2012gct_数学基础复习资料(初数)

2012 年 GCT 数学复习资料（初数部分）主讲：姜进进一般复习过程：了解考试要求、复习考试内容、熟悉试题类型、掌握应试技巧。第一部分 算术内容综述1数的概念：整数、分数、小数、百分数等等2数的运算（1）整数的四则运算；（2）小数的四则运算；（3）分数的四则运算*3数的整除 ：整除（ ） 、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数*、合数、质因数、公倍数、最小公倍数（mlkn） 、公约数、最大公约数、互质数、最简分数11mn4比和比例：比例、 ，正比例关系、 ，反比例关系等 dcbakbakab典型例题一、算术平均数（平均值）问题例：某书店二月份出售图书 3654 册，比一月份多出售 216 册，比三月份少出售 714 册，第二季度的出售量是第一季度出售量的倍，求书店上半年平均每月出售图书多少册？5.1分析： .4756)12354( 6)714365(4)2134()3(6)6( （又如前 10 个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题）二、植树问题*（1）全兴大街全长 1380 米，计划在大街两旁每隔 12 米栽一棵梧桐树，两端都栽求共栽梧桐多少棵？分析： 23)180(2（2）将一边长为 2 米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过 30 厘米，且四角必须固定，求需要的最少钉子数分析：根据要求，每边至少需要 7 个空，所以至少需要 个钉子2874三、运动问题1相遇与追及问题 （ ， ， ）vts121,vv21s例：某部队以每分钟 100 米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以 3 倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队尾已知通信员从出发到返回队尾，共用了 9 分钟，求行军部队队列的长度？分析：设队伍长度为 ，则l2，91030ll解得 22顺流而下与逆流而上问题例：两个码头相距 352 千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要 11 小时，逆流而上行完全程需要 16 小时求此客轮的航速与这条河的水流速度分析：因为 ，所以163521352水水 ， vv,2水水v解得 57水3列车过桥与通过隧道问题例：一列火车全长 270 米，每秒行驶 18 米，全车通过一条隧道需要 50 秒求这条隧道的长分析：设隧道长为 ，则 ，所以 l501827l630l四、分数与百分数应用问题*例：某工厂二月份产值比一月份的增加 ，三月份比二月份的减少 ，那么 01A三月份与一月份产值相等 B一月份比三月份产值多 *9C一月份比三月份产值少 D一月份比三月份产值多 9110分析：设一月份的产值为 ，则三月份的产值为 ，所以一月份比三月份产值多aa.9.0a五、简单方程应用问题1比和比例应用题例 1有东西两个粮库，如果从东库取出 放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的 已知东库原来存粮 5000 吨，求西5121库原来的存粮数分析：设西库原来的存粮数为 ，则x，)0(250所以 7x例 2.一件工程，甲独做 30 天可以完成，乙独做 20 天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了 22 天问甲、乙两人各做了多少天？分析：设甲、乙两人分别做了 天和 天根据题意得xy,1203yx解得 62.求单位量与求总量的问题3例：搬运一堆渣土，原计划用 8 辆相同型号的卡车 15 天可以完成，实际搬运 6 天后，有两辆卡车被调走求余下的渣土还需要几天才能运完？分析：设要运完余下的渣土还需要 天，则x，)2(6815所以 x3和倍、差倍与和差问题例：把 324 分为 A,B,C,D 四个数，如果 A 数加上 2，B 数减去 2，C 数乘以 2，D 数除以 2 之后得到的四个数相等，求这四个数各是多少？分析：根据题意得,21234DCBA解得 4,6,7,0样题与真题一、数的运算1设直线方程 ，且 的截距是 的截距的 倍，则 与 谁大？(C)0,abxyxy)2(a1(A) (B) (C) 一样大 (D) 无法确定a21分析：因为 ，所以 。b2方程 的根的个数为(A)011xx(A) (B) (C) (D)023分析：因为 ，所以 的根的个数为 0。2xx 01212xx3设 均为大于零的实数，且 ，则 与 谁大？(A)mba, abmba(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定分析：因为 ，所以 比 大。0)(注：特殊值代入法。