清华大学传热学课件——第2章a

第 2章 稳态导热 1研究方法研究方法 ：从从 连续介质连续介质 的假设出发、从宏观的角度的假设出发、从宏观的角度来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系。响因素之间的关系。 一般情况下，绝大多数固体、液体及气一般情况下，绝大多数固体、液体及气体都可以看作连续介质。但是当分子的平均体都可以看作连续介质。但是当分子的平均自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时，如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不，如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不能认为是连续介质。能认为是连续介质。 2主要内容主要内容 ：（ 1） 导热的基本概念、导热导热的基本概念、导热 基本定律基本定律 ； （ 2） 导热现象的数学描述方法导热现象的数学描述方法 ； （ 3） 几种稳态导热的计算方法。几种稳态导热的计算方法。 2.1 导热的基本概念与基本定律导热的基本概念与基本定律（ 1） 温度场温度场在在 时刻，物体内所有各点的温度分布称为该时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的物体在该时刻的 温度场温度场 。 一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为角坐标系中，温度场可表示为1 . 基本概念：基本概念：3非稳态温度场非稳态温度场温度随时间变化的温度场，其中的导热称为温度随时间变化的温度场，其中的导热称为非稳态导热非稳态导热 。稳态温度场稳态温度场温度不随时间变化的温度场，其中的导热称温度不随时间变化的温度场，其中的导热称为为 稳态导热稳态导热 。一维温度场一维温度场二维温度场二维温度场三维温度场三维温度场4（ 2） 等温面与等温线等温面与等温线在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为面称为 等温线等温线 或或 等温面等温面 。 等温面上任何一条线都是等温面上任何一条线都是等温线。如果用一个平面和一组等温线。如果用一个平面和一组等温面相交等温面相交 , 就会得到一组等温就会得到一组等温线。温度场可以用一组等温面或线。温度场可以用一组等温面或等温线表示。等温线表示。 等温面与等温线的特征：等温面与等温线的特征：同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能相交；相交； 在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）或在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，不可能在物体中中断体的边界，不可能在物体中中断 。 5（ 3） 温度梯度温度梯度在温度场中，温度沿在温度场中，温度沿 x方方向的变化率向的变化率 (即偏导数即偏导数 ) 明显明显 , 等温面法线等温面法线方向的温度变化率最大方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。，温度变化最剧烈。 温度梯度温度梯度 ： 等温面法线方向的温度变化率矢量：等温面法线方向的温度变化率矢量： n-等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加方向。等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加方向。 温度梯度是矢量，指温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。向温度增加的方向。6在直角坐标系中，温度梯度可表示为在直角坐标系中，温度梯度可表示为 分别为分别为 x、 y、 z 方向的偏导数方向的偏导数 ; i、 j、 k 分分别为别为 x、 y、 z 方向的单位矢量。方向的单位矢量。 （ 4） 热流密度热流密度热流密度的大小和方向可以用 热流密度矢量 q 表示 热流密度矢量 的 方向指向温度降低的方向。n tdAdq2. 导热基本定律 傅里叶定律7在直角坐标系中，在直角坐标系中， 热流密度矢量 可表示为可表示为 qx、 qy、 qz分别表示分别表示 q在三个坐标方向的分量的大小在三个坐标方向的分量的大小付里叶付里叶 （ Fourier） 于于 1822年提出了著名的导热基本年提出了著名的导热基本定律定律 傅里叶定律傅里叶定律 ，指出了导热热流密度矢量与温度梯，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。