图形的运动与坐标

1图 形 的 运 动 与 坐 标 几 何 变 换 是 指 把 一 个 几 何 图 形 F1变 换 成 另 一 个 几 何 图 形 F2的 方 法 。 我 们 初中 阶 段 学 习 的 几 何 变 换 有 四 种 ： 平 移 变 换 ， 旋 转 变 换 ， 轴 对 称 变 换 和 位 似 变 换 。几 何 变 换 虽 然 不 改 变 图 形 的 形 状 ， 但 改 变 了 图 形 的 位 置 。 那 么 ， 如 何 将 图 形 的 运 动 后 的 位 置 确 切 的 表 示 出 来 呢 ？ 若 将 图 形 放 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 将 变 换 前 和 后 的 坐 标 分 别 表 示 出 来 ， 就 可知 变 换 的 具 体 规 律 。 且 我 们 知 道 图 形 是 由 点 组 成 的 ， 而 图 形 的 运 动 实 质 是 点 的 运动 。 只 要 研 究 一 对 对 应 点 的 变 化 规 律 ， 其 他 的 对 应 点 横 纵 坐 标 同 时 作 相 同 的 变 化 ，就 可 以 得 到 图 形 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 如 何 运 动 了 。 现 就 探 讨 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 当 图 形 作 以 上 四 种 变 换 时 ， 其 中 任 意 一 对 对 应点 点 A到 点 B坐 标 变 化 规 律 及 其 应 用 。 一 平 移 变 换 1 定 义 ： 图 形 的 平 行 移 动 。 平 移 是 由 平 移 的 方 向 和 平 移 的 距 离 决 定 的 。 2 性 质 ： 平 移 后 的 图 形 与 原 图 形 全 等 ， 对 应 线 段 平 行 或 在 同 一 直 线 上 且 相 等 ，对 应 角 相 等 。 3 坐 标 的 变 换 ： 1.,AxyBmy点 A沿 x轴 平 移 m个 单 位 长 度 得 到 B点若 0则 点 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 B点 ，若 0,则 点 A向 上 平 移 个 单 位 长 度 得 到 点 ，若 0,n， 则 点 A先 向 右 平 移 m个 单 位 长 度 ， 再 向 上 平 移 n个 单 位 长 度 得 到 B点 ，若 ， 则 点 先 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 个 单 位 长 度 得 到 点 ，若 ,， 则 点 先 向 左 平 移 个 单 位 长 度 ， 再 向 上 平 移 个 单 位 长 度 得 到 点 ，若 ， 则 点 先 向 左 平 移 个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 个 单 位 长 度 得 到 点 .1.56.,3216.5AB例 说 出 下 面 的 点 是 如 何 移 动 的 ： ,2B-5.,3解 ：点 移 到 点 是 先 向 左 平 移 了 个 单 位 长 度 ， 再 向 上 平 移 了 1个 单 位 长 度例 2如图：ABC 的顶点坐标如图所示， A(2,3)，B(0,0)，C(4,0)，若 A 点经过平移到达点 D(8,8)，问： ABC 经过怎样平移得到DEF，并求其它两点的坐标？解：由题意得：ABC 经过向上平移 6 个单位，向右平移 5 个单位得到DEF。平移后点 E,点 F 的坐标分别为 E（6,5） ， F(10,5)。二旋转变换1定义：把平面图形 F1 绕一定点旋转一个角度得到 图形 F2，则由F1 到 F2 的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角。旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角度决定的。2性质：旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。3坐标的变换：因旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角度决定的，这三个要素都具有随意性，所以旋转变换中，点的坐标变化情况要具体问题具体分析。对图形的旋转中心在坐标原点，旋转角度是 900，180 0，270 0，也是有一定规律可循的。若将点 A 绕坐标原点逆时针旋转 900 到点 B， ,Axyx若将点 A 绕坐标原点顺时针或逆时针旋转 1800 到点 B，即中心对称：3,AxyBxy若将点 A 绕坐标原点逆时针旋转 2700 到点 B， ,例 3如图：OAB 的三个顶点的坐标为，A(0,4), B(-3,0), O(0,0) 。（1）求将它绕点 O 逆时针方向旋转 90后各顶点的坐标。（2）求将它绕点 O 逆时针方向旋转 180后各顶点的坐标。（3）求将它绕点 O 逆时针方向旋转 270后各顶点的坐标。解:如图(1)A 1(-4,0),B1(0,-3) (2)A2(0,-4),B2(3,0);(3)A3(4,0),B3(0,3);三 轴对称变换1定义：如果把一个图形沿着同一平面内的一直线翻折 1800，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。2性质：两个图形关于某条直线对称，那么对称点的连线被对称轴垂直平分，如果他们的对应点的连线或其延长线相交，那么交点必定在对称轴上。3坐标的变换： A,BXAx,y,By若 点 关 于 轴 对 称 ：若 点 关 于 Y轴 对 称 ：, x,yx若 点 关 于 第 一 ， 三 象 限 的 平 分 线 成 轴 对 称 :ABAB若 点 关 于 第 二 ， 四 象 限 的 平 分 线 成 轴 对 称 ：例 4已知ABC 的三个顶点的坐标为： A(2，1), B(5，1), C(3，4)，（1）求 ABC 关于 Y 轴的对称图形A 1B1C1 的三个顶点的坐标。（2）求 ABC 关于 X 轴的对称4图形A 2B2C2 的三个顶点的坐标。解：如图：（1）A 1B1C1 的三个顶点的坐标分别为 A1 (-2,1), B1 (-5,1), C1 (-3,4)。（2）A 2B2C2 的三个顶点的坐标分别为 A2 (2,-1), B2 (5,-1), C2(3,-4)。四位似变换平移变换，旋转变换，轴对称变换都是只改变图形的位置，而图形的形状，大小都不发生改变的合同变换。位似变换只保持图形的形状不发生改变，位置和大小都发生改变的变换。1定义：若两个图形相似且对应点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。交点叫位似中心2性质：作位似变换可以将图形放大或缩小。3坐标的变换：因为图形作位似变换，位似中心可以取在图形的外部，内部，边上或顶点处，且位似的图形可以与原图形在同一侧或在异侧，所以坐标变化的规律也比较难找。现以原点为位似中心，位似图形与原图形在位似中心的同一侧，将图形放大m 倍,对应点点 A 变化到点 A,xymxy例 5已知OAB 的三个顶点的坐标为：A(2,4), B(6,0), O(0,0) ，（1）以 O 为位似中心，缩小到原图形的 12的位似图形A 1B1C1 的三个顶点的坐标；（2）以 A 为位似中心，缩小到原图形的 的，位似图形A 2B2C2 的三个顶点的坐标；（3）以 B 为位似中心，缩小到原图形的 12 的，位似图形A 3B3C3 的三个顶点的坐标，解： （1）如图：O 1A1B1 的三个顶点的坐 标分别为 O1(0,0)A1 (1,2)B1 (3,0)或O11（0,0）A 11 (-1,-2)B11 (-3,0).5（2）如图：O 2A2B2 的三个顶点的坐标分别为 O2(1,2)A2 (2,4)B2 (4,2)或O22