初中数学应用题教学再探究

1初中数学论文寒雪梅中尽 春风柳上归初中数学应用题教学再探究摘 要 “数学是人们生活、 劳动和学问必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明。 ”数学应用题巧妙地把纯数学问题和实际问题联 系起来，数学 应用题教学是运用数学知识、数学方法和数学思想来分析研究客观 世界的种种表象并加工整理而获得解决实际问题的过程。因此， 应用题教学是数学教学的重要组成部分。而且通过应用题的解题教学，能培养学生分析问题 、解决 问题的能力，同时提高他们的阅读理解能力、数据处理能力、归纳类比能力和创新能力。本文就初中数学应用题 教学的难点探究解决问题要过的三关：审题关、建模关、解模关。关键词 初中数学 应用题 教学策略数学极具抽象性和逻辑推理性，一直都有“科学之王”的美称，数学教学是整个数学教学体系中最基本的一环，而其中的应用题教学一向是重难点所在，它囊括了数学知识的方方面面，逻辑性很强，是很多学生的薄弱点，为此很多教师都在这方面进行了积极的探索，应用题的教学改革也成为很多专家和学者关注的焦点。从义务教育数学课程标准（2011 年版） 可以看出，应用题教学的目的是要培养学生运用所学知识解决生活中比较简单的实际问题，旨在培养学生的思维能力和概括总结能力及相应的动手能力，所以如何教会学生怎样思考、怎样解决这类问题是我们教学的重点所在。从根本上讲，初中数学应用题教学效果的提升与学生的阅读能力及建模能力紧密相连，所以我们可以通过一定量数学应用题的审题、建模、解模的教学，来对学生进行思维的训练，从而实现全面提高学生的数学能力。一、把握关键词句，巧过审题关审题是解答应用问题的起点，只有有效地审题才能准确理解题意，弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念的含义，分析已知条件，明确所求的结论，才能把实际问题转化为数学问题。从教学层次来讲，培养学生的数学能力首先要培养学生数学语言的阅读能力，虽然数学语言相对于语文比较抽象难懂，但只要老师引导合适，学生勇于尝试，问题就可以解决，具体来讲，我们可以从以下两方面着手，锻炼学生的阅读能力。1巧提关键词在阅读时不仅要特别留心题目短文中的事件情景、具体数据、关键语句等细节，而且要注意问题的提出方式，依此估计本题是我们平常练习时的哪种类型或和那种类型相似，可能会涉及到哪些知识，一般是如何解决的，在头脑中建立初步的印象。然后在弄清背景知识的前提下，进行信息筛选，去掉无关的信息，提炼有用信息，抓住关键词。阅读时最好的方法是：第一遍可以用笔在关键词的下面做上记号，特别当心的是有些关键词表面类似而实际不同，如“数，数字” 第几年” “增加几倍，增加到几倍” “翻一番，增加百分之几”等等，都要求咬文嚼字，分辨清楚实际上对关键词最重要的处理是实际问题语言和数学语言之间的相互训练。第二遍再仔细阅读这些关键词句，从中找出数量关系，以2及等量关系，把这些实际问题转化为数学问题。当然，如果不够，可读 3 遍、5 遍,甚至 10遍。 “读书百遍，其义自见”这是解决数学阅读、理解题意的关键。在解一元一次方程（二） 第 1 课时的教学中有这样一个引入问题：例 1：某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少 2000 度，全年用电 15 万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？题中的关键词及数据:(1)作为条件：2000 度（月平均用电量减少） ，15 万度， （全年用电） （2）作为所求：上半年每月平均用电量。题中的关键句：全年用电 15 万度。用方程解这道题时要注意关键词“月平均”，隐含着“一年十二个月” ，这样在建模列方程时“上半年用电”就不会忘了乘以 6 而导致解题错误。2精析关键词数学学习本身就是一个将抽象思维变成文字表达的过程，所以我们必须鼓励学生多思考、勤转化，对于像图表、符号之类的东西，启发学生转化成文字表达出来，而文字又可以通过式子来表现出来。例 2：为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30 天）的通话时间 x（min）与通话费 y（元）的关系如图所示：（1）分别求出通话费 y1，y 2与通话时间 x 之间的函数关系式；（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜。