江苏省南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研(淮安三模)数学试卷

I 1While I 7S 2 I + 1I I + 2End WhilePrint S（第 4 题）连云港市 2015 届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 命题“ ， ”的否定是“ ”xR20x【答案】 ，2 设 ( 为虚数单位， ， )，则 的值为 ii1ababRab【答案】03 设集合 ， ，则 1 0 32A， ， ， 2 1Bx AB【答案】 ，4 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 【答案】115 一种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 【答案】0.026 若函数 的图象与 轴相邻两个交点间的距离为 2，则实数 的值()2sin3fxx(0)x 为 【答案】 27 在平面直角坐标系 中，若曲线 在 ( 为自然对数的底数)处的切线与直线xOylnyxe垂直，则实数 的值为 30axya【答案】 e8 如图，在长方体 中， 3 cm， 2 cm， 1 cm，则三棱锥1ABCDABDA11BAD的体积为 cm 3【答案】19 已知等差数列 的首项为 4，公差为 2，前 项和为 nannSAA1 B不 C不B1不 C1不D1不 D不（第 8 题）B D C（第 12 题）AAB CDMNQ（第 15 题）若 ( )，则 的值为 54kSakNk【答案】710设 ( )是 上的单调增函数，则 的值为 32()(3)fxmxnmR， m【答案】611在平行四边形 中， ，则线段 的长为 ABCDACBD3AC【答案】 312如图，在ABC 中， ， ， ，点 在边324上，BC45，则 的值为 ADtanCAD【答案】 815713设 ， ， 均为大于 1 的实数，且 为 和 的等比中项，则 的最小值为 xyzzxylg4zxy【答案】 9814在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ： xOy1C22()(6)5xy2C22(17)(30)xyr若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次交于点 ， ，满足 ，2CP1ABPAB则半径 r 的取值范围是 【答案】 5，二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）如图，在四面体 中，平面 平面 ， 90 ， ， 分别为棱 ，ABCDACDBNAD， 的中点BD（1）求证： 平面 ；/CMNQ（2）求证：平面 平面 MNQCAD证明：（1）因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ， 2 分/又 平面 ， 平面 ，CDMNQNQ故 平面 6 分/（2）因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ，ADB/MAB又 ，故 8 分90BAN因为平面 平面 ，平面 平面 ， 且 平面 ，CCDNABD所以 平面 11M分又 平面 ， NQ平面 平面 14 分 CAD（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“ 平面 ”，扣 1 分）MN16（本小题满分 14 分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格某班 50 名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取 1 名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的 3 名男生记为 ， ， ，2 名女生记为 ， 现从这 5 人中1a31b2任选 2 人参加学校的某项体育比赛 写出所有等可能的基本事件； 求参赛学生中恰有 1 名女生的概率解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件 ，“测试成绩为良”为事件 ，“测试成绩为中”A1A等级 优 良 中 不及格人数 5 19 23 3为事件 ，事件 ， 是互斥的. 2 分2A12由已知，有 4 分 93()()5050PA，因为当事件 ， 之一发生时，事件 发生，12所以由互斥事件的概率公式，得 6 分 12129321()()50PAPA（2） 有 10 个基本事件： ， ， ， ， ， ，12a， 13()a， 1()b， 12()a， 3()a， 21()b， ， ， 9 分 2()ab， 3()， 3()b， 2， 记“参赛学生中恰好有 1 名女生”为事件 在上述等可能的 10 个基本事件中，B事件 包含了 ， ， ， ， ， B1()a， 2()， 1()ab， 2()， 31()ab， 32()，故所求的概率为 6305P答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为 ；25（2）参赛学生中恰有 1 名女生的概率为 14 分35（注：不指明互斥事件扣 1 分；不记事件扣 1 分，不重复扣分；不答扣 1 分事件 包含的 6B种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分）17（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 中，已知向量 (1，0)， (0，2).