4某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘 加上右手中石子数乘 之和为 ，则左手中石子数为奇数，还是偶3429数？(A)(A)奇数 (B)偶数 (C)无法确定 (D)无石子分析：因为 ，所以 为奇数。2943yxx5 （2003）已知 ，则 204,3,01cbaA B cba4C D *bacabc注：考虑 。xxf1)(6 （2003） 1)(iiA B * C D 0123注： 。6127设 ，则 （B ） nSn)(43 2054SA2 B 1 C0 D 1分析：由于 ， ，1)3()(2204 2054205S所以 55S8 （2005）1111234678900.50的 值 是 （ ） 。A. B. C. D. 81982分析：分子 ，分母 ，所以正确选项为 A91765432 291087654329 （2006） （ C ）658A . B . C . D.1630832043083分析： 64308218721 )2121()7543( 671626 543 10 （2006）某型号的变速自行车主动轴有 3 个同轴的齿轮，齿数分别为 48、36 和 24，后轴上有 4 个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16 和 12，则这种自行车共可获得（A）种不同的变速比。A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 分析：（本题是算术题。考查两个数的比的大小）5由于 ，所以这种自行车共可获得 种不同的变速比。16243,6,1248,3614 8412二、平均值问题1从生产的一批灯泡中任意抽取 个，测的寿命（小时）分别为 ，若用它们来估计这批灯泡的平均5 95,07,3寿命应为(C)(A) (B) (C) (D)0310410106分析： 。5972张某以 元/股的价格买进股票 手，又以 元/股买进 手，又以 元/股买进 手，他要不赔钱，至少要. 28.9347.50卖到什么价钱（元/股）？（ 手 股）(D)(A) (B) (C) (D)013.10 810分析： 。7.10547.892. 3 （2003）记不超过 10 的素数的算术平均数为 ，则与 最接近的整数是 MA B C * D 分析： 。425.47三、植树问题1 （2003）1000 米大道两侧从起点开始每隔 10 米各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要 A树 200 课，花 200 盆 B树 202 课，花 200 盆*C树 202 课，花 202 盆 D树 200 课，花 202 盆分析：共需树 ，共需花 20)1(22012 （2004）在一条长 3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔 40 米原已挖好一个坑，现改为每隔 60 米立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ D ） A . 50 和 40 B . 40 和 50 C . 60 和 30 D . 30 和 60 分析：40 和 60 的最小公倍数是 120，在 120 米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是30 和 60四、运动问题（2004）在一条公路上，汽车 A 、B 、C 分别以每小时 80 、70 、50 公里的速度匀速行驶，汽车 A 从甲站开向乙站，同时车 B 、车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站，途中车 A 与车 B 相遇两小时后再与车 C 相遇，那么甲乙两站相距（ D ）. A . 2010 公里 B . 2005 公里 C . 1690 公里 D . 1950 公里分析：设甲乙两站相距 公里，则 ，解得 l 5082708ll 1950l五、简单方程应用问题1单位量与总量问题、（1） （2004）某校有若干女生住校，若每间房住 4 人，则还剩 20 人未住下，若每间住 8 人，则仅有间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ C ）A . 4 B . 5 C . 6 D . 7分析：设女生宿舍的房间数为 ，则 ，解得 xx820)1(86注：选项验证法。（2） （2005）某项工程 8 个人用 35 天完成了全工程量的 ，如果再增加 6 个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ 36） A.18 B.35 C.40 D.60 分析：设完成剩余的工程还需要的天数是 ，则 ，故 ，即正确选项为 Cxx)68(2135402和倍、差倍、和差问题小明今年一家四口人，全家年龄之和为 岁，父亲比母亲大一岁，姐姐比小明大两岁，四年前全家年龄之和为 岁，则父亲69 54今年多少岁？