工程力学-材料力学_第一章

第一章 轴向拉伸和压缩 1 1 工程实际中的轴向拉伸和压缩问题在工程实际中，有很多轴向拉伸和压缩的构件。厂矿中常用的悬壁吊。 用于连接的螺栓上图是杆件受轴向拉力的情况。这种杆件称为 轴向拉伸构件上图是杆件受轴向压力的情况。这种杆件称为 轴向压缩构件汽车式起重机的支腿桁架中的压杆可以看出，工程实际中许多轴向拉伸或压缩的构件多为等截面直杆，它们有以下共同的特点：1、受力特点：作用在杆上外力合力的作用线与杆的轴线相重合。2、变形特点：杆产生沿轴线方向的伸长或缩短，这种变形形式，称为 轴向拉伸或压缩 。轴向拉伸轴向压缩1-2 轴向拉伸和压缩时的内力物体内部某一部分与另一部分间相互作用的力称为 内力 。一、内力的概念物体是由无数颗粒组成的，在其未受外力作用时，各颗粒间就存在着相互作用的内力，以维持它们之间的联系及物体的原有形状。当物体受到外力作用而变形时，各颗粒间的相对位置将发生改变；与此同时，颗粒间的内力也发生变化。这个因外力作用而引起的内力改变量，就是材料力学中所要研究的内力。构件在受到外力作用的同时，其内部将产生相应的内力。注意：材料力学中所指的内力与静力学曾经介绍的内力有所不同。材料力学的内力 是物体内部各部分之间的相互作用力。静力学的内力 是各个物体之间的相互作用力，它相对于物体系这个整体来说，是内力，但对于一个物体来说，是外力。二、截面法 轴力截开假想用一个截面将构件截开，来确定内力的方法，称为 截面法 。 假想用一个截面将构件截开，取其一为研究对象，弃去另一部分，将弃去部分对研究对象的作用，以截面上的内力来代替。 根据研究对象的平衡条件确定内力的方向和大小。这一方法分两步：注意：在静力学中，力的正负号是根据力在坐标中的方向来规定的；在材料力学中，内力的正负号则是根据构件的变形来规定的。对于轴向拉伸和压缩的杆件，其横截面上内力的方向皆垂直于截面，且合力必通过截面的形心，这样的内力称为 轴力 。约定：拉伸引起 指向背离横截面 的轴力即为 正值 ；压缩引起指向向着横截面的轴力为 负值 。例 1-1 设一杆沿轴线同时受力 F1、 F2、 F3的作用，其作用点分别为 A、C、 B，如图所示。求杆的轴力。由于杆上有三个外力，在 AC段和 CB段的横截面上 轴力 不同。(1)在 AC段内的任意处以横截面1-l将杆截为两段，取左段为研究对象，将右段对左段的作用以内力 FN1代替。这就是 AC段内任一横截面上的内力。由平衡条件知 FN1必与杆的轴线重合，方向与 F1相反，为拉力。列平衡方程解：(2) 在 CB段内的任意处以横截面 2-2将杆截开，取左段为研究对象。此时因截面 2-2上内力FN2的方向一时不易确定，可将FN2先设为拉力，由平衡方程负号说明，该截面上内力的方向与原设的方向相反，即 FN2为压力，其值为 1 kN，此即 BC段内任一横截面上的内力。选取右段为研究对象，仍可得到同样的结 果。同学们自己试试。例 1-2 两钢丝绳吊运一个重 10kN的重物，如图所示，试求钢丝绳的拉力解：同时用 1-1和 2-2两个截面将钢丝绳截开取上半部为研究对象。设两钢丝绳拉力分别为 FN1和 FN2,且由对称关系知 FN1=FN2，由平衡方程得1-3 轴向拉伸和压缩时的应力一、应力的概念：如图所示材料相同，拉力相同，粗细不同的两杆。单位面积上的内力叫做应力。是反映 内力在截面上的聚集程度应力的单位是 Pa(帕斯卡 )： 1Pa=1 N/m若逐渐将拉力增大，则细杆先被拉断。这说明杆的强度不仅与内力有关，还与内力在截面上各点的分布密集程度有关。1、引入应力的原因：2、应力二、等截面直杆横截面上的应力构件在受力后引起内力的同时，还要发生变形，内力与变形之间存在着一定的物理关系。取一个橡皮 (或其他易于变形的材料 )等直杆，在其侧面划两条垂直于杆轴的横线 ab、 cd，并在两横线间划几条平行于杆轴的纵线 (图 a)。变形实验：然后在杆两端加一对轴向拉力，使其产生拉伸变形 (图 b)。这一现象是杆的变形在其表面的反映。