初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共 4页，满分 120分，考试时间：3 月 22日 8:3010:30）一 二 三 总分题号（110） （1118） 19 20得分一、选择题（本大题满分 50分，每小题 5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案1. 方程 0291x的根是A. B. 291 C. -2009 D. 20092. 如果 ba，且 ，那么 a与 2b的关系是A 2 B C 2a b D 2a b3. 如图所示，图 1是图 2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的） ，那么，图 1中的线段 AB在图 2中的对应线段是A k B h C e D d 4. 如图，A、B、C 是O 上的三点，OC 是O 的半径，ABC=15，那么OCA 的度数是A75 B72 C70 D65图 1 图 2 （第 3题图） （第 4题图）5. 已知 a2=3， b=6， c2=12，则下列关系正确的是ABAB COA cba2 B cab2 C bac2 D. bac26. 若实数 n满足 (n-2009 ) 2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是A1 B 1 C0 D. -17. 已知ABC 是锐角三角形，且ABC，则下列结论中错误的是AA60 BC60 CB45 DBC908. 有 2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是 1，第二个数是-1，则这 2009个数的和是A-2 B-1 C0 D29. 0 的半径为 15，在0 内有一点 P到圆心 0的距离为 9，则通过 P点且长度是整数值的弦的条数是A5 B7 C10 D1210. 已知二次函数 )(2acbxay的图象如图所示，记 p， q，则下列结论正确的是A q0 B p0C 0 D 0二、填空题（本大题满分 40分，每小题 5分）11. 已知 | x|=3， 2y=2，且 yx0，则 yx= .12. 如果实数 ba,互为倒数，那么 221ba .13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球 4个，绿球 6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为 5，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 .14. 如图，在直线 3xy上取一点 P，作 A x轴， PB y轴，垂足分别为A、B，若矩形 OAPB的面积为 4，则这样的点 P的坐标是 .15. 如图，AD 是ABC 的角平分线，B=60, E, F分别在 AC、AB 上，且AE=AF，CDE=BAC，那么，图中长度一定与 DE相等的线段共有 条.（第 10题图）yx0 1（第 14题图） （第 15题图） （第 16题图）16. 如图，等腰梯形 ABCD中，AD/BC，DBC=45，折叠梯形 ABCD，使点 B重合于点D，折痕为 EF，若 AD=2，BC=8，则 tanCDE= .17. 实数 yx,满足 0622yx，设 xyw82，则 w的最大值是 .18. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（10，0） ， 点 B 的坐标为（8，0） ，点 C，D 在以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形，则点 C的坐标为 .（第 18题图）三、解答题（本大题满分 30分，每小题 15分）19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了 100 元，按该书定价 2.8 元出售，很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出 0.5 元，共用了 150 元，所购得书的数量比第一次多 10 本；这批书按原定价售出 80%后，出现滞销，便以 5 折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通过计算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.20. 如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=3 ，BC=4，点 E 在 AC 上（点 E 与 A、C 都不重合） ，点 F 在斜边 AB 上（点 F 与 A，B 都不重合）（1）若 EF 平分 RtABC 的周长，设 AE= x，AEF 的面积为 y，写出 与 x之间的函数关系式，并指出 x的取值范围；（2）试问：是否存在直线 EF将 RtABC 的周长和面积同时平分，若存在，求出 AE 的长，若不存在，说明理由 .3xyo xyDFBAECABDCFExyO M BCADAFECB2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试题参考答案一、选择题：DBCAB，CDADB提示：1D；由 029x，得 209,129x2B；由 ba0， 0 知 a0 且| | b|，所以| a|2| b|2，即 a2 2；3C；将图 1中的平面图折成正方体4A；延长 CO交于O 于 D，连结 AD，则D=B=15，因为 CD为O 的直径，所以CAD=90，所以在 RtACD 中 , OCA=9015=75.5B；由 2 a=3，2 c=12，得 2 a2c=312. 即 2 ca=36=62，而 2 b=6bbc)(6C；设 1,08,9bnn则 ，又 0,)(2222 a即且7D；若BC90，则 A90，这与ABC 是锐角三角形矛盾，故 D错.8A；先据题意写出前面一些数：1，1，2，1，1，2，1，1，经观察发现从左向右数每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这 2009个数是由 1，1，2，1，1，2 这6个数组成的数组重复排列而成，而 1(1)(2)(1)12=0，又 2009=33465，这说明，这 2009个数的和等于最后五个数：1，1，2，1，1 的和.9D；过 P点的最长的弦是直径，其长为 30，最短的弦长= 4952，所以O 中，通过 P点的弦长L的取值范围是 24L30，又 L为整数，所以 L的值可取 24，25，26，27，28，29，30，又根据圆的对称性知：长度为 25，26，27，28，29 的弦各有 2条，故共有 12条.10. B；由图象知 a0， c=0， ab1，从而 2 b0，又 aba3)(20，即ba2 .二、填空题：11. 9或 1 12. 1 13. 3 14.（4，-1） ， （-1，4） 15. 3条 16. 5 17. O 18.（1，3）提示：119 或 ；由条件知 x， 2y121；由已知条件知 ab=1，所以原式 )(22 ba1ba13. 3；设口袋中有黄球 x个，依题意，得 ，所以 P（摸出 1个黄球）=14. （4，-1） ， （-1，4） ；设点 P的坐标为（ ,） ，由题意得分程组 解此方程组即可.15. 3条；易知AFDAED，所以AFD=AED，DE=DF，又CDE=BAC，C 为公共角，所以DEC=B=60，所以AFD=AED=120，所以BFD=60，又B=60，所以BDF 为等边三角形，所以 DB=BF=DF=DE.16 5；因为折叠后点 B与 D重合，所以 EDB=DBC=45，BED=90 ，即 DEBC，在等腰梯形ABCD中，CE= ，DE=BE=8-3=5 tanCDE= 17. O；由 0622yx，得 xy62知 0，又 xy62，1)(862xxw，由此可见，当 -1 时， w随着 的增大34| 3155,264x3)8(1(AC53E而减小，又因为 x0-1, ，故当 x=0时， w的最大值是 0.18. （1, 3） ； 四边形 OCDB是平行四边形，B（8，0） ， CD/OA，CD=OB=8过点 M作 MFCD 于点 F，则 CF= CD=4过点 C作 CEOA 于点 E， A（10，0） ，OE=OMME=OMCF=54=1.连结 MC，则 MC= OA=5 在 RtCMF 中， 34522C 点 C的坐标为（1，3）三、解答题19. 解：设第二次购书 x本，依题意得整理得 ，解得当 x=50时，15050=32.8，这与实际不符，舍去.当 =60时，15060=2.52.8，符合题意，由2.86080%2.80.56020% =151.2；151.2-150=1.2（元）20. 解：（1）在 RtABC 中，AC=3，BC=4，所以 AB=5，ABC 的周长为12，又因 EF平分ABC 的周长，AEAF=6，而 AE=x，AF=6 ， 过点