湖南省娄底市冷水江市2015年中考数学模拟试题含答案解析

第 1 页（共 28 页） 2015 年湖南省娄底市冷水江市中考数学模拟试卷 一、选择题（共 10小题，每小题 3分，满分 30分） 1 | 2015|的值是（ ） A B C 2015 D 2015 2下列运算正确的是（ ） A（ 3= a5 （ 23=6 a3=如图，已知 a b， 1=130 ， 2=90 ，则 3=（ ） A 70 B 100 C 140 D 170 4直线 y=1一定经过点（ ） A（ 1， 0） B（ 1， k） C（ 0， k） D（ 0， 1） 5有一组数据： 2， 5， 7， 2， 3， 3， 6，下列结论错误的是（ ） A平均数为 4 B中位数为 3 C众数为 2 D极差是 5 6下列命题中，正确的是（ ） A菱形的对角线互相垂直且平分 B平行四边形的对角线相等 C矩形的对角线互相垂直 D梯形的对角线相等 7式子 有意义的 ） A x 1 B x 且 x 1 C x D x 且 x 1 8小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ） A B C D 9如图是一个圆柱体，则它的正视图是（ ） 第 2 页（共 28 页） A B C D 10如图，在平面直角坐标系 ，半径为 2的 的坐标为（ 3， 0），将 P沿 P与 平移的距离为（ ） A 1 B 1或 5 C 3 D 5 二、填空题（本大题共 8道小题，每小题 3分，满分 24 分） 11若 4=（ x 2）（ x+a），则 a= 12如图， C，要使 添加的条件是 （添加一个条件即可） 13如图，已知 A 点是反比例函数 的图象上一点， ，且 面积为 3，则 14如图，将直角三角板 60 角的顶点放在圆心 边和一直角边分别与 、 是优弧 任意一点（与 A、 则 第 3 页（共 28 页） 15据统计，全国每小时约有 510000000吨污水排入江海，用科学记数法表示为 16一个多边形的内角和是它的外 角和的 3倍，则这个多边形的边数为 17已知圆锥的母线长是 5面积是 15，则这个圆锥底面圆的半径是 18如图，将边长为 a 的正六边形 l 上由图 1 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当 位置时，顶点 三、解答题（本大题共 2道小题，每小题 6分，满分 12 分） 19计算： 20先化简，再求值 ：（ 1 ） ，其中 a= 四、应用与创新（本大题共 2道小题，每小题 8分，满分 16分） 21为了解某校 2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整） 第 4 页（共 28 页） （ 1）问：在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （ 2）补全频数分布直方图； （ 3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学； （ 4）为了鼓励 “ 低碳生活 ” ，学校为随机抽到的步行或骑自行车上学的学生设计了一个摸奖游戏，具体规则如下：一个不透明的袋子中装着标有数字 1、 2、 3、 4的四个完全相同的小球，随机地从四个小球中摸出一球然后放回，再随机地摸出一球，若第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，则有小礼物赠送，问获得小礼物的概率是多少（用树状图或列表说明）？ 22如图： 我国渔政船 310 船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东方向的我国某传统渔场捕鱼作业若渔政 310 船航向不变，航行半小时后到达 B 点，观测我渔船 ：渔政 310 船再按原航向航行多长时间，渔船 C 离渔政 310 船的距离最近？（渔船 果不取近似值） 五、解答题（本大题共 2道小题，每小题 9分，共 18分） 23某电器超市销售每台进价分别为 200元、 170元的 A、 表是近两周的 销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 第一周 3 台 5台 1800元 第二周 4 台 10台 3100元 第 5 页（共 28 页） （进价、售价均保持不变，利润 =销售收入进货成本） （ 1）求 A、 （ 2）若超市准备用不多于 5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 （ 3）在（ 2）的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1400 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由 24已知如图，在 ， 别是 上的高，在 延长线上截取 C，在 N=说明： （ 1） N （ 2） 六、综合与探究（本大题共 2道小题，每小题 10分，满分 20分） 25如图，已知一个三角形纸片 的长为 8， 上的高为 6， B 和 C 都为锐角， M 为 、 过点 N 点 N，在 x，h （ 1）请你用含 h； （ 2）将 叠，使 在四边形 在平面，设点 A 落在平面的点为 y，当 大值为多少 26如图，已知 0 ， C，点 A、 C在 3， m）（ m 0），线段 ，以 P（ 1， 0）为顶点的抛物线过点 B、 D 第 6 页（共 28 页） （ 1）求点 （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连接 延长交 点 E，连接 延长交，试证明： C）为定值 第 7 页（共 28 页） 2015 年湖南省娄底市冷水江市中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10小题，每小题 3分，满分 30分） 1 | 2015|的值是（ ） A B C 2015 D 2015 【考点】绝对值 【分 析】根据绝对值的性质求解即可注意正数的绝对值是本身， 0的绝对值为 0，负数的绝对值是其相反数 【解答】解： | 2015|的值是 2015 故选： C 【点评】此题考查了绝对值的知识，掌握绝对值的意义是本题的关键，解题时要细心 2下列运算正确的是（ ） A（ 3= （ 23=6 a3=考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则求 