(D)(A) (B) (C) (D)823031六、分数（比） 、百分数应用问题1 （2003）某工厂产值三月份比二月的增加 ，四月份比三月的减少 ，那么 10A四月份与二月份产值相等 B四月份比二月份产值增加 9C四月份比二月份产值减少 D四月份比二月份产值减少 *910分析：设二月份的产值为 ，则四月份的产值为 ，所以四月份比二月份产值少aa9.0109.a2 （2004）甲、乙两种茶叶以 x : y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤 50 元，乙种每斤 40 元，现甲种茶价格上涨 10 % ，乙种茶价格下降 10 % 后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 等于（ C ）. yx：A . 1 : 1 B . 5 : 4 C . 4 : 5 D . 5 : 6分析：由于 ，所以 xyx )10()10(0 543 （2005）2005 年，我国甲省人口是全国人口的 %，其生产总值占国内生产总值的 %；乙省人口是全国人口的 %，其生产cde总值占国内生产总值的 %，则 2005 年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ） fA. B. C. D. cdeffcdef分析：设全国人口为 p，国内生产总值为 h，则甲省人均生产总值为 ，乙省人均生产总值为 ，所以甲省人均生产总值与cpdhepfh乙省人均生产总值之比是 ，即正确选项为 D。cfde4 （2006）一个容积为 10 升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出 升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出 升溶液a a后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为 49%，则每次的倒出量 为（B）升。aA. 2.55 B. 3 C. 2.45 D.4分析：根据题意， ，即 ，解得 。49.010a49)1(2a3七、其他问题1一顾客去甲商店买价格为 元的鞋子，给了甲店主一张 元钞票，因甲没有零钱，所以到乙商店换钱，然后将鞋子和4850元钱一起给了该顾客，顾客走后，乙店主发现那张 元钞票为假币，索要甲店主一张 元真币问甲店主赔了多少钱？(A)2 50(A) 元 (B) 元 (C) 元 (D) 元5019872相同表面积的立方体和球，谁的体积大？(B)(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定3 （2003） 五支篮球队相互进行循环赛，现已知 队已赛过 4 场， 队已赛过 3 场， 队已赛过 2 场， 队EDCBA, ABCD已赛过 1 场，则此时 队已赛过 A1 场 B2 场* C3 场 D4 场A B C D EA T T T TB T T TCDE注：排除法，利用奇、偶数性质。4 （2006）100 个学生中，88 人有手机，76 人有电脑，其中有手机没电脑的共 15 人，则这 100 个学生中有电脑但没有手机的共有（D）人。A .25 B.15 C.5 D.3分析：根据题意，既有电脑又有手机的人数为 ，所以有电脑但没有手机的人数是 。73158 376解法 2：根据题意，24 个没有电脑的人中 15 个人有手机，因此既没手机又没有电脑的人只有 9 人，从而在 12 个没有手机的人中只有 3 人有电脑。第二部分 代数内容综述一、数和代数式1实数的运算（1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简） xyxxyxyxyx abaa )(,)(,（2）绝对值 ,0,2复数的运算及其几何意义 （虚数单位、实部、虚部、共轭复数、模、幅角）， ， ，ibaz2bazatn),(1i8；)()(, 212121211 biazibazibaz ， ；，111sinco222sinco；)si()(2121212 z )sin()cos(212121 z03几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）； ；22)(baba 323)( baab； ；33 )(2； )(2 23二、集合与函数（微积分）1集合运算（交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律） BACBACCI ),()()( ),(,2函数（1）概念（定义、两要素、图形、反函数），),(),(Dxfyx)(1xfy（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） )(,)(,;)(,)(,)(, xfxffff