2017届云南中考数学题型专项（九）圆的证明与计算（含答案）

题型专项 (九 ) 圆的证明与计算 圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一， 占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算、证明的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质与判定，利用圆的性质求线段长、角度或阴影部分的面积等，都是考查的重点 类型 1 与圆的基本性质有关的计算与证明 1 (2015安徽 )在 O 中，直径 6， 弦， 30，点 P 在 ，点 Q 在 O 上，且 (1)如图 1，当 ，求 长度； (2)如图 2，当点 P 在 移动时，求 的最大值 解： (1)连接 在 ， 3 3. 在 ， 3， 3， 6. (2)连接 t ， 9 长最小时， 长最大，此时 1232， 的最大值为 9（ 32） 2 3 32 . 2 (2013玉溪 )如图， O 的直径，弦 点 E， 点 F. (1)请探索 关系并说明理由； (2)若 D 30， 1 时，求圆中阴影部分的面积 (结果保留 ) 解： (1)12理由：由垂径定理得 中位线 12(2)连接 1)知 12. O 的直径， 90 . D 30， A 30 . 22. 3. S 12 34 . 120， 1， S 扇形 120 3. S 阴影 S 扇形 S 3 34 . 类型 2 与圆的切线有关的计算与证明 3 (2016云南模拟 )如图， O 的直径，点 P 在 延长线上，弦 点 E， (1)求证： O 的切线； (2)若 1 2， 6，求 O 的半径 解： (1)证明： 90 . P 90 . P 90，即 90 . O 的切线 (2) P P， 设半径为 R，则 2 (R 6)2 (6 R) (2 6) 解得 R 3(R 0 舍去 ) O 的半径为 3. 4 (2016永州 )如图， O 的内接三角形， 直径，过点 B 的切线与 延长线交于点 D， E 是 点，连接 (1)求证： O 的切线； (2)若 4， 2，求 长 解： (1)证明：连接 O 的切线， A， 90 . O 的直径， 90 . 90， 90 . E 是 点， 12 A. A. 90， 即 90， O 的切线 (2) 90， 42 22 2 5. 24 12， 125. 1252 . 5 (2016云南模拟 )如图， O 的直径，点 C 在 O 上，点 D 在 长线上，且 A. (1)求证： O 的切线； (2)若 A 30， 2 3，求图中阴影部分的面积 解： (1)证明：连接 O 的直径， 90，即 90 . A A 90 . O 的切线 (2)过点 O 作 点 E. 2 3， 3. A 30， 1， 2， 120 . S 扇 120 4360 43 ， S 12 2 3 1 3. S 阴影 43 3. 6 (2016昆明模拟 )如图， ，以 直径的 O 交 点 D， (1)求证： O 的切线； (2)若 O 的半径为 2， 30，求图中阴影部分的面积 (结果保留根号和 ) 解： (1)证明： O 直径， 90 . 90 . 90 . O 的半径， O 切线 (2)连接 O 作 点 M. 30， 2 A 60 . 等边三角形 2. 1. 由勾股定理得： 3. S 12 2 3 3. 阴影部分的面积 S S 扇形 S 60 22360 323 3. 7 (2016红河模拟 )如图， O 的直径，点 F， C 是 O 上两点，且 ，连接 点 C 作 长线于点 D，垂足为 D. (1)求证： O 的切线； (2)若 2 3，求 O 的半径 解： (1)证明：连接 ， O 的切线 (2)连接 直径， 90 . ， 13 180 60 . 30 . 30 . 在 ， 2 3， 24 3. 在 ， 33 33 4 3 4， 28. O 的半径为 4. 8 (2016普洱模拟 )如图，在 ， 90，以 直径的 O 交 点 D，点 E 是 中点，连接(1)判断 O 的位置关系，并说明理由； (2)若 52 ， 2，求 长 解： (1)结论： O 相切理由如下：连接 点 E 是 中点，点 O 是 中点， 中位线 B， 又 B， 又 又 90， 90 . O 的半径， O 的切线 (2)连接 O 的直径， 90 . 180 90 . 在 ，点 E 是斜边 中点， 24. 52 ， 设 5x， 2x. ( 5x)2 (2x)2 42. 解得 x 43(负根不合题意，舍去 ) 5x 43 5. 在 ， C 90， 又 90， C. 52 . 又在 ， 43 5 52 103. 9 (2016曲靖模拟 )已知：如图， O 的直径 直于弦 点 C 的切线与直径 延长线相交于点 P，连接(1)求证： O 的切线； (2)求证： (3)若 4， 12，求直径 长 解： (1)证明：连接 设 于点 E. O 的切线， 90 . 90 . 又 又 90 . O 的切线 (2)证明： 90， 又 A A. 又 即 (3)设 x，则 2x， 5x. A 90， A 12. 24x， 5x， 2 5x. 由 (2)知 45x 5x. 得 8 5x. 又 16 (8 5x)(5x 8 5x) 得 x 65. 5x 6. 10 (2016红河模拟 )如图，在 ， 直径的 O 分别交 点 D， E， 延长线与O 的切线 于点 F. (1)求证： 2 (2)若 2 10， 1 4，求 长 解： (1)证明：连接 O 的直径， 90 . 90 . O 的切线， 90， 即 90 . 90， 2 2 (2)连接 O 直径， 90 . 设 x， 1 4， 4x， 5x， 3x. 在 ， 即 (2 10)2 (3x)2. x 2(x 2 舍去 ) 2. 8， 10， 6. 68 152. 11 (2016昆明模拟 )如图， O 是 外接圆， 直径，过点 O 作 点 D，延长 O 于点 P，过点 P 作 点 E，作射线 延长线于点 F，连接 (1)若 60， 12，求劣弧 长； (结果保留 ) (2)求证： (3)求证： O 的切线 解： (1) 12， 6. 60 6180 2 . (2)证明： 90 . 在 ， A (3)证明：连接 由 (2)得 又 直径， 90 . 90，即 又 中垂线， 90， 90 . O 的切线 12 (2016德州 )如图， O 是 外接圆， 分 O 于点 E，交 点 D，过点 E 作直线 l (1)判断直线 l 与 O 的位置关系，