出答案 【解答】解： A、（ 3=此选项错误； B、 确； C、（ 23=8此选项错误； D、 a3=此选项错误； 故选： B 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键 3如图，已知 a b， 1=130 ， 2=90 ，则 3=（ ） 第 8 页（共 28 页） A 70 B 100 C 140 D 170 【考点】平行线的性质 【分析】延长 1的边与直线 后根据两直线平行，同旁内角互补求出 4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 【解答】解：如图，延长 1的边与直线 a b， 4=180 1=180 130=50 ， 由三角形的外角性质， 3= 2+ 4=90 +50=140 故选： C 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键 4直线 y=1一定经过点（ ） A（ 1， 0） B（ 1， k） C（ 0， k） D（ 0， 1） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【专题】存在型 【分析】根据一次函数 y=kx+b（ k 0）与 0， b）进行解答即可 【解答】解： 直线 y=1中 b= 1， 此直线一定与 0， 1）点， 此直线一定过点（ 0， 1） 故选 D 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数 y=kx+b（ k 0）与 0， b） 第 9 页（共 28 页） 5有一组数据： 2， 5， 7， 2， 3， 3， 6，下列结论错误的是（ ） A平均数为 4 B中位数为 3 C众数为 2 D极差是 5 【考点】极差；算术平均数；中位数；众数 【分析】根据极差、众数及中位数的定义，结合选项进行判断即可 【解答】解：将数据从小到大排列为： 2， 2， 3， 3， 5， 6， 7， A、平均数 = （ 2+2+3+3+5+6+7） =4，结论正确，故本选项错误； B、中位数为 3，结论正确，故本选项错误； C、众数为 2和 3，结论错误，故本选项正确； D、极差为 7 2=5，结论正确，故本选项错误； 故选 C 【点评】本题考查了中位数、众数、平均数及极差的知识，掌握各部分的定义是关键，在判断中位数的时候一样要将数据从新排列 6下列命题中，正确的是（ ） A菱形的对角线互相垂直且平分 B平行四边形的对角线相等 C矩形的对角线互相垂直 D梯形的对角线相等 【考点】命题与定理 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案 【解答】解： A、菱形的对角线互相垂直且平分，故 B、平行四边形的对角线互相平分，故 C、矩形的对角线相等，故 C 错误； D、等腰梯形的对角线相等，故 故选： A 【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 7式子 有意义的 ） 第 10 页（共 28 页） A x 1 B x 且 x 1 C x D x 且 x 1 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可 【解答】解：由题意得， 2x+1 0， x 1 0， 解得， x 且 x 1， 故选： B 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数、分式分母不为 0是解题的关键 8小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式 【专题】常规题型 【分析】由一共有 10种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有 1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： 一共有 10 种等可能的结果 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，小军能一次打开该旅行箱的只有 1种情况 ， 小军能一次打开该旅行箱的概率是： 故选： A 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 9如图是一个圆柱体，则它的正视图是（ ） A B C D 第 11 页（共 28 页） 【考点】简单几何体的三视图 【分析】根据正视图是从物体的正面看得到的视图，从正面看到圆柱体为长方形，即可得出结果 【解答】解：从正面看圆柱体是一个长方形 故选： D 【点评】本题主要考查了简单几何体三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图，比较简单 10如图，在平面直角坐标系 径为 2的 的坐标为（ 3， 0），将 P沿 P与 平移的距离为（ ） A 1 B 1或 5 C 3 D 5 【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质 【分析】平移分在 【解答】解：当 移的距离为 1； 当 移的距离为 5 故选： B 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径 二、填空题（本大题共 8道小题，每小题 3分，满分 24 分） 11若 4=（ x 2）（ x+a），则 a= 2 【考点】因式分解 运用公式法 【专题】计算题；因式分解 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可确定出 【解答】解： 4=（ x 2）（ x+2） =（ x 2）（ x+a）， 则 a=2， 故答案为： 2 第 12 页（共 28 页） 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键 12如图， C，要使 添加的条件是 B= E=添加一个条件即可） 【考点】全等三角形的判定 【专题】开放型 【分析】要使 知 C， A= A，则可以添加一个边从而利用 添加一个角从而利用 判定其全等 【解答】解：添加 B= E= 故答案为： B= E= 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有： L添加时注意： 