河北省各地市2010年高考数学最新联考试题分类大汇立体几何

河北省各地市 2010 年高考数学最新联考试题分类大汇编第 8 部分:立体几何一、选择题：4 （河北省邢台市 2010 届高三第二次模拟考试理科）设 l、m 、n 表示不同的直线，、 、表示不同的平面，给出下列四个命题 ： /,mll若 且 则 ； /若 且 则 ； ,/lnlm若 则 ； ,/.ml l若 且 则A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】易知正确；命题， ,al则 l不平行平面 a, 错；对于命题，直线nml,有可能相交于一点，故错；对于命题，排除直线 nml,交于一点的可能，且又不能重合，故正确。应选 B。11 （河北省邢台市 2010 届高三第二次模拟考试理科）1 1 1103.2.03.2ABCDCD在 正 方 体 中 ， 点 P在 线 段 上 移 动 ， 则 异 面 直 线 CP与 BA所 成 的 角 的 取 值 范 围 是【答案】A 【解析】 连结 即 为所 成 的 角与则 异 面 直 线 11 BACP,ACD11, 0A3PD且 为 正 的 内 角 的 一 部 分 ， 所 以 ， 选11. （河北省石家庄市 2010 届高三第二次模拟考试 A 卷理）在正四棱柱1BA中， 3,1A，E 为 AB 上一个动点，则 CED1的最小值为（ B ）A 2 B 0 C 5 D 26 （河北省唐山市 2010 届高三第三次模拟考试理）一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 4，则球的表面积为（ C ）A 5 B17 C20 D6811 （河北省唐山市 2010 届高三第三次模拟考试理） 在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=2，沿对角线 AC 折成直二面角，则折后异面直线 AB 与 CD 所成的角为（ A ）Aarccos 51 Barcsin 51 Carccos 52 D arccos 548（河北省邯郸市 2010 年 4 月高三第二次模拟考试理）已知 P平面 BC，四边形CD是矩形， Q，若 PQ，则点 （ D ）不存在 有且只有一个 有且只有两个 最多有两个9. （河北省邯郸市 2010 年 4 月高三第二次模拟考试文）在一个 45的二面角的一个半平面内有一条直线与二面角的棱成 5角，则此直线与二面角的另一个半平面所成的角为（ A ）A. 30 B. C. 60 D. 9(5) （河北省衡水市 2010 届高三第一次模拟考试理科）正四棱锥 PABCD 的所有棱长相等，E 为 PC 的中点，那么异面直线 BE 与 PA 所成角的余弦值等于（ D ） A. 12 B. 2 C. 23 D. 310 （河北省衡水中学 2010 届高三第三次模拟考试理科 B 卷）设直线 l与球 O 有且只有一个公共点 P，从直线 l出发的两个半平面 ,截球 O 的两个截面圆的半径分别为 1 和 3，二面角 l的平面角为 65，则球 O 的表面积为( D )A . 4 B. 28 C. 1 D. 126. （河北省衡水中学 2010 届高三第三次模拟考试文科 B 卷）二面角 l为 60，A,B是棱 l上的两点，AC,BD 分别在半平面 ,内， ,AClDl且第 3 页 共 18 页,2ABCaD，则 C的长为（ C ）A B 5a C 2a D311. （河北正定中学 2010 届高三第三次模拟考试理科）一个正四棱柱的底面边长为 8，高为 6，在其内部的底面上放入四个大小相同的球，使相邻的两球彼此相切，并且都与相邻的侧面相切，在四个球的上面再放一个球，使这个球在正四棱柱内部，则这个球半径的最大值为( C )A. 2 B. 32 C. 53 D.1363、 （河北省冀州中学 2010 届高三下学期第二次模拟考试文科）已知 ,mn是两条不同直线，,是三个不同平面，下列命题中正确的为（ D ）A、若 ,则 / B、若 /,n，则 / C、若 /m则 D、若 ,则 n6、(河北省保定市 2010 年高三第二次模拟 A 卷)已知三棱柱 1ABC的侧棱长与底面边长都相等，顶点 1A在底面 BC内的射影恰为底边 的中点，则直线 1A与直线BC所成角的余弦值为（ C ）.A12 .23 . 