高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总结篇一：高中数学导数知识点归纳总结核心出品 必属精品 免费下载导 数 考试内容： 导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景 （2）理解导数的几何意义 （3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(nN+)的导数公式，会求多项式函数的导数 （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值 （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值 14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设 x0 是函数 y?f(x)定义域的一点，如果自变量 x 在 x0 处有增量?x，则函数值 y也引起相应的增量?y?f(x0?x)?f(x0)；比值?y?xlim ?x?0 ? f(x0?x)?f(x0) ?x ?y?x ?lim ?x?0 称为函数 y?f(x) 在点 x0 到 x0 ?x 之间的平均变化率；如果极限 f(x0?x)?f(x0) ?x 存在，则称函数 y ?f(x) 在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 y?f(x)在 x0处的导数，记作 f(x0) 或 y |x?x ，即 f(x0) = lim ?x?0 ?y?x ?lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x . 注：?x 是增量，我们也称为“改变量” ，因为?x 可正，可负，但不为零. 以知函数 y ?f(x) 定义域为 A，y ?f(x) 的定义域为 B，则 A 与 B 关系为 A ?B . 2. 函数 y?f(x)在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系：函数 y?f(x)在点 x0 处连续是 y?f(x)在点 x0 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果 y?f(x)在点 x0 处可导，那么 y?f(x)点 x0 处连续. 事实上，令 x?x0?x，则x?x0 相当于?x?0. 于是 lim x?x0 f(x)?lim ?x?0 f(x0?x)?limf(x?x0)?f(x0)?f(x0) ?x?0 f(x0)?f(x0)?0?f(x0)?f(x0). ?lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x ?f(x)点 x0 ?x?f(x0)?lim f(x0?x)?f(x0) ?x ?lim?lim ?x?0 ?x?0 ?x?0 如果 y 例： ?y?x 处连续，那么 y ?f(x) 在点 x0 处可导，是不成立的. ?0 f(x)?|x|在点 x0?0 处连续，但在点 x0 ?1 处不可导，因为 ?y?x ? |?x|?x ，当?x0 时， ?1；当?x0 时， ?y?x ，故 lim ?x?0 ?y?x 不存在. 注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数 y?f(x)在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y也就是说，曲线 ?f(x) 在点(x0, f(x) 处的切线的斜率， ，切线方程为 y?f(x) 在点 P (x0,f(x) 处的切线的斜率是 f(x0) y?y0?f(x)(x?x0). 4. 求导数的四则运算法则： (u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x) (uv)?vu?vu?(cv)?cv?cv ?cv（c 为常数） ?u?v? ? vu?vuv 2 (v?0) 注：u,v 必须是可导函数. 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设 f(x)?2sinx? 2x ，g(x)? cosx? 2x ，则 f(x),g(x) 在 x ?0 处均不可导，但它们和 f(x)?g(x)?sinx?cosx ?0 在 x 处均可导. fx(?(x)?f(u)?(x) 5. 复合函数的求导法则：或 yx ?y u ?u x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数 y 增函数；如果 f(x) ?f(x) 在某个区间内可导，如果 f(x) 0，则 y ?f(x) 为 0，则 y ?f(x) 为减函数. 常数的判定方法； 如果函数 y 注：都有 ?f(x) 在区间 I 内恒有 f(x) =0，则 y ?f(x) 为常数. ?2x 3 f(x)?0 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 y f(x)?0 在(?,?)上并不是 f(x)?0 ，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必 要条件. 一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负） ，那么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在 x0 附近所有的点，都有 f(x)f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的极大值，极小值同理） 当函数 f(x)在点 x0 处连续时， 如果在 x0 附近的左侧如果在 x0 附近的左侧 f(x) 0，右侧0，右侧 f(x) 0，那么0，那么 f(x0)是极大值； f(x0)是极小值. f(x) f(x) 也就是说 x0 是极值点的充分条件是 x0 点两侧导数异号，而不是 f(x) =0. 此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注： 若点 x0 是可导函数 f(x) 的极值点，则 f(x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数，其一点 x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数 y ?f(x)?x 3 ，x ?0 使 f(x) =0，但 x ?0 不是极值点. ?0 例如：函数 y?f(x)?|x|，在点 x?0 处不可导，但点x 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： ?0 （C 为常数） (sinx)?cosx (arcsinx)? 1?x 2 (x)?nx nn?1 （n?R）(cosx)?sinx (arccos x)? 1?x 2 II. (lnx)? 1x (log a x)? 1x log a e(arctan x)? x 1 2 ?1 (e x ) ?e x (a)?a xx lna (arccotx)? 