度之间的关系。对于对于 各向同性物体各向同性物体 , 付里叶定律表达式为付里叶定律表达式为傅里叶定律表明傅里叶定律表明 , 导热热流密度的大小与温度梯度导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。 8标量形式的付里叶定律表达式为标量形式的付里叶定律表达式为对于各向同性材料对于各向同性材料 , 各方向上的导热系数各方向上的导热系数 相等相等 , 由傅里叶定律可知由傅里叶定律可知 , 要计算导热热流量要计算导热热流量 , 需要知需要知道材料的热导率道材料的热导率 , 还必须知道温度场。所以还必须知道温度场。所以 ,求解温求解温度场是导热分析的主要任务。度场是导热分析的主要任务。9傅里叶定律的适用条件傅里叶定律的适用条件 ： （ 1）傅里叶定律只适用于各）傅里叶定律只适用于各向同性物体。对于各向异性物体向同性物体。对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关度梯度有关 ,还与热导率的方向性还与热导率的方向性有关有关 , 因此热流密度矢量与温度因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。梯度不一定在同一条直线上。 （ 2）傅立叶定律适用于工程技术中的一般稳态和）傅立叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于极低温（接近于非稳态导热问题，对于极低温（接近于 0K）的导热问）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程 , 如如大功率、短脉冲大功率、短脉冲 (脉冲宽度可达脉冲宽度可达 10-12 10-15s)激光瞬态激光瞬态加热等加热等 , 傅立叶定律不再适用。傅立叶定律不再适用。 xyqxqyqnxy3. 导热系数10导热系数反映物质导热能力的大小。根据傅里叶导热系数反映物质导热能力的大小。根据傅里叶定律表达式定律表达式 , 绝大多数材料的导热系数值都可以通过实验测得绝大多数材料的导热系数值都可以通过实验测得。11物质的导热系数在数值上具有下述特点物质的导热系数在数值上具有下述特点 : (1) 对于同一种物质对于同一种物质 , 固态的导热系数值最大固态的导热系数值最大 ,气态气态的导热系数值最小；的导热系数值最小； (2)一般金属的导热系数大于非金属的热导率一般金属的导热系数大于非金属的热导率 ； (3)导电性能好的金属导电性能好的金属 , 其导热性能也好其导热性能也好 ； (4)纯金属的导热系数大于它的合金纯金属的导热系数大于它的合金 ； (5)对于各向异性物体对于各向异性物体 ,导热系数的数值与方向有关导热系数的数值与方向有关 ； (6)对于同一种物质对于同一种物质 , 晶体的导热系数要大于非定形晶体的导热系数要大于非定形态物体的热导率态物体的热导率 。 导热系数数值的影响因素较多导热系数数值的影响因素较多 , 主要取决于物质主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态的种类、物质结构与物理状态 , 此外温度、密度、湿此外温度、密度、湿度等因素对导热系数也有较大的影响。其中温度对导度等因素对导热系数也有较大的影响。其中温度对导热系数的影响尤为重要。热系数的影响尤为重要。 12温度对导热系数的影响：温度对导热系数的影响：一般地说一般地说 , 所有物质所有物质的的 导热系数导热系数 都是温度的函都是温度的函数数 ,不同物质的热导率随不同物质的热导率随温度的变化规律不同。温度的变化规律不同。 纯金属的纯金属的 导热系数导热系数 随随温度的升高而减小。温度的升高而减小。 一般合金和非金属的一般合金和非金属的导热系数导热系数 随温度的升高而随温度的升高而增大。增大。 13大多数液体（水和大多数液体（水和甘油除外）的甘油除外）的 导热系数导热系数随温度的升高而减小。随温度的升高而减小。 所有气体的导热系所有气体的导热系数均随温度升高而增大数均随温度升高而增大。 14在工业和日常生活中常见的温度范围内在工业和日常生活中常见的温度范围内 , 绝大多数绝大多数材料的导热系数可以近似地认为随温度线性变化材料的导热系数可以近似地认为随温度线性变化 , 表示表示为为0为按上式计算的为按上式计算的 0 下的热下的热导率值，并非导热系数的真实值导率值，并非导热系数的真实值。 b为由实验确定的常数，其数为由实验确定的常数，其数值与物质的种类有关值与物质的种类有关 。 多孔材料的导热系数多孔材料的导热系数 绝大多数建筑材料和绝大多数建筑材料和 保温材料保温材料 （或称（或称 绝热材料绝热材料 ）都）都具有多孔或纤维结构具有多孔或纤维结构 (如砖、混凝土、石棉、炉渣等如砖、混凝土、石棉、炉渣等 ), 不是均匀介质不是均匀介质 ,统称统称 多孔材料多孔材料 。 