设向量 ( ) ，xOyabxa1cosb，其中 .kya1sinb0（1）若 ， ，求 x y 的值；46（2）若 x y，求实数 的最大值，并求取最大值时 的值./k解：（1）（方法 1）当 ， 时， ， ( )， 246123，xy4，分则 6 分xy()234（方法 2）依题意， ， 2 分0ab则 xy22331412abab 6 分43（2）依题意， ， ，12cos，x2sink，y因为 x y，/所以 ，(cs)sink整理得， ， 9 分1io1令 ，()sincf则 o1sin()f2cs. 11 分 os令 ，得 或 ，()0f1c2c又 ，故 .3列表： 故当 时， ，此时实数 取最大值 . 14 分 23min()f34k439（注：第（2）小问中，得到 ， ，及 与 的等式，各 112cos，x2sin，yk分）18（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆xOy的左顶点为 ，右焦点为21 (0 )yxabaAxyOPA F（第 18 题）20 ， 232 3，()f0 极小值 4. 为椭圆上一点，且 .(0)Fc， 0( )Pxy， PAF（1）若 ， ，求 的值；3a5b0x（2）若 ，求椭圆的离心率；0x（3）求证：以 为圆心， 为半径的圆与椭圆的FP右准线 相切.2axc解：（1）因为 ， ，所以 ，即 ， 35b224cab2c由 得， ，即 , 3 分PAF01yx006yx又 ，20195x所以 ，解得 或 (舍去) 52049034x0分（2）当 时, ，0x20yb由 得， ，即 ，故 ， 8 分PAF01ac2bac2ac所以 ，解得 （负值已舍） 1021e5e分（3）依题意，椭圆右焦点到直线 的距离为 ，且 ，2axc2ac201xyb由 得， ,即 , PAF01yx200()yxa由得， ，200()abc解得 或 (舍去). 13 分220acx0x所以 200PFy2000)caxc0xa，22aca所以以 为圆心， 为半径的圆与右准线 相切. 16P2axc分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线 的距离为 ，得 1 分；直接使用焦2axc2ac半径公式扣 1 分）19（本小题满分 16 分）设 ，函数 aR()fxa（1）若 为奇函数，求 的值；()f（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；2 3x， ()0fx a（3）当 时，求函数 零点的个数4ay解：（1）若 为奇函数，则 ，()fx()(fxf令 得， ，即 ，0()0ff0f所以 ，此时 为奇函数 4 分ax（2）因为对任意的 ， 恒成立，所以 2 3， ()0f min()0fx当 时，对任意的 ， 恒成立，所以 ； 6 分0a x， fxa 0a当 时，易得 在 上是单调增函数，在 上2 ()af， ， 2， 2a，是单调减函数，在 上是单调增函数， ，当 时， ，解得 ，所以 ；02amin()(2)0fxfa 43a 43a当 时， ，解得 ，所以 a 不存在；3 iff 当 时， ，解得amin()(2)3min2()3()0xf， =， ，92a所以 ；92a综上得， 或 10 分43 92a（3）设 ，()()Fxf令 ()tfxa则 ， ，yft4a第一步，令 ，()0ftt所以，当 时， ，判别式 ，ta20ta(4)0a解得 ， ；14t22t当 时，由 得，即 ，a ()0ft()ta解得 ； 234at第二步，易得 ，且 ，1230tt24a 若 ，其中 ，xat21t当 时， ，记 ，因为对称轴 ，20x21()pxat2ax，且 ，所以方程 有 2 个不同的实根；1()0pat2114at0tt当 时， ，记 ，因为对称轴 ，x 20x21()qxaax，且 ，所以方程 有 1 个实根，1()0qat214at210xt从而方程 有 3 个不同的实根； 1xt 若 ，其中 ，2at204at由知，方程 有 3 个不同的实根； 2x 若 ， 3xat当 时， ，记 ，因为对称轴 ，230xt23()rxat2ax，且 ，所以方程 有 1 个实根；3()0rat24at230xt当 时， ，记 ，因为对称轴 ，x 230xt23()sxat2ax，且 ，3()0sat24at， 14 分24t3160记 ，则 ，32()416ma()38)0ma故 为 上增函数，且 ， ， )， 416(5)90m所以 有唯一解，不妨记为 ，且 ，()0a0a0，若 ，即 ，方程 有 0 个实根；04323xt若 ，即 ，方程 有 1 个实根；aat若 ，即 ，方程 有 2 个实根， 03230xt所以，当 时，方程 有 1 