反比例函数解析式； （ 2）求线段 长 20如图，在 ，点 E 在边 ，点 F 在边 延长线上，且 E=4，连接 G若 = ，求 长 21如图，在平面直径坐标系中，反比例函数 y= （ x 0）的图象上有一点 A（ m，4），过点 A 作 x 轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，过点 C作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D， （ 1）点 D 的横坐标为 （用含 m 的式子表示）； （ 2）求反比例函数的解析式 22如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南安边点 A 处，测得河的北岸边点 B 在其北偏东 45方向，然后向西走 60m 到达C 点，测得点 B 在点 C 的北偏东 60方向回答下列 问题： （ 1） 度数为 （ 2）求出这段河的宽（结果精确到 1m，备用数据 第 5 页（共 27 页） 五、解答题（三）（每小题 10 分，共 20 分） 23如图， O 的直径，点 C 是 O 上一点，连接 足为 D （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 0， ，求图中阴影部 分的面积 24课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图 1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 ， 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图 2，材料总长仍为 6m，利用图 3，解答下列问题： （ 1）若 1m，求此时窗户的透光面积？ （ 2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积 的最大值有没有变大？请通过计算说明 第 6 页（共 27 页） 六、解答题（四）（每小题 10 分，共 20 分） 25正方形 边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线 L 经过 O、 P、 A 三点，点 E 是正方形内的抛物线上的动点 （ 1）建立适当的平面直角坐标系， 直接写出 O、 P、 A 三点坐标； 求抛物线 L 的解析式； （ 2）求 积之和的最大值 26已知：点 P 是平行四边形 角线 在直线上的一个 动点（点 P 不与点 A、 C 重合），分别过点 A、 C 向直线 垂线，垂足分别为 E、 F，点 O 为中点 （ 1）当点 P 与点 O 重合时如图 1，求证： F （ 2）直线 点 B 逆时针方向旋转，当点 P 在对角线 时，且 0时，如图 2，猜想线段 间有怎样的数量关系？并给予证明 （ 3）当点 P 在对角线 延长线上时，且 0时，如图 3，猜想线段 E、 间有怎样的数量关系？直接写出结论即可 第 7 页（共 27 页） 2016年吉林省松原市宁江区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 12 分） 1我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形 【分析】 根据中心 对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】 解： A、是中心对称图形，故本选项正确； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误 故选 A 2一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ） A B C D 【考点】 概率公式 【分析】 直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案 【解答】 解： 一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5，6，投掷一次， 朝上一面的数字是偶数的概率为： = 故选： C 第 8 页（共 27 页） 3如图，在 ， C=90， ， ，那么 值等于（ ） A B C D 【考点】 锐角三角函数的定义；勾股定理 【分析】 首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解 【解答】 解： 在 ， C=90， ， ， ， 故选： D 4如图， O 的直径，弦 E，连接 列结论中不一定正确的是（ ） A E B = C E D 0 【考点】 垂径定理；圆周角定理 【分析】 根据垂径定理及圆周角定理对 各选项进行逐一分析即可 【解答】 解： O 的直径，弦 E， E， = ，故 A、 B 正确； O 的直径， 0，故 D 正确 故选 C 第 9 页（共 27 页） 5将抛物线 y=3上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A y=3（ x+2） 2+3 B y=3（ x 2） 2+3 C y=3（ x+2） 2 3 D y=3（ x 2） 2 3 【考点】 二 次函数图象与几何变换 【分析】 直接根据 “上加下减，左加右减 ”的原则进行解答即可 【解答】 解：由 “上加下减 ”的原则可知，将抛物线 y=3上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为： y=3； 由 “左加右减 ”的原则可知，将抛物线 y=3 向左平移 2 个单位所得抛物线的解析式为： y=3（ x+2） 2+3 故选 A 6若 0，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 在同一坐标系数中的大致图象是（ ） A B C D 【考点】 反比例函数的图象；一次函数的图象 【分析】 根据 0，可得 a、 b 同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可 【解答】 解： A、根据一次函数可判断 a 0， b 0，根据反比例函数可判断 0，故符合题意，本选项正确； B、根据一次函数可判断 a 0， b 0，根据反比例函数可判断 0，故不 符合题意，本选项错误； C、根据一次函数可判断 a 0， b 0，根据反比例函数可判断 0，故不符合第 10 页（共 27 页） 题意，本选项错误； D、根据一次函数可判断 a 0， b 0，根据反比例函数可判断 0，故不符合题意，本选项错误； 故选 A 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 