多孔材料的导热系数是指它的多孔材料的导热系数是指它的 表观导热系数表观导热系数 , 或称或称作作 当量导热系数当量导热系数 。15用于保温或隔热的材料。国家标准规定，温度低于用于保温或隔热的材料。国家标准规定，温度低于350 时导热系数小于时导热系数小于 0.12 W/(mK)的材料称为的材料称为 保温材料保温材料。保温材料保温材料 （或称（或称 绝热材料绝热材料 ）：）：多孔材料的导热系数随温度的升高而增大。多孔材料的导热系数随温度的升高而增大。 多孔材料的导热系数与密度和湿度有关。一般情况多孔材料的导热系数与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈大，热导率愈大。下密度和湿度愈大，热导率愈大。典型材料导热系数的数值范围典型材料导热系数的数值范围纯金属纯金属 50-415 W/mK 合金合金 12-120 W/mK 非金属固体非金属固体 1-40 W/mK 液体液体 (非金属非金属 ) 0.17-0.7 W/mK 绝热材料绝热材料 0.03-0.12 W/mK 气体气体 0.007-0.17 W/mK 2.2 导热问题的数学描述（数学模型） 161. 导热微分方程式的导出导热微分方程式的导出 导热微分方程式导热微分方程式 +单值性条件单值性条件建立数学模型的目的：求解温度场建立数学模型的目的：求解温度场依据依据 ：能量守恒和傅里叶定律。：能量守恒和傅里叶定律。 假设假设 ： 1）物体由各向同性的连续介质组成）物体由各向同性的连续介质组成 ； 2）有内热源，强度为）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为体积内的生成热，单位为 W/m3 。1）根据物体的形状选择坐标系）根据物体的形状选择坐标系 , 选取物体中的选取物体中的微元体作为研究对象；微元体作为研究对象； 导热数学模型的组成：导热数学模型的组成：步骤步骤 ：2）根据能量守恒）根据能量守恒 , 建立微元体的热平衡方程式建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件）根据傅里叶定律及已知条件 , 对热平衡方程对热平衡方程式进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式式进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。17导热过程中微元体的热平衡导热过程中微元体的热平衡 ： 单位时间内，净导入微元单位时间内，净导入微元体的热流量体的热流量 与微元体内热源与微元体内热源的生成热的生成热 V之和等于微元体热之和等于微元体热力学能的增加力学能的增加 dU, 即即 + V = dU = x + y + zx = x x+dx = qx dydz qx+dx dydz 18同理可得同理可得 从从 y和和 z方向净导入微元体的热流量分别为方向净导入微元体的热流量分别为于是于是 , 在单位时间内净导入微元体的热流量为在单位时间内净导入微元体的热流量为 单位时间内微元体内热源的生成热单位时间内微元体内热源的生成热： 单位时间内微元热单位时间内微元热力学能的增加：力学能的增加： 根据微元体的热平衡表达式根据微元体的热平衡表达式 + V = dU 可得可得导热微分导热微分方程式方程式19导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。间和空间变化的函数关系。 当导热系数当导热系数 为常数时为常数时 , 导热微分方程式可简化为导热微分方程式可简化为 式中式中 2是是 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 , 在直角坐标系中，在直角坐标系中，或写成或写成 称为称为 热扩散率热扩散率 , 也称也称 导温系数导温系数 , 单位为单位为 m2/s。 其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化快慢。其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化快慢。 木材木材 a =1.510-7 紫紫铜铜 a = 5.33 10-5 20导热微分方程式的简化导热微分方程式的简化 (1) 物体无内热源：物体无内热源：(2) 稳态导热：稳态导热：(3)稳态导热、无内热源：稳态导热、无内热源：2t = 0， 即即 21如果如果 为常数：为常数：圆柱坐标系下的导圆柱坐标系下的导热微分方程式热微分方程式 22球坐标系下的导球坐标系下的导热微分方程式热微分方程式 为常数时，为常数时，2. 