(2004-2006)年gct考试真题数学答案解析

（2004 年）第二部分 数学基础能力测试 简答1设 ，则 （ ） nSn 1)(432 2054SA2 B1 C0 D分析：由于 ，1)3()(204 ，5205S所以 12051204 2 在一条长 3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔 40 米原已挖好一个坑，现改为每隔 60 米立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ ） （04）A . 50 和 40 B . 40 和 50 C . 60 和 30 D . 30 和 60 分析：40 和 60 的最小公倍数是 120，在 120 米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是 30 和 603 某校有若干女生住校，若每间房住 4 人，则还剩 20 人未住下，若每间住 8 人，则仅有间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）.A . 4 B . 5 C . 6 D . 7分析：设女生宿舍的房间数为 ，则 ，解得 xx820464 甲、乙两种茶叶以 x : y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤 50 元，乙种每斤 40 元，现甲种茶价格上涨 10 % ，乙种茶价格下降 10 % 后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 等于（ ）. （04）：A . 1 : 1 B . 5 : 4 C . 4 : 5 D . 5 : 6分析：由于 ，所以 yxyx )1.0()1.0(0 4x5 在一条公路上，汽车 A 、B 、C 分别以每小时 80 、70 、50 公里的速度匀速行驶，汽车 A 从甲站开向乙站，同时车 B 、车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站，途中车 A 与车 B 相遇两小时后再与车 C 相遇，那么甲乙两站相距（ ）. （04）A . 2010 公里 B . 2005 公里 C . 1690 公里 D . 1950 公里分析：设甲乙两站相距 公里，则 ，解得 l 5082708ll 1950l6设 均为正数，若 ，则（ ） cba, acbbacA B C D cabc分析：本题利用代入法最为简单，当 时，正分数 的分子依次bacacba,增大、分母依次减小，所以 7实数 在数轴上的位置如下图表示，cba,b aOc图中 O 为原点，则代数式 （ ） cabaA B C Dca232b2a3分析：因为 ，所以b0cacbac 2)()()( 8已知 ，且满足 和 ，则（ ） 1a0328028bA B C D023b 03ba分析：由于 ，且 ，所以64,4022 b1当 时， ，280a 08, 2当 时， ，42 642, 2b从而有 032ba或根据 ，也可以推出有 0)32(892a032ba9 表示 的幅角，今又 ，则 （ ） zarg )1rg(),rg(ii)sin(A B C D54543分析：由于 ，所以5cos,52sin,cos,1sin3ii)si( 10将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格相连的GCT 考试网 概率是（ ） A B C * D56352835分析：将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，共有 种放法，3 个空格相连的放法58C有 6 种，所求概率为 2365811如图，直角 中 为直角，点 E 和 D，F 分别在直角边 AC 和斜边 AB 上，且ABCAF=FE=ED=DC=CB，则 （ ） （04）A B C * D89102ACBEDF分析：ABC EDF2A3A4A4A如图，根据条件可知，三角形 AFE，FED，DCB 都是等腰三角形根据三角形的外角等于不相临的两个内角和及对顶角相等，可知角 EFD 的大小为 2A，角 CED 的大小为 3A，角BDC 的大小为 4A，所以角 A 和角 B 之和为 5A，从而 10A12如图，长方形 ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成，若长方形 ABCD 的面积为 ，则正方形 EFGH 的面积为（ ） （04）SA B C * D8S10S12S4A BCGH分析： 设小正方形的边长是 ，则 GC 的长度是 ，HB 的长度是 ，AD 的长度是aa2a3，所以 ，从而 a222491S S113在圆心为 O，半径为 15 的圆内有一点 P，若 OP=12，则在过 P 点的弦中，长度为整数的有（ ） （04）A14 条 B13 条* C12 条 D11 条分析：OP A如图，过 P 且与直径垂直的弦的长度是 ，这也是过 P 点的弦中长度最1825短的，由于直径是过 P 点的弦中最长的一条，所以过 P 点的弦中长度为整数的有条1370注 按本题的问法，考虑到对称性，结果应为 24 条但选项中没有这个选项14直线 与直线 关于直线 对称，则直线 的方程为（ ） （04）l12yx0yxlAx-2y=1* B.x+2y=1 C.2x+y=1 D.2x-y=1分析：DGCT 考试网 x+y=0+2x-y=1-11/2 1-1/2如图，由于直线 过点 ，这两点关于直线 的对称点分别是12yx)0,21(,0yx，故直线 过点 ，所以其方程为 )1,0(l)( )1(215 中，AB=5，AC=3， ，该三角形 BC 边上的中线长是 的函数 ，ABCxAx)(xfy则当 在 中变化时，函数 取值的范围是（ ） （04）x),()(fA （0，5） B （1，4）* C （3，4） D （2，5）分析 ：A BCf(x)35如图，当 在 内变化时，BC 边上的中线长 f(x)的变化范围是 x),0( )4,1(16如图， 是两个逐段线性的连续函数，设 ，则 的值为gf )(xgfuu（ ） A * B C D434312121 2 3 4 5 6 7 8 xy6f(x)g(x)分析：由于 ， ，所以)()(gfu 41)3(1(,3)1(, fgfg43)1(17.过点 作曲线 的切线，设该曲线与切线及 轴所围成的面积为 ，)sin,pxysiny1S曲线与直线 及 轴所围成的面积为 ，则（ ） x2SA B31lim20Sp 21lim0SpC D *li1li1分析：由于，1cos2sinsi)(cos(in01 ppdxpxpS，所以xd1s21sin2silmcos2sinlmli 00210 pppSp18如下不等式成立的是（ ） A在 区间上，)0,3()3l(lxB在 区间上， *nC在 区间上，),()l(lxGCT 考试网 D在 区间上，),0)3ln(lx分析：令 ，则 ，又)(xf )3(0341)( xxf，所以在 区间上，有 ，即 )(f0,30)(xf lnl19设 为连续函数，且 ，则 （ xsindcos)i(xdf） A B C * D011分析：因为,0sin)(xdf 0cos)in(xdxf 0)()sin()i(00 dufxdf且 ，所以 11)i(0xf20如图，抛物线 把曲线 与 轴所构成的区域面积分2)(xy)(by为 与 两部分，则（ ） ASBA B * C D 与 的大小ASBASASB关系与 的数值有关b分析：解 得 )()12(xb2,01bx由于，320 21)()( bdxxbSA，3220 )()1(bB 所以 AS21设 ，则行列式 （ 0323121321 Maa 232131aa） A B C DM82M8分析：aaaa 8)1()(22 3231323213131331 22设 ，则矩阵 中，第 3 行第 2 列的1,0,0ABCBA 1C元素是（ ） A B C D3121123分析：因为 ，所以矩阵 中，第 3 行第 2 列的元3102101AC1C素是 2023若向量 线性无关，而向量 线性相关，则 （ , ,2,kk） A B C D33分析：因为向量 线性相关，所以存在不全为零的 使得3,2,k 321,k，0)()2()( 31 k即 ，又向量 线性无关，故0)( 3231 kkk ,0,231kGCT 考试网 由非零解，从而 ，即 0263021kk324设矩阵 ，三阶矩阵 ，且满足 ，则（ ） 6xAB0ABA ， 的秩 B ， 的秩8xB18x2C ， 的秩 * D ， 的秩分析：根据题意可知 有非零解，所以 ，故0AX 06480361xxA又由于 ，且 ，所以 的秩 8x2)(rB125下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是（ ） 201A B C D1021201201分析：与对角阵 相似的矩阵对应于特征值 应有两个线性无关的特征向量，20由于秩 等于 2、秩 等于 2、1001 1001秩 等于 1、秩 等于 2，所以矩阵21 21对应于特征值 有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵 相0 201似（2005 年）第二部分 数学基础能力测试答案（25 题，每题 4 分，共 100 分）1. 