aTgbaTbaxxg （3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式） xyyyaxa ln,lg,lo, axxbalogl,l,ln,lnl 三、代数方程：1二元一次方程组解的存在性2一元二次方程（1）求根公式（判别式） ；（2）根与系数的关系， ；02cbxaacb4 acxbxacbx 21212,43二次函数的图像（开口、对称轴、顶点坐标） 、9abcxacbaxy4)2(22 四、不等式1不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式）性质： ;0,;0, kbkbkaba cdcdc,基本不等式： ，)(21a2几种常见不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等， ；0cbxaa axffxf )(,)(0)(五、数列1数列的概念（数列、通项、前 项的和、各项的和、数列与数集的区别）n， ,2nnkaaS1212等差数列（1）概念（定义、通项、前 项的和） ；（2）简单性质：中项公式、平均值 )(21,2 ,1(,)(,211 nnnkn aaa dSdd 3等比数列（1）概念（定义、通项、前 项的和） ；（2）简单性质：中项公式 2111 ,0, nknnnnn aqaSqaa 六、排列、组合、二项式定理1分类求和原理与分步求积原理2排列与排列数（1）定义；（2）公式 )1()2(1mnnPm注 阶乘（全排列） !3组合与组合数（1）定义；（2）公式； mnmnPC,（3）基本性质： nknnC2, 011104二项式定理： nkkbaCba0)(七、古典概率问题1基本概念：必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件2概率的概念与性质（1）定义（非负性、规范性、可加性） ；（2）性质： ， ，1)(0AP0)()()()( BAPBAP3几种特殊事件发生的概率（1）等可能事件（古典概型） nm)(（2）互不相容事件 ；对立事件 )(B1)(（3）相互独立事件 )(PAP（4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为 ，那么在 此独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率为 pnkknknpC)1()(典型例题一、数和代数式1若 且 2iz，则 iz2的最小值是 B (A) (B) (C) (D)2345分析： 表示复数 对应的点在以点 为圆心、半径是 的圆周上，1)2(2iziz z)2,(1最小，是指复数 对应的点到点 的距离最短，此最短距离为 i ), 32如果 整除 123axx，则实数 D )1( a(A)0 (B)-1 (C)2 (D) 2 或 1分析： 能够整除 说明 是 123axx的一个因子，因此当 时，)()( 1x11123axx的值应为 ，即0，1解得 或 二、集合和函数1已知 ，函数 的图像关于原点对称的充分必要条件是 D 0adcxbaxf23)(A) (B) (C) (D) 0bbc0分析：函数 的图像关于原点对称的充分必要条件是函数 为奇函数，故其偶次项的系数为xf)( )(xf，即 0d0注：也可利用 求得 0db，再说明当 时， 的图像关于原点对称.)1(,)ff 0db)(fy2设 0,ba，且 ，那么 )(31lna B a72(A) (B) lb)ln(1(C) (D)3ba)n(31a分析：由于 ，所以选项(A)(C)不正确0,根据 及 可知92ln21)(3ln21)(3ln abbaba ab72)(1l)l(三、代数方程和简单的超越方程1设 ，若 是方程 的两个根，求 ， 0c21,x0cbx 2112,xx 32分析：根据韦达定理可知 ，所以21,cbxx2)(1121；cbx4212cxx21212 )(2123x122指数方程组 63214yx的解 A (A)只有一组 (B)只有两组(C)有无穷多组 (D)不存在分析：在方程组 中每个方程的两端取对数，得63214yx,lnlx由于 与 的系数不成比例，所以此方程组只有一组解y四、不等式已知集合 ，集合 ，若 ，求 得取值范围32xA0)1(2axxBABa分析： 4)1(,1aa当 时， ；当 时， xB11ax所以当 时，不会有 ；当 时，若 ，则 aAaAB5五、数列1设 是一等差数列，且 ，求 和 n 641032712S分析：由于 ，所以76a103a；a2219)(67112 aaS2设 是一等比数列，且 ，求 和 na48,530,62a分析：设数列 的公比为 ，则 ，所以q2a；3412qa或 ；569101536)2(39910qa7825362a六、排列、组合、二项式定理15 个男生和 2 个女生拍成一排照相13（1）共有多少种排法？