第8章 学案38

第 8 章 立体几何学案 38 空间几何体导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图自主梳理1多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面_，侧棱都_且_ ，上底面和下底面是_的多边形侧棱和底面_的棱柱叫做直棱柱底面为_的直棱柱叫正棱柱(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_的三角形棱锥的底面是_，且顶点在底面的正投影是_，这样的棱锥为正棱锥(3)棱台可由_的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形_被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台2旋转体的结构特征将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做_、_、_，这条直线叫做_垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做_半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做_，球面围成的几何体叫做_，简称_3空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用_画法，其规则是：(1)在空间图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴交于 O 点，再取 z 轴，使xOz90，且yOz 90.(2)画直观图时把它们画成对应的 x轴、y轴和 z轴，它们相交于点 O，并使xOy_，xOz90，x轴和 y轴所确定的平面表示水平面(3)已知图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于_的线段(4)已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持原长度_，平行于 y轴的线段，长度变为_自我检测1下列四个条件能使棱柱为正四棱柱的是_( 填序号) 底面是正方形，有两个侧面是矩形；底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直；每个侧面都是全等矩形的四棱柱2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是_3如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是_4长方体 AC1 中，从同一个顶点出发的三条棱长分别是 a，b，c，则这个长方体的外接球的半径是_5如图所示，直观图四边形 ABC D是一个底角为 45，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_探究点一 空间几何体的结构例 1 给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是_变式迁移 1 下列结论正确的是_( 填序号) 各个面都是三角形的几何体是三棱锥；以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线探究点二 空间几何体的直观图例 2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面四边形的面积等于_变式迁移 2 等腰梯形 ABCD，上底 CD1，腰 ADCB ，下底 AB3，以下底2所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABC D的面积为_探究点三 简单组合体的有关计算例 3 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面 )的面积变式迁移 3 如图，一个正方体内接于高为 40 cm，底面半径为 30 cm 的圆锥，则正方体的棱长是_cm.1熟练掌握几何体的结构特征与对应直观图之间的相互转化，正确地识别和画出空间几何体的直观图是解决空间几何体问题的基础和保证2棱柱的分类(按侧棱与底面的位置关系)：棱柱Error!3正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多 边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决4圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋 转面、轴截面5用斜二测画法画出的平面图 形的直观图的面积 S与原平面 图形的面积 S 之间的关系是 S S.24(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1下列命题正确的是_( 填序号) 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥；有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱2如图为一个简单多面体的表面展开图(沿虚线折叠即可还原) 则这个多面体的顶点数为_3圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392 cm2，母线与轴的夹角为 45，则这个圆台的高为_cm ，母线长为 _cm，上、下底面半径分别为_cm 和_cm.4如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的_(把所有可能的图的序号都填上)5已知水平放置的ABC 的直观图ABC(斜二测画法)是边长为 a 的正三角2形，则原ABC 的面积为_6棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上，E、F 分别是棱 AA1、DD 1 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段长为_7(2011四川)如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_8(2011连云港模拟)棱长为 a 的正四面体 ABCD 的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径 R 为_二、解答题(共 42 分)9(12 分) 正四棱台 AC1 的高是 17 cm，两底面的边长分别是 4 cm 和 16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高10(14 分) 用斜二测画法画出如图中水平放置的四边形 OABC 的直观图11(16 分) 一个圆锥的底面半径为 2，高为 6，在其中有一个高为 x 的内接圆柱(1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S；(2)当 x 为何值时，S 最大？学案 38 空间几何体答案自主梳理1(1)平行 平行 长度相等 全等 垂直 正多边形 (2)公共顶点 正多边形 底面中心 (3)平行于棱锥底面相似 正棱锥 2.