王新磊高三数学理培优辅导试题（2）二数列不等式综合问题

1（二）数列不等式综合问题1.已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ,且 .nanS2naS(1) 求证： ；214nS(2) 求证： 1122nS2.在数列 中， ， （1）求证：数na11130nna列 为等差数列，并求 的通项；（2）若 对任意1n1na的整数恒成立，求实数 的取值范围；（3）设数列 ，2nb的前 项和为 ，求证： 。nbnTn3.对 ，不等式组 所表示的平面区域为 ， 内的N02xynnD整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列 。123(,),(,),()xyxx（1）求 、 ；（2）数列 满足 ，且 时，nna12n。证明：当 时，)(2121ya； （3）在（2）的条件下，试比较2()nn与 4 的大小关系)()()321 naa4.设函数 的图象在 处的切线平行于直线 。2()gxx120xy记 的导函数为 ，数列 满足： , 。 （1）()fna1()nnaf求函数 的解析式； （2）试判断数列 的增减性,并给出证明；()f（3）当 时，证明: 。2,nN*122n25.已知函数 ，数列 满足),0(,12)(xf nx，且 .1nxn 1(1)设 ，证明： ；ana(2)设(1)中的数列 的前 项和为 ，证明 .nS2n6.已知数列 、 中， ， ， 。nac10a1nna1nc（1）证明： 是等差数列并求出数列 的通项公式 ；（2）设 ，证明：对任意的正整数 、 ，均有910nnbm；3|5nm（3）设数列 的前 项和为 ，证明： 。nanSln1n1.解: （1）在条件中，令 ，得 ， 11122aa0a又由条件 有 ，上述两式相减，注意到nnSa22nnS得 nS1 0)(11n 0a所以， ， n)(2n所以 4)1(211naS（2）因为 ，所以 ，)( 2)(2所以 13121 nSSn；3 212nS)(121 nn SSS 32.解: 2.（1）由 得：11302nna132na又 ，数列 是首项为 1，公差为 3 的等差数列1an ，即：3()2n2na（2） 对任意 的整数恒成立，即1na恒成立 对任意 的整数恒成3n(31)n2n立设 ，则()21ncn221343(1)34341n nn当 时， 为递增数列 所以 的取值范围为：2nc28nc8(,3（3）由 ，得nba1222(31)331nnn所以， 12nTb47023 23.解:（1）作出平面区域 （略） （2 分） 由 解得：nD12xyn（4 分）,nxy（2）当 时， 221nan4 （5 分）2221nan （6 分）1221() 122()nna（3）由（2）得：当 时， 1n，且 ， （714a分）当 时， （8 分）1n124a当 时，2123 312 1123 42122()()()14()113nn nnnaaaa 11324 nn 综上述： 123()()(1)4naa 4.解: （1）函数 的导函数为 ，由于在 处2gxx2fxa1x的切线平行于 ， 解出： 即0y12()fxa（2）由 得 , 即1()nnf21na21nna ,故由 知 , , 故 是单调递增.1200(3) = 1()nna1()nnanna即 , ,1nn22315341a11nna =nS12 a123112nnaa而当 时,nS121246371 naa a5. (1)证明： 即)(1nnxf11nx. 2)(221 nnnxa .0nn ax)1(1 na1（2） 2)(12x12)( nn nnaaS )1()(22121)(n.2评注：本题利用放缩法将函数、数列和不等式巧妙结合，对综合应用能力要求较高；在考查个体思维的同时，对整体理性思维的考查达到了一定的深度和广度，合理应用放缩法可以锻炼和培养学生综合应用能力和严密的逻辑思维能力.6（1） 11 2112nnnnnacaa (常数)而 所以 是以 为首项， 为公差2n1cnc的等差数列， ， 即11nna1an6（3） 919()()00nnnba2119()00()9nnb当 时， ，即 ，当 时，219n421nb，即 ，所以 又因为 时，0312356.b，并且 ，所以 所以对任意的正整数 、 ，均有nb140nm446()58m（2）解法一：设函数 ，则l10Fxx，10Fx故 ， 即 所以 ， lnx1ln即 所以 ，所以11ln1na， 2l32.l1lS即 ln解法二：当 时， ，显然满足题意110lnSa假设当 时， ，kk所以当 时，111lnl1kkk kS