2011年gct+工程硕士考试数学部分必考公式和题型

2011 年 GCT 工程硕士考试数学部分必考公式和题型注意文中所写的类似题目，是在考试中会考到的题型，有可能仅仅是数字有所变化，大家务必掌握方法！1 比和比例：比例、 ，正比例关系、 ，反比例关系等 dcbakbakab2顺流而下与逆流而上问题类似必考题目：两个码头相距 352 千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要 11 小时，逆流而上行完全程需要 16 小时求此客轮的航速与这条河的水流速度解答：因为 ，所以163521352水水 ， vv解得 ,2水水 5,7水3 比和比例应用题类似必考题目：一件工程，甲独做 30 天可以完成，乙独做 20 天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了 22 天问甲、乙两人各做了多少天？解答：设甲、乙两人分别做了 天和 天根据题意得xy解得 ,1203yx16,3、平均值问题相似必考题目从生产的一批灯泡中任意抽取 个，测的寿命（小时）分别为 ，若用它们来估计这批5 95,107,13灯泡的平均寿命应为(105)解答： 。10591074 单位量与总量问题、类似必考题目：某校有若干女生住校，若每间房住 4 人，则还剩 20 人未住下，若每间住 8 人，则仅有间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ 6）解答：设女生宿舍的房间数为 ，则 ，解得 xx820)1(865 乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简） xyxxyxyxyx abaa )(,)(,6 绝对值 ,0,7几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）； ；22)(baba 323)( baab； ；33 )(22； )(23baba )(23baba8集合运算（交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律） BACBACCI ),()()( ),(,9 函数的简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） )(,)(,;)(,)(,)(, xfxfxfxfxf aTgbaTbag 幂函数、指数函数、对数函数（性质、常用公式） xyxyxyaxa ln,lg,lo, axbalogl,l,ln,lnl 10 一元二次方程（1）求根公式（判别式） ；（2）根与系数的关系， ；02cbxaacb4 acxxacbx 21212,411二次函数的图像（开口、对称轴、顶点坐标） 、axcxy4)2(2212 不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式）性质： ;0,;0, kbakbkba cdacdc,基本不等式： ，)(2113 数列 ， ,nankaaS12114 数列性质 )(2,2,1(,)(, 1211 nnnkn aaa dSdd 15 等比数列性质 2111 ,0, nknnnnn qaSqaa 16 排列公式 )()2(mPm内部资料 禁止穿阅 违者必究3注 阶乘（全排列） !mP17 组合与组合数（1）定义；（2）公式； mnnPC,（3）基本性质： nknmnC2, 011（4）二项式定理： nkkbaba0)(18 概率问题， ，1)(0AP)()()()( BAPBAP（1）等可能事件（古典概型） nm（2）互不相容事件 ；对立事件 )()( 1)(（3）相互独立事件 BPAP（4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为 ，那么在 此独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率为 pnkknknpC)1()(19 必考下列类似题目（1）如果 整除 123axx，则实数 （2 或 ）)(a1解答： 能够整除 说明 是 123axx的一个因子，因此当 时，)( 1x123axx的值应为 ，即0，1解得 或 （2）已知 ，函数 的图像关于原点对称的充分必要条件是（ 0db）0adcxbaxf23)(解答：函数 的图像关于原点对称的充分必要条件是函数 为奇函数，故其偶次项的系数为xf23)( )(xf，即 db0也可利用 求得 0db，再说明当 时， 的图像关于原点对称.)1(,0)ff 0db)(fy20 代数方程和简单的超越方程4（1）设 ，若 是方程 的两个根，求 ， 0c21,x0cbx 2112,xx 32分析：根据韦达定理可知 ，所以21,cbxx2)(1121；cbx4212cxx21212 )(2123x21 不等式的运用 已知集合 ，集合 ，若 ，求 得取值范围3xA0)1(axBABa分析： 224)1(2,1aa当 时， ；当 时， xB11ax所以当 时，不会有 ；当 时，若 ，则 aAaAB522 数列的运用设 是一等差数列，且 ，求 和 n 641032712S分析：由于 ，所以76a1a；a3220319)(67112 aaS23 排列必考题100 件产品中，只有 3 件次品，从中任取 3 件，（1）恰有一件次品的取法有多少种？ 2971C（2）至少有一件次品的取法有多少种？ 0（3）至多有两件次品的取法有多少种？ 3124 甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是 和 6.50（1）两人都投中的概率是多少？ 5.06（2）恰有一人投中的概率是多少？ 4（3）至少有一人投中的概率是多少？ .125 函数运算内部资料 禁止穿阅 违者必究5（1）设函数 ， ，则 （ ）1)(xf,0x)(1xf解答： ， xfxf 11)()( 1,0（2）设 ，则函数 的最大值为（ ）302)y解答：-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3x-2-11y如图：最大值只可能在端点取到26 幂、指、对函数比较 与 谁大？6.044.解答：考虑函数 则 ；,6.0)(,)(6.xgxf6.0.4)4.0().(ff4.0.).0(g27 函数 是（奇函数）)1ln(2xxf解答： )(1ln(1ln) 222 xfxx28、不等式设 均为正数，若 ，则 .cba, acbbacb解答：选项验证法。当 时，正分数 的分子依次增大、分母依次减小，所以ac,cba29 几何（1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积） cbapcbpaCabhs 2,)()(sin2（2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）6（3）四边形a 矩形（正方形） ；b 平行四边形（菱形） ；c 梯形 hbas)(21(4)圆和扇形a 圆(周长、面积、弦、圆周角、圆心角) 2Rslb 扇形 Rls21(5)空间几何体a长方体（正方体）b圆柱体 hVhs2侧c圆锥体 RR231侧d球 3244s30 三角函数定义 sin1c,os1ec,sinoct,osintai xy同角恒等式： 2222cst1ai两角和公式： 1cos2sin1sico2sini i)( scoisi22 诱导公式： in)(,)(,)in( 31 平面直线（1）平面直线方程（倾角、斜率，点斜式、斜截式、截距式、一般式） 0;1;,00 cbyaxybkxyxkykxy（2）两条直线的位置关系（相交，平行，垂直）； ；:cbal:11cal平行但不重合： ；重合： ；垂直：1b1ba点到直线的距离内部资料 禁止穿阅 违者必究7， ， 0cbyax),(0yx20bacyxd32 圆锥曲线（1）圆 2020)()(R（2）椭圆方程； )0,(,12cbacbyax（3）椭圆图像；（4）离心率； e（5）椭圆准线 cx233双曲线（1）方程； )0,(,122cbacbyax（2）图像；（3）离心率； 1e（4）渐近线； （5）准线 xayca2(6)抛物线方程；， 图像；（4）离心率 ；（5）准线p2,2,)0(p1e必考题目类型 1：设 ， ，求0, ba xbaxfcossin)(（1） 的最大值；)(xf（2） 时的 值0分析：由于 ,)sin(cossicosi)(2 22 xba xbaxxf所以 的最大值为 ；)(f 2当 时，有 ，即 0xkx)(1kx8必考题目类型 2：双曲线 的右准线与两条渐近线交于 两点，若以 为直径的圆经过右焦)0,(12babyax BA,点 ，求该双曲线的离心率F分析：双曲线 的右准线为 ，两条渐近线方程为 ，所以线段 的长度为)0,(12babyax cax2xabyAB根据题意可知cb2，2即 ，所以 ，从而 ，因此cbacab22aabc22e必考题目类型 3：写出抛物线 的焦点坐标和准线方程xy22分析：将 化为标准形式为xy2，)1()(y所以焦点坐标为 ,准线方程为 01x必考类似题