控制系统仿真及matlab语言-连续系统的离散化方法

第四章 连续系统的离散化方法4.1 常微分方程的数值解法一 . 数值求解的基本概念设微分方程为则求解方程中函数 x(t)问题的常微分方程初值问题所谓数值求解就是要在时间区间 a, b中取若干离散点 求出微分方程在这些时刻的近似值取前两项近似：这种方法的几何意义就是把 f(t,x)在区间 tk,tk+1内的曲边面积用矩形面积近似代替。计算简单，计算量小，而且可以自启动。当 h很小时，造成的误差是允许的。该算法具有一阶精度。取 k=0,1,2,N, 从 t0开始，逐点递推求解 t1时的 y1， t2时的y2, 直至 tn时的 yn，称之为欧拉递推公式。矩形面积1. 欧拉法欧拉法的特点： 导出简单，几何意义明显，便于理解，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想 。 通常用它来说明有关的基本概念。 例 设系统方程为 用 Euler法求其数值解（取步长 , )递推公式为则已知方程的解析解为 精确解和解析解作比较： w 误差在 数量级，精度较差。 t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0精确解 1 0.909 0.833 0.769 0.666 0.625 0.5数 值 解 1 0.9 0.819 0.752 0.659 0.647 0.4632. 龙格库塔法 基本思想： 取 Taylor级数展开式前三项近似求解，并利用线性组合代替导数的求解。 既可避免计算高阶导数，又可提高数值积分的精度，这就是 Runge-Kutta法的基本思想。2. 龙格库塔法 r为精度阶次， ai为待定系数，由精度确定； ki用下式表示线性组合等各阶导数不易计算，用下式中ki的线性组合代替1)当 r=1时：与 Taloy展开式相比较，可得 a1=1,则上式成为欧拉递推公式2)当 r=2时：将 在点 展成 Taylor级数与台劳公式的二阶展开近似公式相比，可得以下关系：三个方程，四个未知数，解不唯一各个系数的几种取法 见书上。3) r=4时，四阶龙格库塔公式 -最常用：仿真中遇到的大多数工程实际问题，四阶龙格库塔法以能满足精度要求，其截断误差 o(h5) 与 h5同数量级。该法可以自启动。4)、状 态 空 间 四 阶龙 格 -库 塔 递 推式若 单输 入 单输 出系 统 的状 态 空 间 表达式 为 ：在仿真中， 对 于 n阶 系 统 ，状 态 方程可以写成一 阶 微分方程根据四 阶龙 格 -库 塔公式 ,有T=tk时刻的 xi值T=tk+h时刻的 xi值另状 态 方程的四 阶龙 格 -库 塔公式如下：RK法的特点： 1 需要存储的数据少，占用的存储空间少；2 只需知道初值，即可启动递推公式进行计算，可自启动；3 容易实现变步长运算。4 每积分一步需要计算多次右函数，计算量大。基于龙格库塔法， MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为： t, x=ode23(xfun, t0, tf ,x0)t, x=ode45(xfun, t0, tf ,x0)常微分方程函数名起始时间终止时间初始状态向量输入输出4/5阶龙格 -库塔算法2/3阶龙格 -库塔算法3.常微分方程 Matlab求解解 : 令 y1=x， y2=x1、建立 M-文件 vdp.m如下：function dy=vdp(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=2*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取 t0=0， tf=20，输入命令：T,Y=ode45(vdp,0 10,1;1); plot(T,Y(:,1),-, T,Y(:,2)3、结果解 1、建立 m-文件 rigid.m如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、 取 t0=0， tf=12，输入命令：T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图图中， y1的图形为实线， y2的图形为 “*”线， y3的图形为 “+”线 .4.2 数值算法的稳定性及求解原则1.数值算法的稳定性特征根在 s平面的左半平面，系统稳定。(1)欧拉法：稳定：(2)梯形法：恒稳2.数值算法的选择原则Matlab提供了微分方程数值求解的一般方法 ,作为仿真算法的使用者 ,可不必考虑算法具体实现 ,而应关心各种方法在使用中会出现的问题 ,以及如何在仿真中恰当的选用这些方法.一般 ,选用数值算法从以下几个方面考虑 :(1)精度受算法和 h影响截断误差 +舍入误差 =累计误差(2)计算速度受算法和 h影响算法简单，速度就快些。(3)稳定性受 h影响，一般h （ 2-3） 系统最小时间4.3 数值算法中的 “病态 ”问题1 “病态 ”常微分方程例：其中 采用四阶龙格库塔法h=0.01时，计算时间长 h=0.04时，误差很大当 h0.05后，曲线发散振荡，数值不稳定，完全失去意义系统矩阵的特征值差异较大系统矩阵的特征值差异较大一般线性常微分方程组：的系数矩阵 A的特征值具有如下特征：则称为 “病态 ”方程。定义：2 控制系统仿真中的 “病态 ”问题1 病态系统中绝对值最大的特征值对应于系统动态性能解中瞬态分量衰减最快的部分，它反映了系统的动态响应和系统的反应灵敏度。一般与系统中具有最小时间常数 Tmin的环节有关，要求计算步长 h取得很小。2 病态系统中绝对值最小的特征值对应于系统动态性能解中瞬态分量衰减最慢的部分，它决定了整个系统的动态过渡过程时间的长短。一般与系统中具有最小时间常数 Tmax的环节有关，要求计算步长 h取得很大。3 对于病态问题的仿真需要寻求更加合理的算法，以解决