幂级数展开

数学物理方法幂级数展开幂级数展开n 复级数n 幂级数和泰勒展开n 双边幂级数和罗朗展开n 孤立奇点n 本章小结复级数n 复数项级数n 形式 ： i=1 ui n 通项 ： ui 为复数n 部分和： sn = n ui n 和： s = lim sn n 余项： rn = s - sn = un+1 + un+2 + n 收敛： s 存在 0, N(), s.t. nN() = |s-sn|收敛复级数n 收敛性判别法n 级数 i=1 uin 比值法 = limk|uk+1/uk| 1， 发散。n 根值法 = limk|uk|1/k 1， 发散。n 例： 判断几何级数的敛散性n=0 a0 qnn 解： 1.比值法 = |q| |q|1， 发散。 2.根值法 =|q|limk|a0|1/k = |q| |q|1， 发散。复级数n 复函项级数n 形式 ： i=1 ui(z)n 通项 ： ui(z)n 部分和函数 ： sn(z) = i=1n ui(z) n 和函数： s(z) = lim sn(z) n 收敛域： z|s(z)存在 定义： 0, N(,z), s.t. nN(,z)|s(z)-sn(z)|0, N(), s.t. nN() |s(z)-sn(z)|R 1， 发散。n 一致收敛性： s(z)dz = k=0 ak(z-b)k dz s (z) = k=0 ak(z-b)k幂级数和泰勒展开n 泰勒展开n 问题 ： 一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？n 泰勒定理： 一个在圆 |z-b|=R 内 解析的函数 f(z)可以展开为幂级数f(z) = k=0 ak(z-b)k 该幂级数在圆 |z-b|=R内收敛； 以 b为中心的展开式是唯一的； 系数 ak=f(n)(b)/n! 应用柯西积分公式，系数也可以表示为幂级数和泰勒展开n 展开方法n 基本方法（用定理） f(z) = k=0 ak(z-b)k， an=f(n)(b) /n!n 例 1： 题目： 在 b=0的邻域上把 f(z)=exp(z)展开。 解答： f(z) = exp(z) f(n)(z) = exp(z) f(n)(0) = 1 an= 1/n! f(z) = k=0 zk/k! 该幂级数在圆 |z|R = 1/Rn 双边幂级数n 形式 ： s(z) = k=- ak(z-b) kn 分析 双边幂级数 = 正幂级数 + 负幂级数n 收敛域： R0的 区域上把 f(z)=cosh(z)/z展开。 解答： cosh(z) = k=0 z2k/(2k)! cosh(z)/z = k=0 z2k-1/(2k)!n 例 2： 题目： 在 |z|0的区域上把 f(z)=exp(1/z)展开。 解答： exp(t) = k=0 tk/k! exp(1/z) = k=0 z-k/k!双边幂级数和罗朗展开n 例 3： 题目： 以 b=0为中心把 f(z)=1/z(z-1)展开。 分析 因为 f(z)有两个单极点 z=0和 z=1, 所以它以 b=0为中心的解析环有两个 0|z| 1和 1|z| ， 需要分别展开 解答： 在环域 0|z| 1中 f(z) = 1/z(z-1)= -1/z(1-z) = -1/z k=0 zk = - k=0 zk-1 在环域 1|z| 中 f(z) = 1/z(z-1) = 1/z2(1-z-1) = 1/z2 k=0 z-k = k=0 z-k-2孤立奇点n 概念n 奇点： 定义：函数的非解析点； 举例： csc(z)在 z=n, csc(1/z)在 z=0， 1/n ； 判断：初等函数在其定义域内解析；n 孤立奇点： 定义：存在解析邻域的奇点； 举例： csc(z)在 z=n为孤立奇点 ,csc(1/z)在 z=0为非孤立奇点； 特点：本身无定义，对周围有影响； 判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；孤立奇点n 分类n 原则： 根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类；n 分类： 极限为有限值，称为可去奇点，例如 sinz/z； 极限为 (n阶 )无穷大，称为 (n阶 )极点，例如 1/zn； 极限不存在，称为本性奇点，例如 exp(1/z) ；n 性质 奇点 邻域罗朗展开式 可去奇点： 无负幂项； (n阶 )极点： 有限个负幂项， (最高为 n次 ) ； 本性奇点： 无限多个负幂项；本章 小结n 双边幂级数n 形式 ： s(z) = k=- ak(z-b)kn 性质：在环域内一致收敛n 罗朗展开n 条件：在环 R1|z-b|R2内解析的函数 f(z)n 定理： 可以展开为双边幂级数f(