11112356789004.0的 值 是 （ ） 。A. B. C. D. 81982分析：分子 ，分母 ，所以正91765432 29108765432确选项为 A。2.设 为正数，则p( )xp。A. B. 9(1)（ ） x（ ）C. D. （ ） 9(1)（ ）分析：由于 ， ，20)1(9xx 92)1(9xx， ，根据题意便知正确选)(2x 0)(2项为 C。3.在四边形 ABCD 中对角线 AC，BD 垂直相交于 O 点。若 AC=30，BD=36，则四边形ABCD 的面积为（ ） 。A.1080 B.840 C.720 D.540分析：ABCD如图，易知四边形 ABCD 的面积等于 与 的面积之和，其值为ABDC，即正确选项为 D。540362121DACGCT 考试网 4.某项工程 8 个人用 35 天完成了全工程量的 ，如果再增加 6 个人，那么完成剩余的工程13还需要的天数是（ ） 。A.18 B.35 C.40 D.60分析：设完成剩余的工程还需要的天数是 ，则 ，故 ，即正确xx)68(21540选项为 C。5.已知 ，则510xyz且 2 ( )yzyz。A.50 B.75 C.100 D.105分析：由于 ，所以 ，从而,y5x，故正确选项为75)()()(2122 xzyzzxzyxB。6.2005 年，我国甲省人口是全国人口的 %，其生产总值占国内生产总值的 %；乙省人cd口是全国人口的 %，其生产总值占国内生产总值的 %，则 2005 年甲省人均生产总值与ef乙省人均生产总值之比是（ ） 。A. B. C. D. cdffcfdef分析：设全国人口为 p，国内生产总值为 h，则甲省人均生产总值为 ，乙省人均生产总cpdh值为 ，所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是 ，即正确选项为 D。epfh fe7.复数 2(1)( )ziz的 模 。A.4 B.2 C.2 D. 2分析：因为 ，所以 ，即正确选项为 C。2i 1)(ii8.三个不相同的非 0 实数 成等差数列，又 恰成等比数列，则 等于（ ） 。,abcbca, abA.4 B.2 C.-4 D.-2分析：根据条件可知 ，从而 ， ，由2, 2)( c2)(于 ，所以 ， ，即正确选项为 A。1bcc4ba注：本题根据 ， 及 可直接用排除法得到正确选项 A。0bacbca29.任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4 的概率等于（ ） 。A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4分析：当所取正整数的各位数是 2 或 8 时，其平方数的末位数字就是 4，所有正整数的各位数只有 1，2，3，4，5，6，7，8，9，0等十种可能，所以要求的概率是 ，.01即正确选项为 B。10.一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙） ，它们的开口圆的直径与高的尺寸如右图所示（单位：分米） 。若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。A.6 B.8 C.12 D.16分析：甲容器的容积是 ，乙容器的容积是 ，所以若用甲容器取水注满乙容器，则至1232少要注水 8 次，即正确选项为 B。11.在 中，AB=10 ，AC=8，BC=6。过 C 点以 C 到 AB 的距离为直径作一圆，该圆ABC与 AB 有公共点，且交 AC 于 M，交 BC 于 N，则 MN 等于（ ） 。A. B. C. D. 3457213分析：如图，根据条件可知 是直角三角形，由于是圆的直径，所以圆周角和ACB都是直角，从而和都是正方形的对角线，所以，故正确选项为。