（ ）7P（2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（ ）)(25P2100 件产品中，只有 3 件次品，从中任取 3 件，（1）恰有一件次品的取法有多少种？ 2971C（2）至少有一件次品的取法有多少种？ 0（3）至多有两件次品的取法有多少种？ 313求 展开式中所有无理项系数之和9)1(x分析：无理项指的是 的指数是非整数的项，根据二项式定理可知要求的和为975939222CCS七、古典概率问题1在 100 件产品中，只有 5 件次品从中任取两件，（1）两件都是合格品的概率是多少？ 21095（2）两件都是次品的概率是多少？ C（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？ 210952甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是 和 6.（1）两人都投中的概率是多少？ .60（2）恰有一人投中的概率是多少？ 54（3）至少有一人投中的概率是多少？ .13将 10 个球等可能地放到 15 个盒子中去，求下列事件的概率：（1）某指定的 10 个盒子中各有 1 个球； 105!（2）正好有 10 个盒子中各有 1 个球 10!C样题与真题一、基本概念1求阶乘不超过 的最大整数 20(A) (B) (C) (D)34562 （2004）实数 在数轴上的位置如下图表示，cba,14图中 O 为原点，则代数式 （ A ） cabaA B C Dca232b2a3分析：因为 ，所以b0ccc 2)()()( 3 （2004） 表示 的幅角，今又 ，则 （ D ） zarg )1arg,2argii)sn(A B C D543543分析：由于 ，所以51cos,52sin,cos,51sin 3ii)si(注：排除法。4 （2005）复数 2(1)( )ziz的 模 。A.4 B.2 C.2 D. 分析：因为 ，所以 ，即正确选项为 C2i 21)(2ii5。 （2006）复数 的共轭复数 是（ A ）. iz1zA. B. C. 1 D. i分析：由于 ，所以 。ii二、函数运算1设函数 ， ，则 A 1)(xf,0x)(1xfOb a c15(A) (B) (C) (D)x1x11x1x分析： ， xfxf 1)()( ,0三、乘方运算1在连乘式 展开式中， 前面的系数为 C )5(4)3(2)( x 4x(A) (B) (C) (D)314116分析： 4545 1)532()()()( xxxxx2 （2003）已知实数 和 满足条件 和 ，则 的值是 y19y10y0yA * B C D 101根据条件，得或 ,yx,yx解得 或 1,0,3 （2005）设 为正数，则p29( )xp。A. B. 9()x（ ） 1（ ）C. D. 1（ ） ()（ ）分析：选项验证法。由于 ， ，920)19(xx 92)1(xx， ，根据题意便知正确选项为 C2)1(9xx )(4 （2005）已知 ，则5yz且 22( )yzyz。A.50 B.75 C.100 D.105 分析：由于 ，所以 ，从而10,x5x，故正确选项为 B75)()()(222 xzyzzxyzy四、代数方程、一元二次函数1设 ，则函数 的最大值为 C 30x)(A) (B) (C) (D)213分析：-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3x-2-11y如图：最大值只可能在端点取到162 （2003）函数 在 上单调增的充要条件是 )0(2acbxy),A ，且 B ，且 0abC ，且 * D ，且 分析：根据题意，抛物线 的开口朝上、对称轴在 轴左侧，故 ，所以 ，)(2cxy y02,ab且 b3 （2004）已知 ，且满足 和 ，则（ B ） 1ab0382a0282bA B C D023b 3a分析：由于 ，且 ，所以64,40822 1当 时， ，202a 08, 2b当 时， ，482 642, 2从而有 032ba或根据 ，也可以推出有 0)32(92ba03ba4 （2006）方程 ，所有实数根的和等于（ C ） 。76xA.2006 B.4 C.0 D.分析： 当 时， ；0x20746当 时， 。2)(0所以方程 的所有实数根的和等于 。2762x05 （2006）设二次函数 的对称轴为 ，其图像过点（2，0） ，则 （ D ） 。cbxaf)( 1x)1(fA. 3 B. 2 C. -2 D. -3 分析：根据题意 ，所以 ，从而024,1ab,ab。3)1( f五、幂、指、对函数比较 与 谁大？ B 6.044.17(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定分析：考虑函数 则 ；,6.0)(,)(6.xgxf6.0.4)4.0().