14 .D36二、填空题：15 （河北省邢台市 2010 届高三第二次模拟考试理科）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为 32，那么这个正三棱柱的体积是 。【答案】 483 【解析】球在底面内的射影是底面正三角形的内切圆，由已知可得球的半径为 2，设底面边长 a 为，则 12,43,a23483.4ah正 三 棱 柱 的 体 积 V=15 （河北省石家庄市 2010 届高三第二次模拟考试 A 卷理）以下四个命题：如果两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面内无数条直线；设 mn、 为两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，若/ ， ， / ，则 n；“直线 ab”的充分而不必要条件是“ a垂直于 b在平面 内的射影” ；若点 P到一个三 角形三条边的距离相等，则点 P在该三角形所在平面上的射影是该三家形的内心其中正确的命题序号为 15 （河北省邯郸市 2010 年 4 月高三第二次模拟考试理） 三棱锥 ABCD,ABaCDb， ABDC, MN分别为 ,ADBC的 中点， P为 上一点，则MPN的最小值是 2ab （15） （河北省衡水市 2010 届高三第一次模拟考试理科）已知球的表面积为 20，球面上有 A、B、C 三点， AB=AC=2，BC= 3，O 为球心，则直线 OA 与平面 ABC 所成的角的正切值为 .21 16. （河北省衡水中学 2010 届高三第三次模拟考试文科 B 卷）已知体积为 3的正三棱锥VAB的外接球的球心为 O，满足 0AC, 则该三棱锥 外接球的体积为 16315. （河北正定中学 2010 届高三第三次模拟考试理科）在三棱锥 A-BCD 中，P、Q 分别是棱 AC、BD 上的点，连结 AQ、CQ、BP、DP、PQ，若三棱锥 A-BPQ、B-CPQ、C-DPQ 的体积分别为 6、2、8，则三棱锥 A-BCD 的体积为 40 .15、 （河北省冀州中学 2010 届高三下学期第二次模拟考试文科）已知正三棱锥 D-ABC的外接 球的球心 O 满足 A+BCO，且外接球的体积为 16，则该三棱锥的体积为 3 16、(河北省保定市 2010 年高三第二次模拟 A 卷)已知三棱锥 AB中，2,10ABD， 5,3， 90BD，则此三棱锥的外接球的表面积为 . 4三、解答题20 （河北省石家庄市 2010 届高三第二次模拟考试 A 卷理） （本小题满分 12 分）在长方体 1CAB中， 1,2,点 E是 B上的动点，点 M为1D的中点. （）当 E点在何处时，直线 ME/平面 1AD，并证明你的结 论；（）在（）成立的条件下，求二面角 1C的大小.第 5 页 共 18 页20 （本小题满分 12 分）（）当 E为 AB的中点时,M平面 1D. 2 分证明：取 的中点 N，连结 MN、AN 、 ME，MN C2，AE ，四边形 MNAE 为平行四边形，可知 MEANAN在平面 1D内 E平面 1AD. 5 分（方法二）延长 C交 延长线于 N，连结 1. B，又 M为 1C的中点,ME 1DN平面 ADE平面 1A. （）当 为 的中点时， 2, ,又 2D,可知 09C,所以 C,平面 1平面 1E,所以二面角 ED1的大小为 2； 7 分又二面角 A的大小为二面角 A1与二面角 C1大小的和，只需求二面角 1的大小即可；过 A 点作 DEF交 DE 于 F，则 平面 ED1, 2F， 过 F 作 H1于 H，连结 AH， 则 AHF 即为二面角 A1的平面角， 9 分11DEA， 630， 51sinAHF，所以二面角 C1的大小为 arci2 12 分MNFH向量法：以 D为原点，建立如图空间坐标系 Dxyz，则 1(1,0)(,)(0,2)(,).AEC7 分设平面 的一个法向量为 xyzm，因为 1(,)(,)DA所以 10E即 20yxz令 1，所以 (2,01)，同理可求平面 C的一个法向量 (,)n，10 分所以 cos,mn= 315，所以二面角 CEDA1的大小为 arcos512 分18 （河北省邯郸市 2010 年 4 月高三第二次模拟考试理） （本小题满分 12 分）如图所示，在正三棱柱 1BA中，底面边长为 a，侧棱长为2a， D是棱1AC的中点.