1x 2 ?1 III. 求导的常见方法： 常用结论：(ln形如 y |x|)? 1x . 或 y ? (x?a1)(x?a2).(x?an)(x?b1)(x?b2).(x?bn) ?(x?a1)(x?a2).(x?an) 两边同取自然对数，可转化 求代数和形式. 无理函数或形如 y yy ?x x 这类函数，如 y ?x x 取自然对数之后可变形为 ln x x y?xlnx ，对两边 求导可得 ?lnx?x? 1x ?y?ylnx?y?y?xlnx?x. 篇二：高中数学导数知识点归纳总结及例题导 数 考试内容： 导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景 （2）理解导数的几何意义 （3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(nN+)的导数公式，会求多项式函数的导数 （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值 （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值 14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设 x0 是函数 y?f(x)定义域的一点，如果自变量 x 在 x0 处有增量?x，则函数值 y也引起相应的增量?y?f(x0?x)?f(x0)；比值?yf(x0?x)?f(x0)称为函数 y?f(x)在点 x0 到 x0?x 之间的平均变化率；如果极限? ?x?xf(x0?x)?f(x0)?y 存在，则称函数 y?f(x)在点 x0 处可导，并把这个极限叫做?lim ?x?0?x?x?0?xlim y?f(x)在 x0 处的导数，记作 f(x0)或 y|x?x0，即f(x0)=lim f(x0?x)?f(x0)?y . ?lim ?x?0?x?x?0?x 注：?x 是增量，我们也称为“改变量” ，因为?x 可正，可负，但不为零. 以知函数 y?f(x)定义域为 A，y?f(x)的定义域为B，则 A 与 B 关系为 A?B. 2. 函数 y?f(x)在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系： 函数 y?f(x)在点 x0 处连续是 y?f(x)在点 x0 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果 y?f(x)在点 x0 处可导，那么 y?f(x)点 x0 处连续. 事实上，令 x?x0?x，则x?x0 相当于?x?0. 于是 limf(x)?limf(x0?x)?limf(x?x0)?f(x0)?f(x0)x?x0 ?x?0 ?x?0 f(x0?x)?f(x0)f(x0?x)?f(x0)?x?f(x0)?lim?lim?limf(x0)?f(x0)?0?f(x0)?f(x0). ?x?0?x?0?x?0?x?0?x?x如果 y?f(x)点 x0 处连续，那么 y?f(x)在点 x0 处可导，是不成立的. ?lim 例：f(x)?|x|在点 x0?0 处连续，但在点 x0?0 处不可导，因为?y?y?y 不存在. ?1；当?x0 时，?1，故 lim ?x?0?x?x?x ?y|?x| ，当?x0 时，? ?x?x 注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数 y?f(x)在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点 P(x0,f(x)处的切线的斜率是 f(x0)，切线方程为 y?y0?f(x)(x?x0). 4. 求导数的四则运算法则： (u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?.?fn(x) (uv)?vu?vu?(cv)?cv?cv?cv（c 为常数） vu?vu?u? (v?0) ? v2?v? 注：u,v 必须是可导函数. 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 22 例如：设 f(x)?2sinx?，g(x)?cosx?，则 f(x),g(x)在 x?0 处均不可导，但它们和 xx f(x)?g(x)?sinx?cosx 在 x?0 处均可导. 5. 复合函数的求导法则：fx(?(x)?f(u)?(x)或yx?yu?ux 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： 函数单调性的判定方法：设函数 y?f(x)在某个区间内可导，如果 f(x)0，则 y?f(x)为增函数；如果 f(x)0，则 y?f(x)为减函数. 常数的判定方法； 如果函数 y?f(x)在区间 I 内恒有 f(x)=0，则 y?f(x)为常数. 注：f(x)?0 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 y?2x3 在(?,?)上并不是都有 f(x)?0，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样 f(x)?0 是 f（x）递减的充分非必要条件. 一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负） ，那么 f（x） 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在 x0 附近所有的点，都有 f(x)f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的极大值，极小值同理）当函数 f(x)在点 x0 处连续时， 如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值； 如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值. 也就是说 x0 是极值点的充分条件是 x0 点两侧导数异号，而不是 f(x)=0. 此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注： 若点 x0 是可导函数 f(x)的极值点，则 f(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点 x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数 y?f(x)?x3，x?0 使 f(x)=0，但 x?0 不是极值点. 例如：函数 y?f(x)?|x|，在点 x?0 处不可导，但点x?0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： ?0（C 为常数） (sinx)?cosx (arcsinx)? 1?x 2 (xn)?nxn?1（n?R）(cosx)?sinx (arccosx)? 1?x 2 II. (lnx)? 111 (logax)?logae(arctanx)?2 xxx?1 1x?1 2 (ex)?ex (ax)?axlna (arccotx)? III. 