王新磊高三数学理培优辅导试题三

（三）数形结合思想专题【例 1】 运用数形结合解决集合问题（1）若 集 合 ， ， 集 合 ，MxyNxyb()cosin()()|30且 ， 则 的 取 值 范 围 为 。Nb（2）已知 ，(,)1,Axy,若 ，则 的取值范22(,)BaaRABa围是 。【例 2】 运用数形结合解决函数问题（1） （2007 浙江）设 是二次函数，若 的21()xf， ， ， ()gx()fgx值域是 ，则 的值域是（ ）0， gA B 1 ， ， 10 ， ， C D， ， （2）设奇函数 的定义域为(-，0)(0，+)且在(0，+)上单调()fx递增，f(1)0，则不等式 的解集是_1()02fx(3)已 知 ， 满 足 ， 求 的 最 大 值 与 最 小 值xyy21653(3)变式：求函数 的最值.t64tu(4)（06 天津卷）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在)(xf ),(ba)(xf内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ),(ba)(f）A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个(5)（2006 福建）已知函数 2()8,()6ln.fxgxm（I）求 在区间 上的最大值()fx,1t;ht（II）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且m()yfx()yx只有三个不同的交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。【例 3】 运用数形结合解决不等式问题（1）解不等式 .x2（2）设 ,当 时， 恒成立，求()fxa1,)()fxa的取值范围 a（3）已知 满足不等式： 试求2(),fxb()2,(1)4,ff的取值范围。(2f【例 4】 运用数形结合解决三角问题求函数 的值域， 变式：求函数 的最大值。xycos2in3 x21y【例 5】 运用数形结合解决方程问题（1）若方程 lg(x 2+3xm)=lg(3x)在 x 内有唯一解，求实数 m)3,0(的取值取范围.（2）设函数 f(x)= 若 f(4)= f(0),f(2)=2,则关于 x.0,2,xcb的方程 f(x)=x的解的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4数形结合思想专题参考答案【例 1】 （1） 解析：MxyyM()| ()， ， ， 显 然 ， 表 示 以 ， 为 圆 心 ，29010以 3为半径的圆在 x轴上方的部分， （如右下图） ，而 N则表示一条直线，其斜率 k=1，纵截距 为 ， 由 图 形 易 知 ， 欲 使 ， 即 是 使 直 线 与 半 圆 有 公 共 点 ，b yxb显 然 的 最 小 逼 近 值 为 ， 最 大 值 为 ， 即33232（2）解析：集合 A所表示的点为正方形的内部及其边界，集合 B所表示的点为以 C( , )为圆心，以 1为a半径的圆的内部及其边界而圆心 C( , )在直线y=x上，故要使 A B ，则 为所求。21【例 2】 （1）解析：因为 是二次函数，值域不会是()gxA、B，画出函数 的图像（图 1）易知，当 值域yf()gx是 时， 的值域是 ，答案：C。0， ()x0， （2）解析：由已知画出 的图象可知：()yf当 x(-1，0)(1，+)时 x当 x（-，-1）(0，1)时 ()0f1。 Oy x1图 1y-1O 1 x又 x(x- )=(x- )2- - -11461 成立，则必有 0x(x- )1,(0fx21解之得 x0 或 x4172473.构对 于 二 元 函 数 在 限 定 条 件 下 求 最 值 问 题 ， 常 采 用yxy31652造直线的截距的方法来求之。 令 ， 则 ，xbxb33原 问 题 转 化 为 ： 在 椭 圆 上 求 一 点 ， 使 过 该 点 的 直 线 斜 率 为 ，y2 3且 在 轴 上 的 截 距 最 大 或 最 小 ，y由 图 形 知 ， 当 直 线 与 椭 圆 相 切 时 ， 有 最 大 截 距 与 最 小yxbxy31625截距。yxbxb316251694022由 ， 得 ， 故 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 。 031313byx（3）变式：分析：由于等号右端根号内 t同为一次，故作简单换元，无法转化出一元二次函数求最值，若对式子平方处理，将m4t2会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元.解：设 yxu，t6y,4t2x则21,(0,2)yx且 yxu所 给 函 数 化 为 以 为 参 数 的 直 线 方 程.216xy它 与 椭 圆 在 第 一 象 限 部 分 包 括 端 点有公共点（如图） ，相切于第一象限时， 取最大值。2minu.2223416016yxuux得 26解 得 取.xm（4）解析：函数 的定义域为开区)(f间 ，导函数 在 内的),(bax),ba图象如图所示，函数 在开区间(f内有极小值的点即函数由减函数),(变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有 1个，选 A。（5）解：（I） 22()8(4)6.fxx当 时， （如图 11） 在 上单调递减，4t,t2()8.htft当 即 时，41,34()416;htf当 即 时， 在 上单调递增，ttfx,22()()8()7;hftt综上， 267,3()1,4,8ttt （II）函数 的图象与 的图()yfx()ygxabxy)(fO Oyt t+1x=4x图 11Oyx=4y y=g(x)x图 12象有且只有三个不同的交点（如图 12） ，即函数 的图象()()xgfx与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。x当22()86ln,86(1)3 (0),xmxx时， 是增函数；当 时，(0,1)x()0,()x,是减函数；当 时， 是增函数；当 或 时，(3,)x(),()x1,x30.()(1)7,()(3)6ln5.xmxm最 大 值 最 小 值当 充分接近 0时， 当 充分大时，,()0.x要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()x即7,()6ln3150,m最 大 值最 小 值 7156ln3.m所以存在实数 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不()yfx()g同的交点， 的取值范围为 7,6ln3.【例 3】 （1）解： 12,yxy令 则 不 等 式2x的 解 就 是 的 图 象在 y2=x的上方的那段对应的横坐标.如图不等解集为 可由ABx而2,Ax得解 集 为 2x（2）解析： 由 ()fa2(1)ax令 ,在同一坐标系中作出两21,1)yxx个函数的图象 如图满足条件的直线 位于 与 之间，而直线 与l12l1l对应的 值（即直线的斜率）分别为 1，3，故直线 对应的 (2la a3,1) （3）错解：由 得： ;1()2,()4ff2b+得： ； 24ab36a（1）+得： 6 0由、得： 3ab(2)1.f错因：等号成立的条件不同，不等式变换是不等价变换，实质上扩大了解的范围。下面用线性规划思想解决此题：错解：约束条件： 目标函数： z4a2b320ab正解：约束条件： 目标函数： z4a2b124a ，即540ab5()10f-12-1oyx1.5 30 X4a2b04a2b34a2b12Y1.5错解4a2b100Y1.51.5 3 X4a2b04a2b5正解从上面二图可以看出：错解扩大了可行域，导致解的范围扩大。【例 4】 解析：联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ,12xyk将原函数视为定点(2,3)到动点 的斜率,又知动点)sin,(cox满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆)sin,(cox连线的斜率问题,作出图形观察易得：最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而得解：答案： 326,y变式：解：由定义知 1-x20 且 2+x0 -1x1，故可设 x=cos，0，则有可看作是动点 M（cos，sin）(0，)与)2(cos0in2siy定点 A（-2，0）连线的斜率，而动点 M的轨迹方程 ，sinycox0，即 x2+y2=1（y0，1是半圆。设切线为 AT，T 为切点，|OT|=1，|OA|=2 ，0k AM 即函数的值域为0， ，故最大值为31kAT313。3【例