能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键 13如图，已知 A 点是反比例函数 的图象上一点， ，且 面积为 3，则 6 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S= |k| 【解答】解：根据题意可知： S |k|=3， 由于反比例 函数的图象位于第一象限， k 0， 则 k=6 第 13 页（共 28 页） 故答案为： 6 【点评】本题主要考查了反比例函数 中 过双曲线上任意一点引 x轴、y 轴垂线，所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 14如图，将直角三角板 60 角的顶点放在圆心 边和一直角边分别与 、 是优弧 任意一点（与 A、 则 30 【考点】圆周角定理 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案 【解答】解：由题意得， 0 ， 则 0 故答案为： 30 【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容 15据统计，全国每小时约有 510000000吨污水排入江海，用科学 记数法表示为 108 【考点】科学记数法 表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 数点移动了多少位， 原数绝对值 1时， 原数的绝对值 1时， 【解答】解：全国每小时约有 510000000吨污水排入江海，用科学记数法表示为 108， 故答案为： 108 第 14 页（共 28 页） 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10中 1 |a|10， 示时关键要正确确定 16一个多边形的内角和是它的外角和的 3倍，则这个多边形的边数为 八 【考点】多边形内角与外角 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（ n 2） 180 ，外角和等于 360 ，然后列方程求解即可 【解答】解：设多边形的边数是 n，根据题意得， （ n 2） 180=3 360 ， 解得 n=8， 这个多边形为八边形 故答案为：八 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注 意 “ 八 ” 不能用阿拉伯数字写 17已知圆锥的母线长是 5面积是 15，则这个圆锥底面圆的半径是 3 【考点】圆锥的计算 【专题】计算题 【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可 【解答】解： 圆锥的母线长是 5面积是 15， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为： l= = =6 ， 锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， r= = =3 故答案为： 3 【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化 18如图，将边长为 a 的正六边形 l 上由图 1 的位置按顺时针方向向右作无滑动 第 15 页（共 28 页） 滚动，当 位置时，顶点 a 【考点】弧长的计算；正多边形和圆；旋转的性质 【分析】连 用正六边形的性质分别计算出 a， 1a，而当 位置时，顶点 6， a，a， 2a， a， 心角都为 60 的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可 【解答】解：连 图， 六边形 a， 20 ， 0 ， a， a， 1a， 当 位置时，顶点 6， 以 a， a， 2a， a， a 为半径，圆心角都为 60 的五条弧， 顶点 a ， 故答案为： a 【点评】本题考查了弧长公式： l= ，也考查了正六边形的性质以及旋转的性质，难度一般 第 16 页（共 28 页） 三、解答题（本大题共 2道小题，每小题 6分，满分 12 分） 19计算： 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题 【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果 【解答】解：原式 =3 1 4 +2 =3 1 2 +2 =2 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20先化简，再求值：（ 1 ） ，其中 a= 【考点 】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 【解答】解：原式 = = = ， 当 a= 时，原式 = =1+ 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 四、应用与创新（本大题共 2道小题，每小题 8分，满分 16分） 21为了解某校 2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整） 第 17 页（共 28 页） （ 1）问：在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （ 2）补全频数分布直方图； （ 3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学； （ 4）为了鼓励 “ 低碳生活 ” ，学校为随机抽到的步行或骑自行车上学的学生设计了一个摸奖游戏，具体规则如下：一个不透明的袋子中装着标有数字 1、 2、 3、 4的四个完全相同的小球，随机地从四个小球中摸出一球然后放回，再随机地摸出一球，若第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，则有小礼物赠送，问获得小礼物的概率是多少（ 用树状图或列表说明）？ 