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椭圆焦半径公式的证明及巧用2008 年 08 月 31 日 星期日 21:56命题：证明：说明：巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。一、用于求离心率例分析：所以 ，所以 。二、用于求椭圆离心率 的取值范围例分析：由 得故 ，即 ，又 。所以 。三、用于求焦半径的取值范围例分析：所以 。四、用于求两焦半径之积例分析：由 知 ，所以 的最小值为 ，最大值为 。五、用于求三角形的面积例分析：。由余弦定理得 。解得所以六、用于求点的坐标例分析：及 得，解得所以 。七、用于证明定值问题例分析：化简得所以 为定值。八、用于求角的大小例分析：所以所以 。九、用于求线段的比。例分析：由 两式相减并化简得。所以。所以。令 ，则 ，故所以 ，所以 。如图 设 的坐标为 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则， ，消去 得， 。不妨设 ，由 成等差数列得 ，即 。 易知易知的最值不妨设 为椭圆的左焦点，而 ，则 。故 。 设 的坐标为 ，则 如图，连 ，则 ，由焦半径公式得 ，即 。 若椭圆的焦点在 轴上，则有。我们把椭圆上的点 到两焦点 的距离 称为焦半径，而 （或 ）、（或 ）称为焦半径公式。如图 1，椭圆的准线方程为 和 。由椭圆的第二定义得 ，化简即得1 如图 为椭圆 的两个焦点，以线段 为直径的圆交椭圆于 四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率 。2 已知 为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点 ，使 ，求离心率的取值范围。3 若 是椭圆 上的点， 为椭圆的焦点，求的取值范围。4 若 为椭圆 的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求 的最值。5 若 是椭圆上一点， 为椭圆的左、右焦点，且 ，求 的面积 S。 。6 若 为椭圆 上的点， 为椭圆的焦点，且 ，则 的横坐标为_。 由 ， ，7 已知 为椭圆 上两点，为椭圆的顶点，F 为焦点，若 成等差数列，求证：为定值。 ，8 如图 3，设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， 为其交点，求 。9 过椭圆 的左焦点 作与长轴不垂直的弦 的垂直平分线交 轴于 ，则 。4，设 的坐
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