借助一次函数模型作决策

借助一次函数模型作决策河北省唐县齐家佐乡葛公中学 张红建决策类一次函数模型是中考重要模型，它是刻画变量之间关系的有效数学模型，现实生活中的许多问题可以通过建立一次函数模型去研究它，在中考试题中占有重要地位，这类试题往往与方程、不等式（组）结合在一起，需要灵活运用不等式（组）及一次函数的性质，确定自变量的值，进而对问题作出合理决策。 这类应用题重在考查学生阅读能力，应用数学知识分析问题能力，建立数学模型解决实际问题能力，培养学生应用数学的意识。要解好此类问题必须做到：一是建摸。它是解答应用题的最关键的步骤，即在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题，从而根据题意建立一次函数模型。 二是解摸。即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运算，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。现以 06 年的中考题为例对此类问题的解法作一说明，望对同学生们的复习能有所帮助。一、由方程（组）确定决策点1、由题目条件建立方程（组） ，求得决策点这类试题的特点是由题目的条件，分析出两个解析式，由两解析式组成方程组，求得方程组的解，从而建立讨论点。例 1：(06 锦州)小刚家装修，准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏 40 瓦白炽灯的售价为 1.5 元，一盏 8 瓦节能灯的售价为 22.38 元，这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为 0.45 元/度，设照明时间为 x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为 y1(元)和 y2(元)耗电量(度)=功率(千瓦)用电时间(小时)，费用=电费+灯的售价.(1)分别求出 y1、y2 与照明时间 x 之间的函数表达式；(2)你认为选择哪种照明灯合算？(3)若一盏白炽灯的使用寿命为 XX 小时，一盏节能灯的使用寿命为 6000 小时，如果不考虑其他因素，以 6000 小时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？解：(1)根据题意，得，即；，即.(2)由 y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得 x=1450；由 y1y2，得 0.018x+1.50.0036x+22.38，解得 x1450；由 y1y2，得 0.018x+1.50.0036x+22.38，解得 x1450.当照明时间为 1450 小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过 1450 小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于 1450 小时时，选择白炽灯合算.(3)由(2)知当 x1450 小时时，使用节能灯省钱.当 x=XX 时，y1=0.018XX+1.5=37.5(元)；当 x=6000 时，y2=0.00366000+22.38=43.98(元)，337.5-43.98=68.52(元).按 6000 小时计算，使用节能灯省钱，省68.52 元.点拔：解决此问题的关键是分析题意，由题意建立一次函数模型，进一步通过两函数解析式组成的方程组确定分类讨论点，根据一次函数的性质做出决策，第三问需要把所给的自变量的值直接代入一次函数的解析式，通过比较两上费用的大小作出决策。2、借助图像信息，建立方程组确定决策点图象信息问题的重点是观察图象，从中获取信息，并且要常常进行“数”与“形”之间的互换，如函数图象如何转化为函数解析式，图像中的信息如何转化为数据，进而转化为方程与函数，几何图形的线段如何转化为距离，等等，这里涉及函数、方程、几何知识的综合运用，则是本类题的难点，例 2：（XX 梧州非课改）甲、乙两个同学同时从各自的家里返回同一所学校，他们距学校的路程（千米）与行走时间（小时）之间的关系如图所示请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）分别求出甲、乙两同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式（2）在什么时间，甲、乙两同学距学校的路程相等？在什么时间段内，甲同学比乙同学离学校远？在什么时间段内，甲同学比乙同学离学校近？