7方程 x 的根为 ， 【考点】 解一元二次方程因式分解法 【分析】 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】 解： x， 2x=0， x（ x 2） =0， x=0，或 x 2=0， ， ， 故答案为： ， 8已知 =3，则 = 2 【考点】 比例的性质 【分析】 根据比例的合比性质即可求解 【解答】 解： =3， =3 1=2 故答案为： 2 9抛物线 y=（ x 1） 2 3 的顶点坐标是 （ 1， 3） 【考点】 二次函数的性 质 【分析】 根据抛物线 y=a（ x h） 2+k 的顶点坐标是（ h， k）直接写出即可 【解答】 解：抛物线 y=（ x 1） 2 3 的顶点坐标是（ 1， 3） 故答案为（ 1， 3） 第 11 页（共 27 页） 10如图，铁道路口的栏杆短臂长 1m，长臂长 16m，当短臂端点下降 ，长臂端点升高为 8m （杆的宽度忽略不计） 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 由题意证 得 ，即 = ，解之可得 【解答】 解：如图， 由题意知 C=90， ，即 = ， 解得： ， 故答案为： 8m 11如图，在 O 中， 直径， 弦， 切线，连接 0，则 度数为 80 【考点】 切线的性质 【分析】 根据切线的性质得出 0，进而得出 0，再利用圆心角等于圆周角的 2 倍解答即可 【解答】 解： 在 O 中， 直径， 弦， 切线， 0， 第 12 页（共 27 页） 0， 0， 0 故答案为： 80 12某校去年投资 2 万元购买实验器材，预计今明 2 年的投资总额 为 8 万元若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为 x，则可列方程为 2（ 1+x）+2（ 1+x） 2=8 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】 本题为增长率问题，一般用增长后的量 =增长前的量 （ 1+增长率），如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为 x，根据题意可得出的方程 【解答】 解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为 x， 今年的投资金额为： 2（ 1+x）； 明年的投资金额为： 2（ 1+x） 2； 所以根据题意可得出的方程： 2（ 1+x） +2（ 1+x） 2=8 故答案为： 2（ 1+x） +2（ 1+x） 2=8 13如图，在平面直角坐标系中，点 A 是函数 y= （ k 0， x 0）图象上的点，过点 A 与 y 轴垂直的直线交 y 轴于点 B，点 C、 D 在 x 轴上，且 四边形 面积为 3，则 k 值为 3 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 根据已知条件得到四边形 平行四边形，于是得到四边形 E，由于 S 平行四边形 B，得到四边形 面积 =3，即可得到结论 第 13 页（共 27 页） 【解答】 解： y 轴， 四边形 平行四边形， 四边形 面积 =E， S 平行四边形 B， 四边形 面积 =3， |k|=3， 0， k= 3， 故答案为： 3 14如图是二次函数 y=bx+c 图象的一部分，图象过点 A（ 3， 0），对称轴为直线 x= 1，给出四个结论： 4 2a+b=0； a+b+c=0； 若点 B（， C（ ， 函数图象上的两点，则 中正确结论是： （填上序号即可） 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 根据抛物线与 x 轴交点个数可判断； 根据抛物线对称轴可判断； 根据抛物线与 x 轴的另一个交点坐标可判断； 根据 B、 C 两点到对称轴的距离，可判断 第 14 页（共 27 页） 【解答】 解：由函数图象可知抛物线与 x 轴有 2 个交点， 40 即 4 正确； 对称轴为直线 x= 1， = 1，即 2a b=0，故 错误； 抛物线与 x 轴的交点 A 坐标为（ 3， 0）且对称轴为 x= 1， 抛物线与 x 轴的另一交点为（ 1， 0）， 将（ 1， 0）代入解析式可得， a+b+c=0，故 正确； a 0， 开口向下， | +1|= ， | +1= ， 正确； 综上，正确的结论是： ， 故答案为 三、解答题（一）（每小题 5 分，共 20 分） 15计算：（ 0 | 4|+（ ） 1 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【 分析】 本题涉及零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】 解：（ 0 | 4|+（ ） 1 =1 |2 4|+2 =1 | 1|+2 =2 16解方程： 1=2（ x+1） 第 15 页（共 27 页） 【考点】 解一元二次方程因式分解法 【分析】 首先把 1 化为（ x+1）（ x 1），然后提取公因式（ x+1），进而求出方程的解 【解答】 解： 1=2（ x+1）， （ x+1）（ x 1） =2（ x+1）， （ x+1）（ x 3） =0， 1， 17先化简： （ x ），然后 x 在 1， 0， 1， 2 四个数中选 一个你认为合适的数代入求值 【考点】 分式的化简求值 【分析】 利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的 x 的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论 【解答】 解：原式 = ， = ， =x+1 在 1， 0， 1， 2 四个数中，使原式有意义的值只有 2， 当 x=2 时，原式 =2+1=3 18某学校为了了解九年级学生 “一份中内跳绳次数 ”的情况，随机选取了 3 名女生和 2 名男生，从这 5 名学生中，选取 2 名同时跳绳，请你用列表或画树状图求恰好选中一男一女的概率是多少？ 