本题的主要问题是写出函数关系式，但有关信息只以图形的方式呈现，那就必须读懂图形，将其转化为文字或数学符号语言。以“如意卡”为例，从图象中知晓的函数关系是一次函数，不妨设函数的图象为过原点（0，0）和（30，15）两点的直线解析式，将他们的坐标分别代入方程，可求得解析式，为进一步比较哪一种卡便宜而提供条件。二、善于归纳整理，智通建模关数学模型是指对于客观世界的某一特定现象，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个以数学方式给予表示的数学结构。数学建模就是找出具体课题的数学模型，把实际问题化成一个数学问题，建立数学模型，这个过程称为数学建模” 。 应用题的背景成千上万，但是抽象为数学问题时就是一个数学模型。所以，我们要将问题归纳为数学模型，同一模型的问题可以抽象为同类数学问题，这样可以将学生从题海中解脱出来，减轻学生学习负担。所以在教学中，我们应该锻炼学生的建模能力，促进应用题教学效果。1.教材建模常识梳理虽然很多时候我们会觉得教材有些陈旧，但是通常建模能力的培养都是通过教材来体现的。教材中往往会出现大家耳熟能详的体积、面积、航行、分配等一系列问题的解决方式和方法，这些都是解答应用题的套路，我们要重视教材的讲解，重视从生活实际中，从学生感兴趣的话题中提炼题材，力争让学生通过这些问题了解数学建模的主要方法，并鼓3励学生自行解决相关问题。信息加工理论告诉我们，在提取存贮的信息时，提取线索起着重要的作用。提取线索与记忆痕迹越接近，提取越有效。为此，在教学中应指导学生对应用题进行归类整理，并提供一般的建模思路，使之能迅速、准确地进行数学建模。引导学生将应用题进行归类，使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难。这样，学生遇到应用题时，针对问题情境，通过类比就可寻找记忆中与题目相类似的实际事件，然后利用联想，建立数学模型.数学应用题可归为如下几种类型：1.方程（组）型应用题 2.不等式（组）型应用题。3.函数型应用题。4.统计型应用问题。5.几何型应用问题。例 3：某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? （人教版数学七年级上册第 102 页）这是一道“销售中的盈亏问题” 。首先，教师对此进行问题分析： 假设一件衣服的进价是 x 元，以 60 元卖出，卖出后盈利 25%，那么这件衣服的利润是多少元？假设一件衣服的进价是 y 元，以 60 元卖出，卖出后亏损 25%，那么这件衣服的利润是多少元？其次，我们要考虑模型建立问题：问题 1 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是盈利的？归纳 盈利：销售价进价问题 2 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是亏损的？归纳 亏损：销售价进价问题 3 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时不亏不盈?归纳 不盈不亏：销售价进价问题 4 你发现利润、销售价、进价之间有怎样的关系？归纳 利润销售价进价问题 5 你发现利润、进价、利润率之间有怎样的关系？归纳 利润进价利润率问题 6 你发现销售价、进价、利润率之间有怎样的关系？归纳 销售价进价进价利润率我们通过认真审题，辨析，明确“销售中的盈亏问题”中涉及的量及量与量之间的关系，建构好“方程（组）型应用题”模型。可以与上面提到的例 1 归属于一类，他们的本质同属于“方程（组）型应用题”模型中的“各部分量之和等于总量”模型。而例 2 属于“函数型应用题” 。2.重视建模拓展演练应用题文字较长，数据信息较多，对学生阅读理解、信息筛选的能力要求较高，同时还必须提取已储存的信息，迅速实现信息转换，使实际问题转化为数学符号、数量关系，从而建立数学模型。并在建构数学模型的基础上，我们要加强应用数学模型训练，并尽可能做到拓展延伸。比如，教学中教师可以引导学生在例 3 的基础上再变题进行模型的应用、拓展：应用 1：“打折销售”是商家进行促销活动的常用手法之一，商家常常将“打折销售”说成是“亏本大甩卖” 电器商场的一种新型电子产品按每件 600 元卖出时，可获利50%在促销活动中该电子产品按标价的七折售出，商场卖出该电子产品亏本了吗？说说你4的理由应用 2：某件商品进价为 250 元，按标价的九折销售时，利润为 15.2%，这件商品的标价是多少？