【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法 【专题】计算题 【分析】（ 1）根据上学方式为 “ 私家车 ” 的学生数除以所占的百分比即可求出调查的学生总数； （ 2）根据总学生数求出上学方式为 “ 公交车 ” 的学生数，补全条形统计图即可； （ 3）求出上学方式为 “ 公交车 ” 的学生所占的百分比，乘以 2400即可得到结果； （ 4）根据题意画出相应的树状图，得出所有等可能的情况数，找出第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大的情况数，即可求出所求的概率 【解 答】 解：（ 1） 32 40%=80（名）， 则在这次调查中，一共抽取了 80 名学生； （ 2）上学方式为 “ 公交车 ” 的学生为 80（ 8+12+32+8） =20（名）， 补全频数分布直方图，如图所示； 第 18 页（共 28 页） （ 3）根据题意得： 2400 =600（名）， 则全校所有学生中有 600名学生乘坐公交车上学； （ 4）根据题意画出树状图，如图所示： 得到所有等可能的 情况数有 16种，其中第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，即有小礼物赠送的有 6种，则 P= = ， 则获得小礼物的概率是 【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键 22如图：我国渔政船 310 船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在 A 点观测到我渔船 C 在北 偏东方向的我国某传统渔场捕鱼作业若渔政 310 船航向不变，航行半小时后到达 B 点，观测我渔船 ：渔政 310 船再按原航向航行多长时间，渔船 C 离渔政 310 船的距离最近？（渔船 果不取近似值） 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【分析】首先作 ，则当渔政 310船航行到 渔政船 而表示出 利用速度不变得出等式求出即可 【解答】解：作 ，则当渔政 310船航行到 渔政船 x 在 0 ， ， x， 第 19 页（共 28 页） 在 5 ， D=x， D x x=（ 1） x， 设渔政船从 需要 = ， = ， （ 1） t= 解得： t= ， t= ， 答：渔政 310船再按原航向航行 小时后，渔船 10船的距离最近 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，利用渔政船速度不变得出等式是解题关键 五、解答题（本大题共 2道小题，每小题 9分，共 18分） 23某电器超市销售每台进价分别为 200元、 170元的 A、 表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 第一周 3 台 5台 1800元 第二周 4 台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润 =销售收入进货成本） （ 1）求 A、 （ 2）若超市准备用不多于 5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 第 20 页（共 28 页） （ 3）在（ 2）的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1400 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用 【专题】应用题 【分析】（ 1）设 A、 B 两种型号电风扇的销售 单价分别为 x 元、 y 元，根据 3 台 A 型号 5 台 B 型号的电扇收入 1800元， 4台 A 型号 10台 100元，列方程组求解； （ 2）设采购 采购 30 a）台，根据金额不多余 5400元，列不等式求解； （ 3）设利润为 1400元，列方程求出 0，不符合（ 2）的条件，可知不能实现目标 【解答】解：（ 1）设 A、 B 两种型号电风扇的销售单价分别为 依题意得： ， 解得： ， 答： A、 50元、 210元； （ 2）设采购 采购 30 a）台 依题意得： 200a+170（ 30 a） 5400， 解得： a 10 答：超市最多采购 0 台时，采购金额不多于 5400元； （ 3）依题意有：（ 250 200） a+（ 210 170）（ 30 a） =1400， 解得： a=20， a 10， 在（ 2）的条件下超市不能实现利润 1400元的目标 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式 的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解 24已知如图，在 ， 别是 上的高，在 延长线上截取 C，在 N=说明： （ 1） N 第 21 页（共 28 页） （ 2） 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】（ 1）欲证明 N，只要证明 （ 2）由 出 N，由 N+ 0 即可推出 0 ，由此即可解决问题 【解答】证明：（ 1） 0 ， 0 在 ， N； （ 2） N， N+ 0 ， 0 ， 0 ， 第 22 页（共 28 页） 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型 六、综合与探究（本大题共 2道小题，每小题 10分，满分 20分） 25如图，已知一个三角形纸片 的长为 8， 上的高为 6， B 和 C 都为锐角， M 为 、 过点 N 点 N，在 x，h （ 1）请你用含 h； （ 2）将 叠，使 在四 边形 在平面，设点 A 落在平面的点为 y，当 大值为多少 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】（ 1）由于 相似关系求解 （ 2）由于翻折后点 可能在 可能在 需分类讨论由于 A 是动点，故重合的面积随 A 位置的变化而变化 【解答】解：（ 1） （ 2） N 上的高为 h 当点 C 边上时 y=S h= x x= 0 x 4） 第 23 页（共 28 页） 当 图（ 4 x 8） 设 F 上的高为 h 6= x 6 S 6 8=24 S ） 2 24= 12x+24 y=S S 12x+24） = 2x 24 所以 y= 2x 24（ 4 x 8） 综上所述 当 0 x 4时， y= x=4， 当 4 x 8时， y= 2x 24，取 x= ， 当 x= 时， 【点评】本题着重考查了二次函数的综合应用、图形翻折变换、三角形相似等重要知识点，综合性强，能力要求较高考