解：（1）设甲同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式为由图可知，函数的图象经过点解得 设乙同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式为由图可知，函数的图象经过点解得 （2）由题意得， ，解得 所以当行走了小时的时候，甲、乙两同学距学校的路程相等由图象知，当时，甲同学比乙同学离学校远 当时，甲同学比乙同学离学校近例 3：（XX 吉林课改）小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量桶中水面升高_；（2）求放入小球后量桶中水面的高度（）与小球个数（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？解：（1） （2）设，把，代入得：解得即（3）由，得，即至少放入个小球时有水溢出二、由不等式确定决策范围此类问题的特点是自变量的取值范围蕴含于题目的条件中，需要我们有良好的数据分析与概括能力从题目本分离出取值范围。例 4：(06 临沂)某报亭从报社买进某种日报的价格是每份 0.30 元，卖出的价格是每份 0.50 元，卖不出的报纸可以按每份 0.10 元的价格退还给报社。经验表明，在一个月（30 天）里，有 20 天只能卖出 150 份报纸，其余 10 天每天可以卖出 200份。设每天从报社买进报纸的份数必须相同，那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？解：设该报亭每天从报社买进报纸 x 份，所获月利润为 y 元。根据题意，得y=（0.500.30）x10(0.500.30)15020(0.100.30)(x150)20.(150x200)即 y=2x1200(150x200).由于该函数在 150x200 时，y 随 x 的增大而减小，所以当x=150 时，y 有最大值，其最大值为：21501200=900（元）答：报亭每天从报社买进 150 份报纸时，每月获得利润最大，最大利润为 900 元。点拔：本题的情景也是我们日常生活中经常遇到的决策性问题解决此类问题的关键是根据题目中的条件列出解析式，再通过分析题意找出自变量x 的取值范围，最后根据一次函数的增减性及取值范围，确定自变量 x 的值，进而求得最大利润，最后作出决策。三、由不等式组确定决策范围此类问题的特点是，把题目中的一些条件蕴含于表格之中，通过分析表格与题目条件才能得到方程组，进而得到自变量的取值范围，找出讨论点。例 5：（06 益阳市）城西中学七年级学生共400 人，学校决定组织该年级学生到某爱国主义教育基地接受教育，并安排 10 位教师同行.经学校与汽车出租公司协商，有两种型号的客车可供选择，其座位数（不含司机座位）与租金如右表，学校决定租用客车 10 辆.(1)为保证每人都有座位，显然座位总数不能少于 410.设租大巴 x 辆，根据要求，请你设计出可行的租车方案共有哪几种？大巴中巴座位数（个/辆）4530租金（元/辆）800500河北省唐县齐家佐乡葛公中学 张红建决策类一次函数模型是中考重要模型，它是刻画变量之间关系的有效数学模型，现实生活中的许多问题可以通过建立一次函数模型去研究它，在中考试题中占有重要地位，这类试题往往与方程、不等式（组）结合在一起，需要灵活运用不等式（组）及一次函数的性质，确定自变量的值，进而对问题作出合理决策。 这类应用题重在考查学生阅读能力，应用数学知识分析问题能力，建立数学模型解决实际问题能力，培养学生应用数学的意识。要解好此类问题必须做到：一是建摸。它是解答应用题的最关键的步骤，即在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题，从而根据题意建立一次函数模型。 二是解摸。即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运算，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。现以 06 年的中考题为例对此类问题的解法作一说明，望对同学生们的复习能有所帮助。一、由方程（组）确定决策点1、由题目条件建立方程（组） ，求得决策点这类试题的特点是由题目的条件，分析出两个解析式，由两解析式组成方程组，求得方程组的解，从而建立讨论点。例 1：(06 锦州)小刚家装修，准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏 40 瓦白炽灯的售价为 1.5 元，一盏 8 瓦节能灯的售价为 22.38 元，这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为 0.45 元/度，设照明时间为 x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为 y1(元)和 y2(元)耗电量(度)=功率(千瓦)用电时间(小时)，费用=电费+灯的售价.(1)分别求出 y1、y2 与照明时间 x 之间的函数表达式；(2)你认为选择哪种照明灯合算？(3)若一盏白炽灯的使用寿命为 XX 小时，一盏节能灯的使用寿命为 6000 小时，如果不考虑其他因素，以 6000 小时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？