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】 解：画树状图为： 第 16 页（共 27 页） 共 12 种等可能的结果数，其 中选中一男一女的结果数为 12， 所以恰好选中一男一女的概率 = = 四、解答题（二）（每小题 7 分，共 28 分） 19 顶点坐标为 A（ 2， 3）、 B（ 3， 1）、 C（ 1， 2），以坐标原点O 为旋转中心，顺时针旋转 90，得到 ABC，点 B、 C分别是点 B、 C 的对应点 （ 1）求过点 B的反比例函数解析式； （ 2）求线段 长 【考点】 待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化旋转 【分析】 （ 1）据图形旋转方向以及旋转中心和旋转角度得出对应点，根据待定系数法，即可求出解 （ 2）根据勾股定理求得 后根据旋转的旋转求得 最后根据勾股定理即可求得 【解答】 解：（ 1）如图所示：由图知 B 点的坐标为（ 3， 1），根据旋转中心 O，旋转方向顺时针，旋转角度 90， 点 B 的对应点 B的坐标为（ 1， 3）， 设过点 B的反比例函数解析式为 y= ， k=3 1=3， 第 17 页（共 27 页） 过点 B的反比例函数解析式为 y= （ 2） C（ 1， 2）， = ， 坐标原点 O 为旋转中心，顺时针旋转 90， ， = 20 如图，在 ，点 E 在边 ，点 F 在边 延长线上，且 E=4，连接 G若 = ，求 长 【考点】 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】 根据相似三角形的判定与性质，可得答案 【解答】 证明： 四边形 平行四边形， C， = = ， ， C=E=10 21如图，在平面直径坐标系中，反比例函数 y= （ x 0）的图象上有一点 A（ m，4），过点 A 作 x 轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，过点 C作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D， （ 1）点 D 的横坐标为 m+2 （用含 m 的式子表示）； （ 2）求反比例函数的解析式 第 18 页（共 27 页） 【考点】 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化平移 【分析】 （ 1）由点 A（ m， 4），过点 A 作 x 轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，可求得点 C 的坐标，又由过点 C 作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D， ，即可表示出点 D 的横坐标； （ 2） 由点 D 的坐标为：（ m+2， ），点 A（ m， 4），即可得方程 4m= （ m+2），继而求得答案 【解答】 解：（ 1） A（ m， 4）， x 轴于点 B， B 的坐标为（ m， 0）， 将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C， 点 C 的坐标为：（ m+2， 0）， y 轴， 点 D 的横坐标为： m+2； 故答案为： m+2； （ 2） y 轴， ， 点 D 的坐标为：（ m+2， ）， A， D 在反比例函数 y= （ x 0）的图象上， 4m= （ m+2）， 解得： m=1， 点 A 的坐标为（ 1， 4）， k=4m=4， 反比例函数的解析式为： y= 第 19 页（共 27 页） 22如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南安边点 A 处，测得河的 北岸边点 B 在其北偏东 45方向，然后向西走 60m 到达C 点，测得点 B 在点 C 的北偏东 60方向回答下列问题： （ 1） 度数为 15 （ 2）求出这段河的宽（结果精确到 1m，备用数据 【考点】 解直角三角形的应用方向角问题 【分析】 （ 1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可； （ 2）作 延长线于 D，设 BD=据正切的定义用 x 表示出据题意列出方程，解方程即可 【解答】 解：（ 1）由题意得， 5， 0， 5 故答案为 15； （ 2）作 延长线于 D， 设 BD= 0， = x， 5， D=x， C=60， x x=60， 解得 x=30（ +1） 82， 答：这段河的宽约为 82m 第 20 页（共 27 页） 五、解答题（三）（每小题 10 分，共 20 分） 23如图， O 的直径，点 C 是 O 上一点，连接 足为 D （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 0， ，求图中阴影部分的面积 【考点】 切线的判定；扇形面积的计算 【分析】 （ 1）先证明 出 可解决问题 （ 2）根据 S 阴 =S S 扇形 S 算即可 【解答】 解：（ 1）连接 C O 的切线 （ 2）在 ， 0， ， 0， ， ， 第 21 页（共 27 页） 0， C， 等边三角形， S 阴 =S S 扇形 S = 4 4 （ 82） =24 24课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图 1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 ， 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图 2，材料总长仍为 6m，利用图 3，解答下列问题： （ 1）若 1m，求此时窗户的透光面积？ （ 2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可； （ 2）设 用二次函数的最值解答即可 第 22 页（共 27 页） 【解答】 解：（ 1）由已知可得： ， 则 S=1 （ 2）设 AB= m， ， ， 设窗户面积为 S，由已知得： ， 当 x= m 时，且 x= m 在 的范围内， ， 与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大 六、解答题（四）（每小题 10 分，共 20 分） 25正方形 边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线 L 经过 O、 P、 A 三点，点 E 是正方形内的抛物线上的动点 （ 1）建立适当的平面直角坐标系， 直接写出 O、 P、 A 三点坐标； 求抛物线 L 的解析式； （ 2）求 积之和的最大值 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）以 O 点为原点，线段 在的直线为 x 轴，线段 在的直线为 y 轴建立直角坐标系 根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点 O、P、 A 三点的坐标； 设抛物线 L 的解析式为 y=bx+c，结合点 O、 P、 A 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； 第 23 页（共 27 页）