应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答

应用多元统计分析第二章部分习题解答1第二章 多元正态分布及参数的估计2-1 设 3维随机向量 X N3(,2I3)， 已知试求 Y=AX+d的分布 .解 :利用性质 2,即得二维随机向量 YN2(y,y),其中：2第二章 多元正态分布及参数的估计2-2 设 X=(X1,X2) N2(,)， 其中（ 1）试证明 X1 +X2 和 X1 - X2相互独立 .（ 2）试求 X1 +X2 和 X1 -X2的分布 .解 : (1) 记 Y1 X1 +X2 (1,1)X, Y2 X1 -X2 (1,-1)X ，利用性质 2可知 Y1 , Y2 为正态随机变量。又故 X1 +X2 和 X1 - X2相互独立 . 3第二章 多元正态分布及参数的估计或者记由定理 2.3.1可知 X1 +X2 和 X1 - X2相互独立 .4第二章 多元正态分布及参数的估计(2) 因5第二章 多元正态分布及参数的估计2-3 设 X(1)和 X(2) 均为 p维随机向量 ,已知其中 (i) (i 1， 2)为 p维向量 ,i (i 1， 2)为 p阶矩阵， (1) 试证明 X(1) +X(2)和 X(1) -X(2) 相互独立 .(2) 试求 X(1) +X(2) 和 X(1) -X(2) 的分布 .解 :(1) 令6第二章 多元正态分布及参数的估计由定理 2.3.1可知 X(1) +X(2)和 X(1) -X(2) 相互独立 .7第二章 多元正态分布及参数的估计(2) 因所以注意 :由 D(X)0,可知 (1-2) 0.8第二章 多元正态分布及参数的估计2-11 已知 X=(X1,X2)的密度函数为试求 X的均值和协方差阵 .解一 :求边缘分布及 Cov(X1,X2)=129第二章 多元正态分布及参数的估计类似地有10第二章 多元正态分布及参数的估计011第二章 多元正态分布及参数的估计所以故 X=(X1,X2)为二元正态分布 .12第二章 多元正态分布及参数的估计解二 :比较系数法 设比较上下式相应的系数 ,可得 :13第二章 多元正态分布及参数的估计故 X=(X1,X2)为二元正态随机向量 .且解三 :两次配方法 14第二章 多元正态分布及参数的估计即设函数 是随机向量 Y的密度函数 .15第二章 多元正态分布及参数的估计(4) 由于故(3) 随机向量16第二章 多元正态分布及参数的估计2-12 设 X1 N(0,1),令(1)证明 X2 N(0,1);(2)证明 (X1 , X2 ) 不是二元正态分布 .证明 (1):任给 x,当 x-1时当 x1时 ,17第二章 多元正态分布及参数的估计当 -1x1时 ,(2) 考虑随机变量 Y= X1-X2 ,显然有18第二章 多元正态分布及参数的估计若 (X1 , X2 ) 是二元正态分布 ,则由性质 4可知 ,它的任意线性组合必为一元正态 . 但 Y= X1-X2 不是正态分布 ,故 (X1 , X2 ) 不是二元正态分布 .19第二章 多元正态分布及参数的估计2-17 设 X Np(,), 0,X的密度函数记为f(x;,).(1) 任给 a 0,试证明概率密度等高面 f(x;, )= a是一个椭球面 .(2) 当 p=2且 (0)时，概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴 .证明 (1):任给 a 0,记20第二章 多元正态分布及参数的估计令 ,则概率密度等高面为(见附录 5 P390)21第二章 多元正态分布及参数的估计故概率密度等高面 f(x;,)= a是一个椭球面 .(2)当 p=2且 (0)时 ,由可得 的特征值22第二章 多元正态分布及参数的估计i (i=1,2)对应的特征向量为由 (1)可得椭圆方程为长轴半径为 方向沿着 l1方向 (b0);短轴半径为 方向沿着 l2方向 .23第二章 多元正态分布及参数的估计2-19 为了了解某种橡胶的性