圆柱 圆锥 圆台 轴 底面 球面 球体 球 3.斜二测 (2)45(或 135) (3)x轴、y轴或 z轴 (4) 不变 原来的一半自我检测12球体360解析 设母线长为 l，底面半径为 r，则 l2r. ，母线与高的夹角为 30.rl 12圆锥 的 顶角为 60.4.a2 b2 c22解析 长方体的外接球的直径长为长方体的体对角线长，即 2R ，所以a2 b2 c2R .a2 b2 c225. 22解析 把直观图还原为平面图形得：直角梯形 ABCD 中，AB 2，BC 1，AD1，2面 积为 (2 )22 .12 2 2课堂活动区例 1 解题导引 解决这种判断题的关键是： 准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识答案 解析 错误 ，因 为棱柱的底面不一定是正多边形；错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；正确，因 为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角； 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如 图所示，正方体AC1 中的四棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知因此，正确命题的序号是.变式迁移 1 解析 错误 如 图所示，由两个结 构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥错误 如下 图，若ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋 转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥错误 若六棱锥的所有棱长都相等， 则底面多边形是正六 边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面 边长 正确例 2 解题导引 本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直 观图 中的线段、角与原 图中的对应线段、角的关系答案 2 a22解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在 x 轴上(或与 x 轴平行) 的线段，其长度保持不变；在 y 轴上 (或与 y 轴平行) 的线段，其长度变为原来的一半，且x Oy 45(或 135)，所以，若设原平面图形的面积为 S，则其直观图的面积为S S S.可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S之间的关系是12 22 24S S，本题中直观图的面积为 a2，所以原平面四 边形的面 积 S 2 a2.24 a224 2变式迁移 2 22解析 OE 1，OE ，EF ， 22 112 24直 观图 ABCD的面积为 S (13) .12 24 22例 3 解题导引 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面 图对照分析，有机 结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面 圆作为衬托解 如图所示，ABE 为题中的三角形，由已知得 AB2，BE 2 ，BF BE ，32 3 23 233AF ，AB2 BF24 43 83ABE 的面积为S BEAF .12 12 3 83 2所求的三角形的面积为 .2变式迁移 3 120(32 )2解析 作轴截面，PO40 cm，OA30 cm，设 BCx，则 O1C x，22 ，即 ，O1COA O1POP 22x30 40 x40x120(3 2 )2课后练习区127解析 沿虚线折叠还原得几何体的直观图如下， 则这个多面体的 顶点数为 7.314 14 7 212解析 画出圆台的轴截面，如 图， 设 O、 O 分别是上、下底面的中心，作 AEDC 于E，则 有 DAE45.由于下底面周长是上底面周长的 3 倍，所以下底面半径是上底面半径的3 倍，若设 AE x，则 DEx， ABx， CD3x，AD x，于是轴截面的面积为：2x(3x x)392 ，解得 x14， 则圆台的高等于 14 cm，母线长为 14 cm，上、下底面半12 2径分别为 7 cm 和 21 cm.45. a26解析 在斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为 1 ，则易知 S ( a)24 24 34 22，S a2.66. 2解析 由题知球 O 半径为 ，球心 O 到直线 EF 的距离为 ，由垂径定理可知直 线 EF32 12被球 O 截得的线段长d2 .34 14 272 R2解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为 ，则圆柱高为 2Rcos ，圆柱底面半径为 Rsin ，S 圆柱侧 2 Rsin 2Rcos 2R 2sin 2.当 sin 21 时，S 圆柱侧 最大为 2R2，此时， S 球表 S 圆柱侧 4R 22 R22R 2.方法二 设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 .R2 r2S 圆 柱侧 2r2 ，R2 r2S 圆柱侧 4 .R2 r24r2R2 r2令 S 圆柱侧 0，得 r R.当 00；22 22当 RrR 时，S0.22当 r R 时，S 圆柱侧 取得最大 值 2R2.22此时 S 球表 S 圆柱侧 4R 22 R22 R2.方法三 设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 ，R2 r2S 圆 柱侧 2r2 4R2 r2 r2R2 r24 2R 2(当且 仅当 r2R 2r 2，即 r R 时取“”) 当 r R 时，r2 R2 r22 22 22S 圆柱侧 最大为 2R2.此时 S 球表 S 圆柱侧 4R 22 R22 R2.8. a64解析 如图所示，设正四面体 ABCD 内接于球 O，由 D 点向底面 ABC 作垂线，垂足为 H，连结 AH，OA，则可求得 AH a，33DH ，a2 ( 33a)2 6a3在 RtAOH 中， 2 2R 2，(33a) ( 63a R)解得 R a.649解 如图所示，设棱台的两底面的中心分 别是 O1、O，B1C1 和 BC 的中点分别是 E1 和 E，连结 O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形 OBB1O1 和 OEE1O1 都是直角梯形(4 分)A1B14 cm，AB 16 cm，O1E12 cm ，OE8 cm ，O1B12 cm，OB8 cm，(8 分)2 2B1B2O 1O2(OBO 1B1)2361 cm 2，E1E2O 1O2(OEO 1E1)2325 cm 2，(10 分)B1B19 cm，E 1E5 cm.13答 这个棱台的侧棱长为 19 cm，斜高为 5 cm.13(12 分)10解 (1)画 x轴，y 轴，使xOy45.(4 分)(2)在 Ox轴上