()求证: 1/平面 1D；（）求二面角 AB的大小；（）求点 1C到平面 1的距离.18. 解：() 连结 1AB与 1交于 E，则 E为 1的中点， D为 C的中点， D为ABC的中位线， 1/ . 又 平面 1AB，1平面 1B/平面 1A4 分MxyzABCA1 B1C1ABC111BDFE第 7 页 共 18 页（）过 D作 1FAB于 ，由正三棱柱的性质可知，平面 1，连结 E,，在正 1CBA中， ,2311aBAD在直角三角形 A1中， ,2312a,.11E由三垂线定理的逆定理可得 1ABEF.则 EF为二面角 AB1的平面角，又得 34DFa， 11ABE， 134BEFa 4F.故所求二面角 DA1的大小为 .8 分解法（2） （向量法）1y可得 ).2,13(n又平面 1AB的一 个法向量 ),023(2aOCn设 ，的 夹 角 是与 21n则.2cos1n又知二面角 DAB1是锐角,所以二面角 DAB1 的大小是 .48 分（）设求点 1C到平面 1AB的距离 h；因 221，所以 1，故123()8ADBSa，而 11238CDABCSa10 分 由 11CCABBDV11AB63hh12 分18 （河北省唐山市2010届高三第三次模拟考试理） （本小题满分12分）如图，在四棱锥 V ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 3的菱形，BAD=60，侧面VAD底面 ABCD，VA=VD，E 为 AD 的中点（）求证：平面 VBE平面 VBC；（）当直线 VB 与平面 ABCD 所成的角为 30时，求面 VBE 与面 VCD 所成锐二面角的大小EAVCDB第 9 页 共 18 页19 （河北省邢台市 2010 届高三第二次模拟考试理科） （本小题满分 12 分）如图，斜三棱柱 ABC-A1B C 中，已知侧面 BB1C C 与底面 ABC 垂直且BCA=90 ， B BC=60 ，BC=BB 1=2，若二面角 A-B1B-C 为 30 .(1)证明 AC 平面 BB1C C；（2）求 AB 1与平面 BB C C 所成角的正切值；（3）在平面 AA 1B B 内找一点 P，使三棱锥 P-BB1C 为正三棱锥，并求点 P 到平面BB1C 的距离.(19) （河北省衡水市 2010 届高三第一次模拟考试理科） (本小题满分 12 分)如图，已知平行四边形 ABCD和矩形 EF所在的平面互相垂直，1,2ABD， 1,60.（I） 求证： F；（II）求 A 点到平面 BDF 的距离；（III）求二面角 的大小.19解：（1）易求 3，从而 2BA，由三垂线定理知: ACBF.-3 分（2）由等体积 ABDFBAV,求出 7,5,FD由勾股定理知09FDDFB 为直角三角形， 210521DFBS, 2310sinDABS设 A 点到平面 BDF 的距离为 hABDFB3，求得 h=到面 BF的距离是 103. -7 分第 11 页 共 18 页（3）法一：设点 A在面 BFD内的射影为 O，过 A作 GDF于 ，连结 GO 、AO.则 GO为二面角 的平面角. -10 分在 RT 中由面积法求得 25G，由(2) 301，在 RT AOG 中所以 6sin4A，所以求二面角 AFDB的大小为 6arcsin4. -12 分法二：求出 7,2,5,BDF由勾股定理知 09FDFB 为直角三角形，过 作 G于 ，又过 G作 /H交 于 ，连结 AH.则易证AH为二面角 的平面角 -9 分.在 F中由面积法易求 25A，从而 4,5D于是 45GF，所以 4217,5GB，在 AD中由余弦定理求得 2cosABD.再在 BAH中由余弦定理求得 215AH.在 GH中由余弦定理求得 104G，所求 二面角 FDB的大小为10arcos4. - 12 分19. （河北省衡水中学 2010 届高三第三次模拟考试理科 B 卷）（本题 12 分）如图，斜三棱柱 1ABC的底面是直角三角形， 90ACB，点 1在底面 上的射影恰好是 C的中点，且 （）求证：平面 1AC平面 1B；（）求证： B；（）求二面角 1的大小. 19. （本题 12 分） （）证明：设 C的中点为 M.B1C1A1CB A在斜三棱柱 1ABC中，点 1B在底面 AC上的射影恰好是 BC的中点,1M平面 ABC. 1 分平面 ，1BAC. 2 分90， .1M， AC平面 1B. 3 分平面 A，平面 1平面 1C. 4 分解法一：（）连接 B， 平面 1BC，1是直线 1A在平面 1上的射影. 5分C， 四边形 是菱形.11B. 1ABC. 6 分（）过点 作 1HA交 B于点 H，连接 1.1ABC，平面 1. 