解：(1)根据题意，得，即；，即.(2)由 y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得 x=1450；由 y1y2，得 0.018x+1.50.0036x+22.38，解得 x1450；由 y1y2，得 0.018x+1.50.0036x+22.38，解得 x1450.当照明时间为 1450 小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过 1450 小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于 1450 小时时，选择白炽灯合算.(3)由(2)知当 x1450 小时时，使用节能灯省钱.当 x=XX 时，y1=0.018XX+1.5=37.5(元)；当 x=6000 时，y2=0.00366000+22.38=43.98(元)，337.5-43.98=68.52(元).按 6000 小时计算，使用节能灯省钱，省68.52 元.点拔：解决此问题的关键是分析题意，由题意建立一次函数模型，进一步通过两函数解析式组成的方程组确定分类讨论点，根据一次函数的性质做出决策，第三问需要把所给的自变量的值直接代入一次函数的解析式，通过比较两上费用的大小作出决策。2、借助图像信息，建立方程组确定决策点图象信息问题的重点是观察图象，从中获取信息，并且要常常进行“数”与“形”之间的互换，如函数图象如何转化为函数解析式，图像中的信息如何转化为数据，进而转化为方程与函数，几何图形的线段如何转化为距离，等等，这里涉及函数、方程、几何知识的综合运用，则是本类题的难点，例 2：（XX 梧州非课改）甲、乙两个同学同时从各自的家里返回同一所学校，他们距学校的路程（千米）与行走时间（小时）之间的关系如图所示请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）分别求出甲、乙两同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式（2）在什么时间，甲、乙两同学距学校的路程相等？在什么时间段内，甲同学比乙同学离学校远？在什么时间段内，甲同学比乙同学离学校近？解：（1）设甲同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式为由图可知，函数的图象经过点解得 设乙同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式为由图可知，函数的图象经过点解得 （2）由题意得， ，解得 所以当行走了小时的时候，甲、乙两同学距学校的路程相等由图象知，当时，甲同学比乙同学离学校远 当时，甲同学比乙同学离学校近例 3：（XX 吉林课改）小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量桶中水面升高_；（2）求放入小球后量桶中水面的高度（）与小球个数（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？解：（1） （2）设，把，代入得：解得即（3）由，得，即至少放入个小球时有水溢出二、由不等式确定决策范围此类问题的特点是自变量的取值范围蕴含于题目的条件中，需要我们有良好的数据分析与概括能力从题目本分离出取值范围。例 4：(06 临沂)某报亭从报社买进某种日报的价格是每份 0.30 元，卖出的价格是每份 0.50 元，卖不出的报纸可以按每份 0.10 元的价格退还给报社。经验表明，在一个月（30 天）里，有 20 天只能卖出 150 份报纸，其余 10 天每天可以卖出 200份。设每天从报社买进报纸的份数必须相同，那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？解：设该报亭每天从报社买进报纸 x 份，所获月利润为 y 元。根据题意，得y=（0.500.30）x10(0.500.30)15020(0.100.30)(x150)20.(150x200)即 y=2x1200(150x200).由于该函数在 150x200 时，y 随 x 的增大而减小，所以当x=150 时，y 有最大值，其最大值为：21501200=900（元）答：报亭每天从报社买进 150 份报纸时，每月获得利润最大，最大利润为 900 元。点拔：本题的情景也是我们日常生活中经常遇到的决策性问题解决此类问题的关键是根据题目中的条件列出解析式，再通过分析题意找出自变量x 的取值范围，最后根据一次函数的增减性及取值范围，确定自变量 x 的值，进而求得最大利润，最后作出决策。三、由不等式组确定决策范围此类问题的特点是，把题目中的一些条件蕴含于表格之中，通过分析表格与题目条件才能得到方程组，进而得到自变量的取值范围，找出讨论点。