2000年全国初中数学竞赛试题

2000 年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1. 设 的平均数为 M， 的平均数为 N，N ， 的平均数为 P，若 ，则cba, ba, ccbaM 与 P 的大小关系是（ ） 。（A）MP；（B）MP；（C ）MP ；（D ）不确定。2. 某人骑车沿直线旅行，先前进了 千米，休息了一段时间，又原路返回 千米（ab） ，再前进 千米，则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是（ ） 。abc3. 甲是乙现在的年龄时，乙 10 岁；乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，那么（ ） 。（A）甲比乙大 5 岁；（B）甲比乙大 10 岁；（C）乙比甲大 10 岁；（D）乙比甲大 5 岁。4. 一个一次函数图象与直线 平行，与 轴、 轴的交点分别为 A、B，并495xyxy且过点（1，25） ，则在线段 AB 上（包括端点 A、B） ，横、纵坐标都是整数的点有（ ） 。（A）4 个；（B）5 个；（C）6 个；（D）7 个。5. 设 分别是ABC 的三边的长，且 ，则它的内角A、B 的关系cba, cba是（ ） 。（A）B2A；（B）B2A；（C）B2A ；（D）不确定。6. 已知ABC 的三边长分别为 ，面积为 S， 的三边长分别为 ，cba, 1CBA1,cba面积为 ，且 ，则 S 与 的大小关系一定是（ ） 。1S111（A）S ；（ B）S ；（ C）S ；（D ）不确定。二、填空题7. 已知： ，那么 _。33124a321a8. 如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，AB8，BC ，BCD45，26BAD120，则梯形 ABCD 的面积等于_。29. 已知关于 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数有x012)1(axa_个。10. 如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高出地面 4米、6 米的 A、C 处，向两侧地面上的 E、D ；B、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为_米。11. 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（15，6） ，直线恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，那么 _。bxy31 b12. 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4，使得利润率增加了 8 个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_。 （注：）10%进 价 进 价销 售 价利 润 率三、解答题13. 设 是不小于-1 的实数，使得关于 的方程 有两mx 03)2(22 mx个不相等的实数根 ， 。1x2（1）若 ，求 的值。621x（2）求 的最大值。21m菁英教育()314. 如图：已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为E，AE EC，AB AE，且 BD ，求四边形 ABCD 的面积。2315. 一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳 32 人，而且只能在第 2层至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）42000 年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1. 设 的平均数为 M， 的平均数为 N，N ， 的平均数为 P，若 ，则cba, ba, ccbaM 与 P 的大小关系是（ ） 。（A）MP；（B）MP；（C ）MP ；（D ）不确定。答：（B） 。M ，N ，P ，MP， ， ，即 MP0，即 MP。2. 某人骑车沿直线旅行，先前进了 千米，休息了一段时间，又原路返回 千米（ab） ，再前进 千米，则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是（ ） 。abc答：（C） 。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后 S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。3. 甲是乙现在的年龄时，乙 10 岁；乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，那么（ ） 。（A）甲比乙大 5 岁；（B）甲比乙大 10 岁；（C）乙比甲大 10 岁；（D）乙比甲大 5 岁。答：（A） 。由题意知 3（甲乙）2510，甲乙5。4. 一个一次函数图象与直线 平行，与 轴、 轴的交点分别为 A、B，并49xyxy且过点（1，25） ，则在线段 AB 上（包括端点 A、B） ，横、纵坐标都是整数的点有（ ） 。（A）4 个；（B）5 个；（C）6 个；（D）7 个。答：（B） 。在直线 AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是14N， 255N， （N 是整数） 在线段 AB 上这样的点应满足14N0，菁英教育()5且255N0， N5，即 N1，2，3，4，5。5. 设 分别是ABC 的三边的长，且 ，则它的内角A、B 的关系cba, cba是（ ） 。（A）B2A；（B）B2A；（C）B2A ；（D）不确定。答：（B） 。由 得 ，延长CB 至 D，使 BDAB，于是 CD ，在ABC 与DAC 中，C 为公共角，且BC:AC AC:DC，ABCDAC，BACD，BADD，ABC DBAD2D2BAC。6. 已知ABC 的三边长分别为 ，面积为 S， 的三边长分别为 ，cba, 1BA1,cba面积为 ，且 ，则 S 与 的大小关系一定是（ ） 。1S111（A）S ；（ B）S ；（ C）S ；（D ）不确定。答：（D） 。分别构造ABC 与 如下：作ABC ，显然1A1CBA，即 S ；设 ，则 ，S10，1，则 10010，即 S ；设1 1，则 ，S10， ，则， 10，即 S ；因此，S 与 的大小关系不确定。111二、填空题7. 已知： ，那么 _。3324a32a答： ，即6。8. 如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，AB8，BC ，BCD45，26BAD120，则梯形 ABCD 的面积等于_。答：666 （平方单位） 。作 AE、BF 垂直于 DC，垂足分别为 E、F，由 BC6 ，BCD45，得AEBFFC6。由BAD120 ，得DAE 30 ，因为 AE6 得DE2 ，ABEF8，DC2 86142， 。9. 已知关于 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数有x012)1(axa_个。答：5。当 时， ；当 时，易知 是方程的一个整数根，再由且 是整数，知 ， ；由、得符合条件的整数 有 5 个。10. 如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高出地面 4米、6 米的 A、C 处，向两侧地面上的 E、D ；B、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为_米。答：2.4 米。作 PQBD 于 Q，设 BQ 米，QD 米， PQ 米，由菁英教育()7ABPQCD，得 及 ，两式相加得 ，由此得米。即点 P 离地面的高度为 2.4 米。 （注：由上述解法知，AB、CD 之间相距多远，与题目结论无关。 ）11. 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（15，6） ，直线恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，那么 _。bxy31 b答： 。直线 通过点 D（15，5） ，故 BD1。当 时，直线通过 ， 两点，则它恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分。12. 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4，使得利润率增加了 8 个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_。（注： 100）答：17。设原进价为 元，销售价为 元，那么按原进价销售的利润率为100，原进价降低 6.4后，在销售时的利润率为 100，依题意得：1008 100，解得 1.17 ，故这种商品原来的利润率为 10017。三、解答题13. 设 是不小于-1 的实数，使得关于 的方程 有两mx 03)2(22 mx个不相等的实数根 ， 。1x2（1）若 ，求 的值。621x（2）求 的最大值。21m解：因为方程有两个不相等的实数根，所以8， 。根据题设，有。（1）因为，即。由于 ，故 。（2）。设上是递减的，所以当 时， 取最大值 10。故 的最大值为10。14. 如上图：已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为E，AE EC，AB AE，且 BD ，求四边形 ABCD 的面积。23解：由题设得 AB22AE2 AEAC，AB:ACAE:AB，又EABBAC，ABEACB，ABEACB，从而 ABAD。连结 AD，交 BD 于 H，则BHHD 。OH 1，AHOAOH211。菁英教育()9 ，E 是 AC 的中点， ， 。15. 一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这 32 个人恰好是第 2 至第 33 层各住 1 人。对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼， 。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：设电梯停在第 层。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为 。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多 。当 时，若住第层