(ff4.0.)4.0(g六、函数简单性质1函数 是 B )1ln()2xxf(A)周期函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)单调减少函数分析： )(1ln(1ln)l()( 22xfxxf 注：排除法与特殊值代入法。 。0)l),0)l(1ff2 （2003）函数 与 的图形关于 )(1axy(2xayA直线 对称 B直线 对称0axC 轴对称 D 轴对称*分析：记 ，由于 ，所以曲线)(),()xfhxfg )()()() xhafxfg上的点 关于直线 的对称点 在曲线 上(xy,0,(hy注：特殊值代入法。取特殊函数 进行判定xf)(七、不等式（2004）设 均为正数，若 ，则( A).cba, acbbacA B C Dabc分析：选项验证法。当 时，正分数 的分子依次增大、分母依次减小，所以,acbac八、数列1 （2005）三个不相同的非 0 实数 成等差数列，又 恰成等比数列，则 等于（ ） ,cbca,ab18A.4 B.2 C. D.42分析：根据条件可知 ，从而 ， ，由于 ，所以 ，abcb,22)(cbcba2)(12bc，即正确选项为 A4ba注：本题根据 ， 及 可直接用排除法得到正确选项 A0bb2 （2006）设 n 为正整数，在 1 与 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个数成等比数列，则所插入的 n 个正数之积等于（A ） 。A. B. C. D. 2)1(n)(2)(n3)1(分析：（本题是代数题。考查了乘方运算的性质、等比数列的概念和通项公式）设此等比数列的公比为 ，则 ，即 ，所以q1n1nq。2)1(232nq九、排列组合15 棵大小不同的柳树，6 棵大小不同的杨树，载到 5 坑内，一坑一棵，5 个坑内至多载两棵柳树，5 个坑都载了，有多少种载法？ 108)(53624615PC(A) 281 (B) 200 (C) 81 (D)275十、古典概率1现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？ (A)第一个人 (B)第二个人 (C)第三个人 (D)一样大2袋中有 3 个黄球,2 个红球，1 个兰球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次， （都）取得红球的概率是（ ）(A) (B) (C) (D)503132分析： ，或 126C53 （2003）一批产品的次品率为 ，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 1.0A * B C D 7.0243.081.分析： ，或 .93 271.0.9932324 （2004）将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格相连的概率是（C ） A B C * D65分析：将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，共有 种放法，3 个空格相连的放法有 6 种（ ） ，所求概率为8C1283C5 （2005）任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4 的概率等于（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4分析：当所取正整数的个位数是 2 或 8 时，其平方数的末位数字就是 4，所有正整数的个位数只有191，2，3，4，5，6，7，8，9，0 等十种可能，所以要求的概率是 ，即正确选项为 B2.016 （2006）桌上有中文书 6 本，英文书 6 本，俄文书 3 本，从中任取 3 本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各 1 本的概率是（ ） 。A. B. C. D. 910814510854答：C分析：（本题是概率题。考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式）所求概率为 。4510823156361Cp第三部分 几何（与三角）内容综述一、平面几何图形1三角形（1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积） cbapcbpaCabhs 2,)()(sin21（2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）2四边形（1）矩形（正方形） ；（2）平行四边形（菱形） ；（3）梯形 hbas)(213圆和扇形（1）圆(周长、面积、弦、圆周角、圆心角) Rl20（2）扇形 Rls14平面图形的相似关系注：正多边形的内角和 、椭圆的面积)2(nab二、空间几何体1长方体（正方体）2圆柱体 hRVhs22侧3圆锥体 31侧4球 324RVs三、三角函数211定义（符号，特殊角的三角函数值） sin1c,os1ec,sinoct,osintai xy2三角函数的图像和性质（微积分）3常用的三角函数恒等式同角恒等式： 2222csot1ean1si两角和公式： 1cos2sin1sico2sini i)( scoisi22 诱导公式： in)(,)(,)in( 注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理） 4.