例 5：（06 益阳市）城西中学七年级学生共400 人，学校决定组织该年级学生到某爱国主义教育基地接受教育，并安排 10 位教师同行.经学校与汽车出租公司协商，有两种型号的客车可供选择，其座位数（不含司机座位）与租金如右表，学校决定租用客车 10 辆.(1)为保证每人都有座位，显然座位总数不能少于 410.设租大巴 x 辆，根据要求，请你设计出可行的租车方案共有哪几种？大巴中巴座位数（个/辆）4530租金（元/辆）800500河北省唐县齐家佐乡葛公中学 张红建决策类一次函数模型是中考重要模型，它是刻画变量之间关系的有效数学模型，现实生活中的许多问题可以通过建立一次函数模型去研究它，在中考试题中占有重要地位，这类试题往往与方程、不等式（组）结合在一起，需要灵活运用不等式（组）及一次函数的性质，确定自变量的值，进而对问题作出合理决策。 这类应用题重在考查学生阅读能力，应用数学知识分析问题能力，建立数学模型解决实际问题能力，培养学生应用数学的意识。要解好此类问题必须做到：一是建摸。它是解答应用题的最关键的步骤，即在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题，从而根据题意建立一次函数模型。 二是解摸。即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运算，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。现以 06 年的中考题为例对此类问题的解法作一说明，望对同学生们的复习能有所帮助。一、由方程（组）确定决策点1、由题目条件建立方程（组） ，求得决策点这类试题的特点是由题目的条件，分析出两个解析式，由两解析式组成方程组，求得方程组的解，从而建立讨论点。例 1：(06 锦州)小刚家装修，准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏 40 瓦白炽灯的售价为 1.5 元，一盏 8 瓦节能灯的售价为 22.38 元，这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为 0.45 元/度，设照明时间为 x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为 y1(元)和 y2(元)耗电量(度)=功率(千瓦)用电时间(小时)，费用=电费+灯的售价.(1)分别求出 y1、y2 与照明时间 x 之间的函数表达式；(2)你认为选择哪种照明灯合算？(3)若一盏白炽灯的使用寿命为 XX 小时，一盏节能灯的使用寿命为 6000 小时，如果不考虑其他因素，以 6000 小时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？解：(1)根据题意，得，即；，即.(2)由 y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得 x=1450；由 y1y2，得 0.018x+1.50.0036x+22.38，解得 x1450；由 y1y2，得 0.018x+1.50.0036x+22.38，解得 x1450.当照明时间为 1450 小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过 1450 小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于 1450 小时时，选择白炽灯合算.(3)由(2)知当 x1450 小时时，使用节能灯省钱.当 x=XX 时，y1=0.018XX+1.5=37.5(元)；当 x=6000 时，y2=0.00366000+22.38=43.98(元)，337.5-43.98=68.52(元).按 6000 小时计算，使用节能灯省钱，省68.52 元.点拔：解决此问题的关键是分析题意，由题意建立一次函数模型，进一步通过两函数解析式组成的方程组确定分类讨论点，根据一次函数的性质做出决策，第三问需要把所给的自变量的值直接代入一次函数的解析式，通过比较两上费用的大小作出决策。2、借助图像信息，建立方程组确定决策点图象信息问题的重点是观察图象，从中获取信息，并且要常常进行“数”与“形”之间的互换，如函数图象如何转化为函数解析式，图像中的信息如何转化为数据，进而转化为方程与函数，几何图形的线段如何转化为距离，等等，这里涉及函数、方程、几何知识的综合运用，则是本类题的难点，例 2：（XX 梧州非课改）甲、乙两个同学同时从各自的家里返回同一所学校，他们距学校的路程（千米）与行走时间（小时）之间的关系如图所示请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）分别求出甲、乙两同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式（2）在什么时间，甲、乙两同学距学校的路程相等？在什么时间段内，甲同学比乙同学离学校远？在什么时