导热微分方程式的导热微分方程式的 单值性条件单值性条件v 导热微分方程式推导过程中没有涉及导导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点热过程的具体特点 , 适用于无穷多个导热过适用于无穷多个导热过程程 , 也就是说有无穷多个解。也就是说有无穷多个解。v 为完整的描写某个具体的导热过程，必为完整的描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点须说明导热过程的具体特点 , 即给出导热微即给出导热微分方程的分方程的 单值性条件单值性条件 （或称（或称 定解条件定解条件 ），使），使导热微分方程式具有唯一解。导热微分方程式具有唯一解。v 导热微分方程式导热微分方程式 与与 单值性条件单值性条件 一起构成一起构成具体导热过程完整的数学描述。具体导热过程完整的数学描述。v 单值性条件单值性条件 一般包括一般包括 ： 几何条件几何条件 、 物理物理条件条件 、 时间条件时间条件 、 边界条件边界条件 。23241.几何条件说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。2.物理条件说明导热物体的物理性质说明导热物体的物理性质 , 例如物体有无内热源以例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数及内热源的分布规律，给出热物性参数 (、 、 c、 a等 )的数值及其特点等。的数值及其特点等。 3.时间条件说明导热过程时间上的特点说明导热过程时间上的特点 , 是稳态导热还是非稳是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热态导热。对于非稳态导热 , 应该给出过程开始时物体内应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：部的温度分布规律（称为初始条件）： 254.边界条件说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用的相互作用 , 例如例如 ,边界上的温度、热流密度分布以及边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。边界与周围环境之间的热量交换情况等。常见的边界条件分为以下三类常见的边界条件分为以下三类 :(1) 第一类 边界条件给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律： (2) 第二类 边界条件给出边界上的热流密度分布及给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：其随时间的变化规律： 26(3) 第三类 边界条件给出了与物体表面进行对流换热给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度的流体的温度 tf及表面传热系数及表面传热系数 h 。用电热片加热物体表面可实现第二类边界条件。用电热片加热物体表面可实现第二类边界条件。如果物体的某一表面是绝热的如果物体的某一表面是绝热的 , 即即 qw = 0 , 则则 物体内部的等温面或等温线物体内部的等温面或等温线与该绝热表面垂直相交。与该绝热表面垂直相交。 根据边界面的热平衡，由傅里叶根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得定律和牛顿冷却公式可得 第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为化率与边界处对流换热之间的关系，也称为 对流换热边对流换热边界条件界条件 。27上式描述的第三类边界条件是线性的上式描述的第三类边界条件是线性的 , 所以也所以也称为称为 线性边界条件线性边界条件 ，反映了导热问题的大部分实际，反映了导热问题的大部分实际情况。情况。 如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热围环境之间的辐射换热 , 则边界面的热平衡表达式为则边界面的热平衡表达式为 qr 为物体边界面与周围环境之间的净辐射换热热为物体边界面与周围环境之间的净辐射换热热流密度，它与物体边界和周围环境的温度和辐射特性流密度，它与物体边界和周围环境的温度和辐射特性有关有关 , 是温度的复杂函数。这种对流换热与辐射换热是温度的复杂函数。这种对流换热与辐射换热叠加的复合换热边界条件叠加的复合换热边界条件 是非线性的边界条件是非线性的边界条件 。 本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。28综上所述综上所述 , 对一个具体导热过程完整的数学描对一个具体导热过程完整的数学描述（即导热数学模型）应该