541068PMN12.已知 ，则 的值是（ ） 。2,cosaacos6A. B. C. D. 3223GCT 考试网 分析：由于当 时， ，这与 矛盾，所以1a12aa21cos，从而 ，即正确选项为。cos,3)6cos(13.已知 为反比例函数 图像上的一点，过 分别作两坐标轴的平行线，交p2yxp轴于 ，交 轴于 ，则 的面积为（ ） 。OxMNPA. B.1 C. D. 224分析：如图， 的面积为 ，即正确选项为 C。MPN21x14.设一个圆的圆心为 ，该圆与坐标轴交于 A ，B 两点，则p6,m0,4,12到坐标原点的距离是（ ） 。pA.2 B.8 C.10 D.10132分析：由于 AB 是圆的一条弦，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，从而。 到坐标原点的距离是 ，即正确答案为 C。8)24(mp10)8(6215.已知 ，若圆 的圆心在第四象限，则方程tan12cossinxy的图形是（ ） 。22cosi0xyA.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.直线分析：由于圆 的圆心在第四象限，所以22cssin1xy，从而 的图形是一个椭圆，即正确选项0sin,coo0为 B。16.设函数 的定义域是 ，则函数fx0,1的定义域是（ ） 。1sincosgxfxA. B. C. D. .50.1分析：考虑 得 解得 。即正确选项为 D。1cos0,in1,x,0cosin,1x5.x17.函数 在 上有（ ） 。2f,A. 1 条垂直渐进线，1 条水平渐进线B. 1 条垂直渐进线，2 条水平渐进线C. 2 条垂直渐进线，1 条水平渐进线D. 2 条垂直渐进线，2 条水平渐进线分析：因为 ，所以曲线1)(lim,1)(li,)(lim,)(li2 xfxfxfxf在 上有 2 条垂直渐进线，2 条水平渐进线。即正确选项为 D。)(fy,18.设 在点 处可导，且 则 =（ ） 。x01,23,fn 0fA.0 B.1 C.2 D.3分析：因为 在点 处可导，所以其在点 处连续，从而fx0x， 。即正确选项为 C。02lim)1(li)0(nffn 21)(lim)(nfff19.若 的二阶导数连续，且 ，则对任意常数 必有fxlixfa=（ ） 。lixafA. B.1 C.0 D. af分析：根据微分中值定理可知，存在介于 和 ax之间的 使得。由于 ，所以fxfaf )()( lim1xfGCT 考试网 。即正确选项为 A。afxfafx )(lim)(lim20.设 是 的一个原函数，则不定积分 =（ ） 。2n()xfdA. B. 331l9xC2lnxCC. D.322nx分析：由于 ，所以xdxfxxf ln)(,ln2l)( 2。即正确选项为 C。Cdfdxf)(21.设连续函数 在 内严格单调递增，且 ， ，若y0,a0ffa是 的反函数，则 =( )。gffxgdxA. B. 22a2C. D. 0fxd0a分析：aaAB)(xfy如图，根据定积分的几何意义可知： ，所以BdxgyAdxf aaa 000)()(,)(。即正确选项为 B。)( 20BAdxgfa22.设向量 ， ， ， ，则向量组1213041的一个极大线形无关组是（ ） 。1234,A. B. 1234,C. D. 123,124,分析：因为 ，所以 10121010向量组 的一个极大线形无关组是 。即正确选项为 D。1234,24,23.设 A= ，则 A 的对应于特征值 2 的一个特征向量是（ ） 。0A. B. C. D. 1001分析：因为 ， ，102341023 01240123， ，所以 A 的对应于102 特征值 2 的一个特征向量是 。即正确选项为 D。1024.已知 为 维单位列向量， 为 的转置， 为单位矩阵，若 = ，则XnTXnEGTX等于（ ） 。2GA. B. C.1 D. n分析： ，即正确选项为 A。GXXTTT)(225.设 是方程 的三个根，则行列式 的值等于（ ） 。,abc340xabcGCT 考试网 A.1 B.0 C.-1 D.-2分析：根据题意可知，abcxcabxcaxcbxax )()()()(42 233所以 ，从而4,0cba ,0)4(12)2()(333cbaabcc即正确选项为 B。