个实根；04aa当 时，方程 有 2 个实根；3xt当 时，方程 有 3 个实根 0aat综上，当 时，函数 的零点个数为 7；4()yfx当 时，函数 的零点个数为 8；0afa当 时，函数 的零点个数为 9 16 分()yfx（注：第（1）小问中，求得 后不验证 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参0af数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分）20（本小题满分 16 分）设 是公差为 的等差数列， 是公比为 ( )的等比数列记 nadnbq1nncab（1）求证：数列 为等比数列；1nc（2）已知数列 的前 4 项分别为 4，10，19，34 求数列 和 的通项公式；nab 是否存在元素均为正整数的集合 ， ， ( ， )，使得数列A1n2 kn4 kN， ， 为等差数列？证明你的结论1nc2knc解：（1）证明：依题意， 11nnncdabad1b， 3 分()0nq从而 ，又 ，211nncdb211()0cdq所以 是首项为 ，公比为 的等比数列 51n1()q分（2） 法 1：由（1）得，等比数列 的前 3 项为 ， ， ，1ncd6d91d则 ，29d65解得 ，从而 ， 7 分3q且 114 20ab， ，解得 ， ，13所以 ， 10 分na12nb法 2：依题意，得 7 分112131409dqab， ， ，消去 ，得1a213695dqb， ， ，消去 ，得d21136qbbq， ，消去 ，得 ，1从而可解得， ， ， ，1a13d所以 ， 10 分32nnb 假设存在满足题意的集合 ，不妨设 ， ， ， ，且 ，AlmprA()lmprlc，mc， 成等差数列，pcr则 ，2mplc因为 ，所以 ， 0l2mp若 ，则 ，1pm2p结合得， ，11(3)(32)mp 13(2)3m化简得， ， 820m因为 ， ，不难知 ，这与矛盾， N20m所以只能 ，1p同理， ，r所以 ， ， 为数列 的连续三项，从而 ，mcprnc122mmc即 ，1 22mmabab故 ，只能 ，这与 矛盾，2m1q所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合 16 分A（注：第（2）小问中，在正确解答的基础上，写出结论“不存在”，就给 1 分）连云港市 2015 届高三第二次调研测试数学（附加题）A选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分）如图，从圆 外一点 引圆的切线 及割线 ， 为切点OPCPABC求证： BCA证明：因为 PC 为圆 的切线，所以 ， 3 分P又 ，AB故 ， 7 分C所以 ，P即 10 分ABB选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）设 是矩阵 的一个特征向量，求实数 的值323aMa解：设 是矩阵 属于特征值 的一个特征向量，2则 ， 5 分32a3故 解得 10 分6 1， 41.a=，C选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在极坐标系中，设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求线段 中点3210cos40ABAB的极坐标 解：（方法 1）将直线 化为普通方程得， ，3yx将曲线 化为普通方程得， , 4 分20cos402104联立 并消去 得， ，23104yx， y25x解得 ， ，12B ACPO（第 21 - A 题）所以 AB 中点的横坐标为 ，纵坐标为 ， 81254x532分化为极坐标为 10523，分（方法 2）联立直线 与曲线 的方程组 2 分lC2310cos40， ，消去 ，得 ，2540解得 ， ， 6 分12所以线段 中点的极坐标为 ，即 10 分 AB12 3， 5，（注：将线段 中点的极坐标写成 的不扣分）5 ()kZ，D选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）设实数 ， ， 满足 ，求证： abc234abc2287abc证明：由柯西不等式，得 ， 6 分213 23因为 ，234abc故 ， 8 分87当且仅当 ，即 ， ， 时取“ ” 10123c2a47b6c分 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上xOy(84)A， (2)Pt， 02ypx(0)（1）求 ， 的值；pt（2）过点 作 垂直于 轴， 为垂足，直线 与抛物线的另一交点为 ，点 在直线PMxMBC上若 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，且 ，求点 的坐AMPBC1k23123kC标解：（1）将点 代入 ，(84)， 2ypx得 ， 2 分1p将点 代入 ，得 ，(2)Pt， 2t因为 ，所以 4 分0（2）依题意， 的坐标为 ，M(20)，直线 的方程为 ， A43yx联立 并解得 ， 6 分243yx， B12，所以 ，1k， 2代入 得， ， 8 分337