反三角函数xy),(yx22),0(cotar);2,(arctn,s,si xyxy四、平面直线1直线方程（倾角、斜率，点斜式、斜截式、截距式、一般式） 0;1;,00 cbyaxybkxyxkykxy2两条直线的位置关系（相交，平行，垂直）； ；:cbal:11cal平行但不重合： ；重合： ；垂直：1b1ba3点到直线的距离， ， 0cbyax),(0yx20acyxd注：直线与圆等平面图形的位置关系五、圆锥曲线1 圆 2020)()(Ryx2椭圆（1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合（2）方程； )0,(,122cbacbyax（3）图像；（4）离心率； e（5）准线 cx23双曲线23（1）定义：到两定点距离之差的绝对值为一常数的点的集合（2）方程； )0,(,2cbacbyax（3）图像；（4）离心率； 1e（5）渐近线； （6）准线 xayca24抛物线（1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合（2）方程；， pxy,2,)0(px（3）图像；（4）离心率 ；（5）准线1e0,022baedycxbax典型例题1已知 ，求 sinta,20,cosin xxBxxABA分析：由于 ，452,0cosin xxxA，所以)1(2)32()1()1(sita kxkorkkB BA242x2设 ， ，求0, ba xbaxfcossin)(（1） 的最大值；)(xf（2） 时的 值分析：由于 ,)sin(cossicosi)(2 22 xba xbaxxf所以 的最大值为 ；)(f 2当 时，有 ，即 0xkx)(1kx3设三角形的三条边分别为 ，面积为 ，已知 ，求 cba,S35,4Sbac分析：根据 及 可得 ，所以CSsin2135,42sinCcosC当 时，有 ；211cos22abc当 时，有 cs6C4如果 与 均是锐角，且 ，那么441)sin(,5)sin()sin(2015分析： .20154152)4sin()co()cos()sin( i4）（）（5已知直线 ，求点 关于 的对称点。3:yxl ),(Al25分析：设所求的点为 ，则直线 与直线 垂直，且线段 的中点在直线 上，所以),(YXBABlABl,0124)(213,YXY解得 58,6双曲线 的右准线与两条渐近线交于 两点，若以 为直径的圆经过右焦点 ，求该)0,(12babyax BA, F双曲线的离心率分析：双曲线 的右准线为 ，两条渐近线方程为 ，所以线段 的长度为)0,(12babyax cax2xabyAB根据题意可知cb2，2即 ，所以 ，从而 ，因此cbacab22aabc22eAF267写出抛物线 的焦点坐标和准线方程xy22分析：将 化为标准形式为，)21()(2xy所以焦点坐标为 ,准线方程为 01x样题与真题一、平面几何1一张（圆形）饼平铺，若切三刀，最多切成几块？ (A) (B) (C) (D)56782.如图，弦长 ，则它们所对的圆周角哪个大？ ba(A) (B) (C)一样大 (D)无法确定3如图，一个长为 的梯子 ， 端只能在竖直墙面上滑动， 端只能在地面上滑动，则梯子与墙面和地面所围成的面积lABB最大时， 角应为多大？(A) (B) (C) (D)。0。45。60。754如图，矩行与椭圆 相切，则椭圆面积与矩12byax形面积之比和 相比较谁大？ 4a b27(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定5一个三角形的边长分别为 ，则此三角形的面积为 7,54(A) (B) (C) (D)6363436两个相似三角形的相似比为 ，则它们的面积比应为 2:1(A) (B) (C) (D)无法确定2:13:7 （2003）如图，正方形 的面积为 ， 和 分别是 和 的中点，则图中阴影部分的面积为 ABCDEFABCA B C * D 453分析 如图，阴影部分的面积为 因为 G 是三角形 BCD 的中心，所以 ，从而三角形 DGC，DHG，DHA 的面积相等，32 GCO21都是 由于三角形 GFC 在底边 FC 上的高是三角形 DFC 在底边 FC 上的高的 ，所以三角形 GFC 的面积是三角形 GCD 面积的一61 3半综上，阴影部分的面积为 6128 （2004）如图，直角 中 为直角，点 E 和 D，F 分别在直角边 AC 和斜边