（2006 年）第二部分 数学基础能力测试1. （ ）64173216584321A . B .650808C . D.41答：C分析：（本题是算术题，考查数的简单运算） 64308218721 )2121()7543( 647168216 543 2.100 个学生中，88 人有手机，76 人有电脑，其中有手机没电脑的共 15 人，则这 100 个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。A .25 B.15 C.5 D.3答：D分析：（本题可以认为是算术题、也可以认为是概率题）作为算术题，解法如下：根基题意，24 个没有电脑的人中 15 个人有手机，因此既没手机又没有电脑的人只有 9 人，从而在 12 个没有手机的人中只有 3 人有电脑。作为概率题，解法如下：设事件 A 表示从 100 个学生中任意叫出一人，此人有手机；事件B 表示从 100 个学生中任意叫出一人，此人有电脑。则 03.15.08.241 )()()()(ABPBP即这 100 个学生中有电脑但没有手机的共有 3 人。3.如右图所示，小半圆的直径 EF 落在大半圆的直径 MN 上，大半圆的弦 AB 与 MN 平行且与小半圆相切，弦 AB10 厘米，则图中阴影部分的面积为（ ）平方厘米。GCT 考试网 MNNA BA.10 B.12.5 C.20 D.25答：B分析：（本题是平面几何题。考查了圆的面积公式和圆的弦的有关性质）记大圆半径为 、小圆半径为 ，则根据题意可知 ，所以图中阴影部分Rr 252rR的面积为 。5.12214.方程 ，所有实数根的和等于（ ） 。0762xA.2006 B.4 C.0 D. 06答：C分析：（本题是代数题。考查绝对值概念和一元二次方程的求根公式）当 时， ；0x2746当 时， 。20)(0所以方程 的所有实数根的和等于 。2762x5.已知长方形的长为 8，宽为 4，将长方形沿一条对角线折起压平如右图所示，则阴影三角形的面积等于（ ） 。48ABCOA. 8 B. 10 C.12 D. 14答：BD分析：（本题是平面几何题。考查全等三角形、勾股定理和直角三角形的面积）如图，易知 与 全等，从而 ，解得ABOCD222)8()(4ODAO，所以阴影三角形的面积等于 。3D103816.复数 的共轭复数 是（）.iz1zA. B. C. 1 D. i答：A分析：（本题是代数题。考查复数的基本概念）由于 ，所以 。iz1iz7.一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失） ，则容器中水面的高度为（） 。20cm10cmA. B. cm C. cm D. cmcm315316317318答：D分析：（本题是规范空间几何体的题目。考查圆柱和球的体积公式）将球取出后，假设水面下降了 cm，则h，325410解得 ，所以容器中水面的高度为 。35h 88.P(a,b) 是第一象限内的矩形 ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C ，D 的坐标如右图所示，则 的最大值与最小值依次是（） 。abGCT 考试网 yA（ ） D( )pm,pn,P(a,b)B(m,q) C(n,q)x0A. B. C. D. nqmp,np,nqm,np,答：A分析：（本题是平面解析几何题。考查直线的斜率）由于过点 和原点的直线方程为 ，即 是该直线的斜率。由图可知满足题意),(baPxaby最大斜率值是 、最小斜率值是 。mpnq9.一个容积为 10 升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出 a 升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出 a 升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为 49%，则每次的倒出量 a 为（）升。A. 2.55 B. 3 C. 2.45 D.4答：B分析：（本题是算术题。考查比与百分数）根据题意， ，即 ，解得 。49.010a49)1(2a3a10.如右图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB 垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于 ，那么光线与地平面所成的角度是（） 。