概率论与数理统计习题及答案

概率论与数理统计习题及答案习题 一4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（ ）.AB【解】 P（ ）=1P（AB）=1 P(A)P(AB)=10.70.3=0.66.设 A，B ，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12 ，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P（AB C ）=P(A)+P(B)+P(C)P( AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)= + + =143249. 略.见教材习题参考答案.13. 一个袋内装有大小相同的 7 个球，其中 4 个是白球，3 个是黑球，从中一次抽取 3 个，计算至少有两个是白球的概率.【解】 设 Ai=恰有 i 个白球（i=2,3） ，显然 A2 与 A3 互斥.2134347 7CC8(),()55PP故 23232(20. 已知 5%的男人和 0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设 A=此人是男人，B=此人是色盲 ，则由贝叶斯公式 ()()() ()PABPAB0.520123. 设 P（ ）=0.3, P(B)=0.4,P(A )=0.5，求 P（BA ）A【解】 )()()(0.7516.433. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为 ， ， ，求将此密码破译出1534的概率.【解】 设 Ai=第 i 人能破译（i=1,2,3） ，则31231231()()()()iPAPA40.6534. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设 A=飞机被击落， Bi=恰有 i 人击中飞机 ，i =0,1,2,3由全概率公式，得 30()(|)iiiPP=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45856. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】 设 A=两件中至少有一件是不合格品，B=另一件也是不合格品 241062C()(|)5PAB-习题二4.（1） 设随机变量 X 的分布律为 PX=k= ，其中 k=0，1，2， 0 为常数，试!a确定常数 a.（2 ） 设随机变量 X 的分布律为 PX=k=a/N， k=1，2，N，试确定常数 a.【解】 （1） 由分布律的性质知故 00()e!kkaAe(2) 由分布律的性质知即 .11()NNkkPX 1a14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：（1 ） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 250012=30000 元.设 1 年中死亡人数为 X，则 Xb(2500,0.002)，则所求概率为(2030)(15)(14)PPX由于 n 很大，p 很小， =np=5，故用泊松近似，有 5140e().069!kk(2) P(保险公司获利不少于 10000)3021)(1)XPX510e.986305!kk即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上P（保险公司获利不少于 20000） (3020)(5)PXPX50e.619!kk即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%21.设 XN（3，2 2） ，（1 ） 求 P2X5，P 4X10，PX2 ，PX3;（2） 确定 c 使 PXc=PXc.【解】 （1） 2353(5)211()()0.843.6950.328(1)XPXP70.962(|2)()(2)PXPX331515220.69.380.697(3)()().XP-(2) c=323.一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布 N（160， 2） ，若要求P120 X2000.8，允许 最大不超过多少？【解】 1206106(120)P 4420.8故 031.5.924.设随机变量 X 分布函数为F（ x）= e,0,(),0.xtAB,（1 ） 求常数 A，B；（2 ） 求 PX2，P X3；（3） 求分布密度 f（x ）.【解】 （1）由 得00lim()1li()xxF1AB（2） 2(2)ePX331()1)eF(3) e,0()xfx44.若随机变量 X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程 y2+Xy+1=0 有实根的概率是多少？ 【解】 1,6()50xfx其 他2 4(4)(2)()(2)5PXPX45.若随机变量 XN（2 ， 2） ，且 P2X4=0.3，则PX0= . 【解】 240.3(4)()0).5故 (8因此 202)()XP1(.习题三4.设随机变量（X，Y ）的分布密度f（x，y）= .,0,0,)43(他yxAyxe求：（1） 常数 A；（2 ） 随机变量（X ，Y）的分布函数；（3） P0X1，0Y2.【解】 （1） 由 -(34)0(,)ded12xyAfxy得 A=12（2） 由定义，有(,)(,)yxFfuv3434012ed(1e)0, xyx 其 他(3) PXY12(34)380,2ed(1e)0.94xy5.设随机变量（X，Y ）的概率密度为f（x，y）= .,0,42,),6(他yxyxk（1 ） 确定常数 k；（2 ） 求 PX1，Y3；（3 ） 求 PX1.5；（4） 求 PX+Y4.【解】 （1） 由性质有 240(,)d(6)d81,fxykxyk故 18R（2） 13,(,)PXYfxy0236d8k(3) 11.5.(,)a(,)x Dfyxfxy如 图40227d).83(4) 24(,(,)dXYDPfyxfxy如 图 b2016).8.设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为f（x ，y）= 4.8(2),01, .xyx其 他求边缘概率密度.【解】 ()(,)dXffx204.82.4(),01,=0,.,yxx其 他()(,)dYfyfxy1 2y4.82.4(3),01,=0, .0, yy 其 他习题四10.设随机变量 X，Y 的概率密度分别为fX（x）= fY（y）=;0,0,2xe.0,0,4ye求（1） E（X+Y）; （2） E（2X3Y 2）.【解】 -200()()deedxxxfA201e.x401()()edy.YEyf2222.8A从而(1) 3()()4XEY(2) 22153(X11.设随机变量 X 的概率密度为f（x）= .0,2xcke求（1） 系数 c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解】(1) 由 得 .220()ded1kxfx2ck(2) 0()ekxA220ed.kx(3) 222201()()de.kxEXxfA故 22214.DEX19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y） =1sin(),0,22.xyxy,其 他求协方差 Cov（X，Y）和相关系数 XY.【解】 /2/01()(,)dsin()d.4ExfyxxyA2201sin.8yA从而 22()(.16DXEX同理 2(),().4YD又 /2/0 dsin()d1,2EXxyxy故 4Cov(,)()()1.4XYYA2224(,)()86.83316XYDY A32.已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（1，3 2）和 N（0 ，4 2） ，且 X 与 Y 的相关系数XY=1/2，设 Z= .23（1 ） 求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z） ；（2 ） 求 X 与 Z 的相关系数 XZ；（3） 问 X 与