变形后横线 ab、 cd分别平移到了 ab和 cd，但仍然垂直于杆的轴线；各纵线的伸长皆相等。实验结果杆内部的变形也是如此，即杆变形后各横截面仍保持为平面，这个假设称为 平截面假设 。如设想杆由无数纵向纤维所组成，实验结果证明在任意两横截面间各条纤维的伸长量相同。在离外力作用点略远处 ,横截面上的应力是均匀分布的 ，这就是 圣维南原理 。由此可知每根纤维所受的内力相等，也就是说横截面上的内力是均匀分布的；因而横截面上的应力也必然是均匀分布，如图 c所示。它已被试验所证实。根据应力的定义和横截面上应力均匀分布的规律，可以得到横截面上的应力； FN：横截面上的轴力； A：横截面面积当杆两端只受一对拉 (压 )力 F时，因 FN=F，故上式又可表示为以上即为轴向拉伸和压缩时横截面上应力的计算公式。内力垂直于截面，故应力也必然垂直于截面。这种垂直于截面的应力，称为 正应力 。当横截面面积一定时，外力越大，正应力就越大；作用在杆件上的外力一定时，横截面面积越小，则应力越大。以正号表示拉应力；以负号表示压应力。由 可以看出：这说明了粗细二杆受相同的外力时为什么细杆先断的缘故。当轴力为拉力时，为 拉应力 ；轴力为压力时，为 压应力 。三、等截面直杆斜截面上的应力取任一与横截面成 角的斜截面 k-k, 沿斜截面 k-k将杆截开，取左段为研究对象 (图 e)，可得斜截面 k-k上的内力 F为斜截面上的应力 p也是均匀分布的，可得将 pa沿斜截面法向与切向分解（ 图 f），得斜截面的正应力和切应力为：斜截面上不仅有正应力 (沿截面法线方向 )，还有切应力 (沿截面切线方向 )，其大小随截面的方位而变化。当 = 0时， (横截面上正应力最大 )当 = 90时，当 = 45时， (45 斜截面上剪应力最大 )当 = 0,90时，假设例 1-3 图 a为轧钢机的压下螺旋，其尺寸如图所示。设压下螺旋所受的最大压力 F=800 kN，试求其最大正应力。解： (1)计算轴力 因压下螺旋的最大应力将产生于截面最小的部位，所以用截面法在最小直径处将其截开，取下半部为研究对象 (图 b)，由平衡方程得(2)计算最小横截面面积 由图中所示尺寸知(3)计算最大正应力例 1-4 地质岩芯钻杆如图所示。钻杆的外径 D1=42mm，螺纹的外径 d1=36mm，接箍的孔径 D2=12mm，螺纹的内径d=32mm；钻杆总长度 l=1000m，单位长度重量为 q=40N/m。试求提取钻杆时，钻杆和接箍的最大应力。岩层给钻杆的摩擦力暂不考虑。解： (1)计算轴力提取钻杆时，钻杆受自重的作用，各横截面上的内力不同，而钻杆顶端处须承受钻杆的全部重量，故此处横截面上的轴力最大。由截面法，截取顶端截面以下的全部钻杆为研究对象 (图 b)，则由平衡方程(2)计算横截面面积 由所给尺寸，钻杆在螺纹处的横截面面积为接箍螺纹处的横截面面积为(3)计算最大应力 在顶端的接头处，钻杆在截面 1-1上的应力最大，其值为接箍在截面 2-2上的应力最大，其值为1-4 轴向拉伸和压缩时的变形杆件在轴向拉伸或压缩时，沿轴线方向的伸长或缩短；与此同时，杆的横向尺寸还会有缩小或增大，前者称为 纵向变形 ，后者称为 横向变形 。一、纵向变形这个伸长量称为 绝对伸长 ，设一等直杆受轴向拉力 F作用，如图所示，变形前杆的长度为 l，受力后伸长至 l ，则其纵向伸长量为它与拉力 F之间的关系，与材料的固有性能有关。如果引进一个比例系数，则其伸长量 l与拉力 F和杆件的原长 l成正比，与杆件的横截面面积 A成反比。即由于此时杆横截面上的轴力 FN与拉力 F相等，故又可表示为l为伸长时，以正号表示； l为缩短时，以负号表示。(也适用于轴向压缩 )拉力不超过某一限度，杆件的变形是弹性的，即外力除去后，变形消失，杆件恢复原状；或这就是轴向拉伸和压缩时纵向变形的计算公式，称为 胡克定律 。长度相等、受力相同的杆， EA愈大，杆的变形就愈小，EA代表了杆件抵抗拉伸 (或压缩 )变形的能力，称为 杆件的抗拉 (压 )刚度 。式中的 E值与材料的性能有关，称为 材料的弹性模量 。其值愈大，则杆件的变形愈小，故它是衡