3ABA. 15 B. 30 C.45 D.60答：B分析：（本题是平面几何题。考查了椭圆面积公式和特殊角的三角函数值）设半圆的半径为 ，则半椭圆的一条半轴为 ，记其另一半轴为 。根据题意可知RRb，321b如图可知 度。Rb3011.某型号的变速自行车主动轴有 3 个同轴的齿轮，齿数分别为 48、36 和 24，后轴上有 4个同轴的齿轮，齿数分别是 36、24、16 和 12，则这种自行车共可获得（）种不同的变速比。A. 8 B. 9 C. 10 D. 12答：A分析：本题是算术题。考查两个数的比的大小）由于 ，所以这种自行车共可获得 种不同16243,6,124,3614 8412的变速比。12.在平面 上给定线段 AB=2，在 上的动点 C，使得 A，B，C 恰为一个三角形的 3 个顶点，且线段 AC 与 BC 的长是两个不等的正整数，则动点 C 所有可能的位置必定在某（）上。A 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线答：C分析：（本题是平面几何与平面解析几何的简单综合题。考查了三条线段构成三角形的条件和双曲线的定义）不妨假设 比 长，由于 AC 与 BC 的长是两个不等的正整数，所以 ，B 1BCA又 ，从而 。即动点 C 所有可能的位置必定在某双曲线上。2A1BC13.桌上有中文书 6 本，英文书 6 本，俄文书 3 本，从中任取 3 本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各 1 本的概率是（） 。A. B. C. D. 9408450854答：C分析：（本题是概率题。考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式）所求概率为 。4510823156361Cp14.设 n 为正整数，在 1 与 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个数成等比数列，则所插入的n 个正数之积等于（） 。GCT 考试网 A. B. C. D. 2)1(nn)1(n2)1(n3)1(答：A分析：（本题是代数题。考查了乘方运算的性质、等比数列的概念和通项公式）设此等比数列的公比为 ，则 ，即 ，所以q1n1nq。2)1(232n15.设二次函数 的对称轴为 ，其图像过点（2，0） ，则cbxaxf)( x（） 。)1(fA. 3 B. 2 C. -2 D. -3答：D分析：（本题是代数题。考查了一元二次函数图像的对称轴和数的简单运算）根据题意 ，所以 ，从而04,1cba2,abc。31)1(f16.设 ，且导数存在，则 （ ） 。0)(xf )(lnimafA. 0 B. C. D. )(lnaf )(f答：D分析：（本题是一元函数微分学题目。考查倒数概念与复合函数的求到公式）根据导数定义，极限 是复合函数nafafafnn 1)(l)(l)(1lii 在 点的导数，所以其值为 。)(lnxfya)(f17.曲线 y= 在（0，2）区间内有（） 。1),2(0xxA. 2 个极值点，3 个拐点 B. 2 个极值点，2 个拐点C. 2 个极值点，1 个拐点 D. 3 个极值点，3 个拐点答：A分析：（本题是一元函数微分学题目。考查了函数极值点和拐点的求法）根据 21),(2)1(3,0xxy易知 分别是函数的极大值点和极小值点。35,1x由于 21,)(6,0xxy且 在 不存在，易判断经过 三点时二阶导数都变号，所以这三点都是函数的y1x34,2拐点。18.设正圆锥母线长为 5，高为 h，底面圆半径为 r，在正圆锥的体积最大时， （ ） 。hrA. B. 1 C. D. 21 23答：C分析：（本题是一元函数微分学与几何的简单综合题。考查了勾股定理、圆锥体积公式和比区间上函数的最值问题）圆锥体积为 ，所以由 得)5(3122hhrV0)35(12hdhV（易知这时体积最大） ，从而 ，故 。325h 302r19.设 ，则在0，a上方程 根的个数为（）0a 414202tadtaxxA. 0 B. 1 C. 2 D. 3答：B分析：（本题是一元微积分题。主要考查变限定积分的性质和连续函数的零点存在定理）记 ，则dtadtaxf x202414)(，04)(,0)( 0202 aa dtftf所以 至少有一个根。)(xf又因为 ，所以 只有一个根。04122 xaxf 0)(xfGCT 考试网 20.如右图，曲线 表示某工厂十年