1C.1H是二面角 AB的平面角. 9 分设 2BC，则 12,1,MBC，1. 160.C120BC. 23B.MB1C1A1CB AMHB1C1A1CB A第 13 页 共 18 页AC平面 1B， C平面 1B， 1AC. 2B.15arcos7BHC.二面角 1A的大小为 5arcos7. 12 分解法二：（）因为点 B在底面 C上的射影是 B的中点，设 C的中点为 O，则1BM平面 ABC.以 O为原点，过 平行于 A的直线为 x轴， 所在直线为 y轴，O所在直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设 1BCA，由题意可知， 131(0,)(,0),(,)(,0)22BA.设 1(,)Cxyz，由 1C，得 1(,).13(0,)2B.又 1(,)A.1130022BC.zy xOB1C1A1CB A1ABC. 6 分（）设平面 1的法向量为 11(,)xyn.则 10,.Bn 1,30.2xy(,)n.设平面 1ABC的法向量为 22(,1)xyn.则 210,.ABCn230,1.xy23(,0)n. 12125cos,7n. 10 分 二面角 1BAC的大小为 5arcos7. 12 分19. （河北省衡水中学 2010 届高三第三次模拟考试文科 B 卷） (本小题满分 12 分) 如图，已知直平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，ADBD，AD=BD=a，E 是 CC1 的中点，A 1DBE（I）求证：A 1D平面 BDE；（II）求二面角 BDE C 的大小；AA1 B1C1D1B E D C 第 15 页 共 18 页19.（1）AA 1面 ABCD，AA 1BD，又 BDAD ，BDA 1D -3 分又 A1DBE，A 1D平面 BDE - 5 分(2)连 B1C，则 B1CBE，易证 RtCBERt CBB 1， = ，又 E 为 CC1 中点， BB12=BC2=a2，CEBC BCBB1 12BB 1= a 72分取 CD 中点 M，连 BM，则 BM平面 CD1，作 MNDE 于 N，连 NB，则BNM 是二面角 BDEC 的平面角 9 分RtCED 中，易求得 MN= ，RtBMN 中，tanBNM= = ，BNM=arctanBMMN 5512分(2)另解：以 D 为坐标原点， DA 为 x 轴、DB 为 y 轴、DD 1 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 B(0,a,0)，设 A1(a,0,x)，E(-a,a, )， 1AD=(-a,0,-x)， BE=(-a,0, )，A 1DBEx2 x2a 2- x2=0，x 2=2a2，x= a，即 BB1= a.12 2 220、 （河北省冀州中学 2010 届高三下学期第二次模拟考试文科） （本小题满分 12 分）已知三棱锥 PABC 中，PC底面 ABC， 0BC9, =2，二面角 P-AB-C 为 045，D、F 分别为 AC、PC 的中点 ，DEAP 于 E（）求证：AP平面 BDE； （）求直线 EB 与平面 PAC 所成的角。20.解（1）证明 PC底面 ABC PCBD，又AB=BC,D 为 AC 中点 BA平面 ACP AP平面 ACPAA1 B1C1D1B E D C BDAP，又 DE,B=AP平面 BDE.5 分（2）由（1）的证明知 平面 ACP BED为直线 EB 与平面 PAC 所成的角。 C,为 PB 在平面 ABC 上的射影 PBC为二面角 P-AB-C 的平面角.8 分0PB=45A=2P,AC26DE=310 分0tan36DEBE12 分18、(河北省保定市 2010 年高三第二次模拟 A 卷)（本小题满分 12 分）已知正三棱柱 1AC中， 2B， ,E分别为棱1、 上的点，且 2.、求证：平面 BDE平面 1；、求二面角 C的大小.18、解：、如右图所示：取 边的中点 F， B