应用 3：一商场将每台彩电先按进价提高 40%标出售价，然后广告宣传将以 80%的优惠价出售，结果每台彩电赚了 300 元，则经销这种商品的利润率是多少?应用 4：某件商品进价是 3 000 元，标价为 4 500 元，商场规定该商品售出时利润率不低于 5%那么售货员在出售该商品时最多可以打几折？引导学生在数学学习活动中探索规律、 “创造”数学模型，使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展数学模型中的量既可以是确定的固定的量，也可以是相对变化的量通过对数学模型的量作了适当的处置，可以解决原本需要用不等式解决的“应用 4”通过建立数学模型、应用数学模型，学生的数学知识结构和对数学思想方法的认识会逐步上升到一个新台阶。三、加强技能训练，勇闯解模关在构建数学模型后，就要运用数学知识和方法来解答纯数学问题。应用题往往接近于生产和生活实际，一般它的数据并不一定很简洁，很多学生怕应用题的运算。有的教师碰到运算不叫学生算就直接给出答案，这样会造成学生的运算能力差，造成学生思维的断层，助长了学生的懒惰心理。教师在教学中应当不断地提高学生合理运用运算技巧和运算方法的能力，多给学生亲自运算的机会，使学生的运算思维达到一个较高的层面，从而树立学生顽强的运算毅力和学习毅力。1加强运算技能训练运算能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在，也不能离开其他能力而独立发展，运算能力是和记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透的，它也和逻辑思维能力等数学能力相互支持着。因而提高运算能力的问题，是一个综合问题，针对数学基础薄弱的学生，可以通过加强数学专题知识教学，开展数学运算技能训练，从而落实学生的数学基础知识，在教学过程中，只有经常总结规律，不断引导，逐渐积累，才能提高学生的数学运算技能。同样以上述例 3 为例，我们的模型求解可以如下：设盈利 25%的那件衣服的进价是 x元，那么它的利润就是 0.25x 元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程0.25x=60-x ，解得 x=48 元 设亏损 25%的那件衣服的进价是 y 元，那么它的利润就是-0.25y 元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程-0.25y =60-y ，解得 y=80 元 于是 4880128120 ，所以卖出这两件衣服总的是亏损的 “其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%”。咋一看这道题，容易感觉结果是不盈不亏，但经用方程模型探究计算后，可知总结果是亏损的。2.培养学生反刍意识在应用题教学中，通过典型问题，结合生活实际背景，引导学生对数学运算结果进行检验，剔除不符合实际背景的结果，培养学生解答应用题的检验意识，一方面能知道结果的错误，另一方面也能找到正确的结论。例 4：一次考试出了 25 道题，在所给的四种答案中选定一种。答对一题得 4 分，不答5或答错一题倒扣 1 分，如果一个学生得 90 分，他答对了几道题？一位学生是这样做的：解：设得 90 分的学生答对了 X 道题，由题意得方程：4X=90，解得 X=22.5，即该学生答对了 22.5道题。 另一位学生是这样做的：解：设得 90 分的学生答对了 X 道题，则不答或答错 25-X，由题意得方程：100-(25-X)=90，解得 X=15，即该学生答对了 15 道题。粗看上去上面的两种做法都是正确的。其实只要我们回到题目中认真分析一下不难发现两种皆错。第一个学生没有搞清楚这个题目隐含的条件：要么答对，要么答错或不答，即答案应该是非负整数，所以出现 22.5 道题的错误答案。第二个学生虽然得出整数解 15 道题，但是他没有从全局上把握好这个问题的实质，如果这个学生再仔细分析一下的话就会发现许多破绽：首先答对一题得 4 分，答对 15 道题只有 60 分，其次还要扣除答错或不答的 10 道题 10 分，这样的话答对 15 道题只能得 50 分而不是 90 分。“寒雪梅中尽，春风柳上归” ，应用题教学是学生综合运用数学知识的“场所” ，是对学生用数学知识解决生活实际问题能力的检验。在应用题教学中，教师能依据实际学生的身心特点，贯彻义务教育数学课程标准（2011 年版） 精神，想方设