求导的常见方法： 常用结论：(ln|x|)? (x?a1)(x?a2).(x?an)1 .形如 y?(x?a1)(x?a2).(x?an)或 y?两 (x?b1)(x?b2).(x?bn)x 边同取自然对数，可转化求代数和形式. 无理函数或形如 y?xx 这类函数，如 y?xx 取自然对数之后可变形为 lny?xlnx，对两边 y1 求导可得?lnx?x?y?ylnx?y?y?xxlnx?xx. yx 导数中的切线问题 例题 1：已知切点，求曲线的切线方程，?1)处的切线方程为（ ） 曲线 y?x3?3x2?1 在点(1 例题 2：已知斜率，求曲线的切线方程 与直线 2x?y?4?0 的平行的抛物线 y?x2 的切线方程是（ ） 注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为 y?2x?b，代入 y?x2，得x2?2x?b?0，又因为?0，得 b?1，故选 例题 3：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法 ，?1)的切线方程 求过曲线 y?x3?2x 上的点(1 例题 4：已知过曲线外一点，求切线方程 1 0)且与曲线 y?相切的直线方程 求过点(2， x 16)作曲线 y?f(x)的切线，求此切线方程练习题： 已知函数 y?x3?3x，过点 A(0， 看看几个高考题1.（XX 全国卷）曲线 y? x 在点?1,1?处的切线方程为 2x?1 2.（XX 江西卷）设函数 f(x)?g(x)?x2，曲线 y?g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为 y?2x?1，则曲线 y?f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为 3.（XX 宁夏海南卷）曲线 y?xex?2x?1 在点（0,1）处的切线方程为 。 4.（XX 浙江） （本题满分 15 分）已知函数 f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b (a,b?R) （I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求 a,b的值； 5.（XX 北京） （本小题共 14 分） 设函数 f(x)?x3?3ax?b(a?0). （）若曲线 y?f(x)在点(2,f(x)处与直线 y?8 相切，求 a,b 的值； .1 函数的单调性和导数 1利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地，设函数 y?f(x)在某个区间可导， 如果在这个区间内 f(x)?0，则 y?f(x)为这个区间内的； 如果在这个区间内 f(x)?0，则 y?f(x)为这个区间内的 2利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数 f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式 f ?(x)0，得函数的单调递增区间； 解不等式 f ?(x)0，得函数的单调递减区间 【例题讲解】 篇三：高中数学导数知识点归纳高中数学选修 2-2 知识点 第一章 导数及其应用 一导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数 y?f(x)在x?x0 处的瞬时变化率是 ?x?0 lim f(x0?x)?f(x0) ， ?x 我们称它为函数 y?f(x)在 x?x0 处的导数，记作f?(x0)或 y?|x?x0， 即 f?(x0)=lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?x 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 Pn 趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。容易 知道，割线 PPn 的斜率是 kn? f(xn)?f(x0) ，当点 Pn 趋近于 P 时，函数 y?f(x)在 x?x0 处的导 xn?x0 f(xn)?f(x0) ?f?(x0) xn?x0 数就是切线 PT 的斜率 k，即 k?lim ?x?0 3. 导函数：当 x 变化时，f?(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数. y?f(x)的导函数有 时也记作 y?,即 f?(x)?lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?x 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2 若 f(x)?x,则 f?(x)?x ? ?1 ; 3 若 f(x)?sinx,则 f?(x)?cosx 4 若 f(x)?cosx,则f?(x)?sinx; 5 若 f(x)?a,则 f?(x)?alna 6 若 f(x)?e,则 f?(x)?e x x xx 1 xlna1 8 若 f(x)?lnx,则 f?(x)? x x 7 若 f(x)?loga,则 f?(x)? 2）导数的运算法则 2. f(x)?g(x)?f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) 3. f(x)f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) ? g(x)g(x)2 3）复合函数求导 y?f(u)和 u?g(x),称则 y 可以表示成为 x 的函数,即y?f(g(x)为一个复合函数 y?f?(g(x)?g?(x) 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果 f?(x)?0，那么函数 y?f(x)在这个区间单调递增； 如果 f?(x)?0，那么函数 y?f(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值（局部概念）与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数y?f(x)的极值的方法是: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f?(x)?0,右侧 f?(x)?0,那么 f(x0)是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f?(x)?0,右侧 f?(x)?0,那么 f(x0)是极小值; (3) 若 f（x）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y?f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数 y?f(x)在(a,b)内的极值； （2） 将函数 y?f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最 小的是最小值. 可导奇函数的导函数的是偶函数 可导偶函数的导函数的是奇函数