百分数与配比问题

WESTWOOD百分数与配比问题 WESTWOOD第 1 页 共 8 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD一、商品的出售商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是 50 元，以 70 元卖出，就获得利润 70-5020（元）. 通常，利润也可以用百分数来说，2050 0.440 ，我们也可以说获得 40的利润.因此利润的百分数= （卖价-成本）成本100.卖价=成本 （1+利润的百分数）.成本=卖价 （1+利润的百分数）.商品的定价按照期望的利润来确定.定价=成本 （1+期望利润的百分数）.定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价 25，就是按定价的（ 1-25） 75出售，通常就称为 75 折.因此卖价=定价 折扣的百分数.例 1 某商品按定价的 80（八折或 80 折）出售，仍能获得 20的利润，定价时期望的利润百分数是多少？解：设定价是“1” ，卖价是定价的 80，就是 0.8.因为获得 20定价的期望利润的百分数是答：期望利润的百分数是 50.例 2 某商店进了一批笔记本，按 30的利润定价.当售出这批笔记本的 80后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是 1（1+ 30）1.3.其中80 的卖价是 1.380，20 的卖价是 1.3220.因此全部卖价是1.380 1.3 220 1.17.实际获得利润的百分数是1.171 0.1717.答：这批笔记本商店实际获得利润是 17.例 3 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10. 甲店按 20的利润来定价，乙店按 15的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2 元. 问甲店的进货价是多少元？解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是 0.9.乙店的定价是 1（1 15），甲店的定价就是 0.9（120）.因此乙店的进货价是11.2（1.15- 0.91.2）=160（元）.WESTWOOD百分数与配比问题 WESTWOOD第 2 页 共 8 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD甲店的进货价是160 0.9= 144（元）.答：甲店的进货价是 144 元.设乙店进货价是 1，比设甲店进货价是 1，计算要方便些.例 4 开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了 40，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？解：设去年的利润是“1”.利润下降了 40，转变成去年成本的 10，因此去年成本是 4010 4.在售价中，去年成本占因此今年占 80（1+10） 88.答：今年书的成本在售价中占 88.因为是利润的变化，所以设去年利润是 1，便于衡量，使计算较简捷.例 5 一批商品，按期望获得 50的利润来定价.结果只销掉 70的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82，问：打了多少折扣？解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润 0.5.现在出售 70商品已获得利润0.570 0.35.剩下的 30商品将要获得利润0.582-0.350.06.因此这剩下 30商品的售价是130 0.06 0.36.原来定价是 130 （1+50 ）0.45.因此所打的折扣百分数是0.360.4580 .答：剩下商品打 8 折出售.从例 1 至例 5，解题开始都设“1”，这是基本技巧. 设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.例 6 某商品按定价出售，每个可以获得 45 元钱的利润 .现在按定价打 85 折出售 8 个，所能获得的利润，与按定价每个减价 35 元出售 12 个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？解：按定价每个可以获得利润 45 元，现每个减价 35 元出售 12 个，共可获得利润（45-35 ）12 120（元） .出售 8 个也能获得同样利润，每个要获得利润120815（元）.不打折扣每个可以获得利润 45 元，打 85 折每个可以获得利润 15 元，因此每个商品的定价是（45-15 ） （1-85）200（元）.答：每个商品的定价是 200 元.WESTWOOD百分数与配比问题 WESTWOOD第 3 页 共 8 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD例 7 张先生向商店订购某一商品，共订购 60 件，每件定价 100 元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价 1 元，我就多订购 3 件.”商店经理算了一下，如果差价 4，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？解：减价 4，按照定价来说，每件商品售价下降了 10044 （元）. 因此张先生要多订购 4312（件）.由于 60 件每件减价 4 元，就少获得利润460 240（元）.这要由多订购的 12 件所获得的利润来弥补，因此多订购的 12 件，每件要获得利润24012 20（元）.这种商品每件成本是100-4-2076 （元） .答：这种商品每件成本 76 元.二、各种各样的问题百分数有着十分广泛的应用.这一节我们列举出有关百分数的各种各样的问题.例 8 小明训练 3000 米赛跑，如果速度提高 5，那么时间缩短百分之几？（百分数保留一位小数.）解：设原来的速度是“1”.时间缩短的百分数是也就是答：时间缩短了 4.8.从后一算式可以看出，无论是多少米赛跑，速度提高 5，时间就缩短了 4.8.换一句话说，考虑这一问题，与距离无关.例 9 采了 10 千克蘑菇，它们的含水量为 99，稍经晾晒后，含水量下降到 98.晾晒后的蘑菇重多少千克？解：晾晒前后蘑菇里的干物质（除了水分以外的其他成分）的重量是不变的.干物质的重量是10（1- 99）= 0.1（千克）.晾晒后，干物质将占总重量的（1-98）. 此时蘑菇重0.1（1-98）5（千克） .答：晾晒后蘑菇重 5 千克.这一例题的答案是否使你感到意外？下一例题可以说是例 9 的补充.例 10 有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到 3，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到 2，再加入同样多的水，此时盐水浓度是多少呢？又问未加水时盐水浓度是多少？WESTWOOD百分数与配比问题 WESTWOOD第 4 页 共 8 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD解：关键是先算出每次加多少水.浓度为 3，也就是盐 3 份，水 97 份，共 100 份.浓度下降为 2，原来 3 份，就成为 2，加水后总共是32 =150（份）.因此加入的水是 150-10050（份）.第三次加水后，浓度是未加入水时的浓度是答：三次加水后浓度是 1.5，未加水时浓度是 6.例 11 把一个正方形的一边减少 20，另一边增加 2 米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？解：设正方形的边长是“1”.因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了 20，另一边将增加所以正方形的边长是2258 （米）.正方形的面积是88 64（平方米）.答：正方形面积是 64 平方米.例 12 有一堆糖果，其中奶糖占 45，再放入 16 块水果糖后，奶糖就只占 25.问这堆糖中奶糖有多少块？解：奶糖占 25，其他糖果就是奶糖的（100-25）253 （倍）.原来其他糖果只有 1-4555.放入 16 块水果糖后是 453135.因此奶糖的块数是16（135- 55） 45 9（块）.答：这堆糖中，奶糖有 9 块.例 13 有两包糖果，第一包的粒数与第二包粒数之比是 25.在第一包中奶糖占 30，在第二包中其他糖占 42，如果把两包糖合在一起，奶糖所占的百分数是多少？解：设第一包为 2 份，第二包为 5 份.第一包中奶糖是 2300.6（份）. 第二包中奶糖是 5（1-42 ） 2.9（份）.合起来后，奶糖占（0.62.9）（2 5） 50.答：合在一起，奶糖占 50.这是一个典型问题，与第五讲第二节中求平均数，做法是一致的.例 14 早上水缸注满了水，白天用去了其中的 20，傍晚又用去 27 升，晚上用去剩下水的 10，最后剩下的水是半水缸多 1 升. 问早上注入多少升水？WESTWOOD百分数与配比问题 WESTWOOD第 5 页 共 8 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD解：白天和傍晚用去水后剩下1-2080少 27（升）晚上用去水是80108 少 2710 2.7（升）.白天、傍晚、晚上总共用去水208再加（27-2.7）升，它应该是 50少 1 升.因此 50- （208 ）是（ 27- 2.7） 1 升.早上水缸的水是（27-2.71）（50- 20- 8） 115（升）.答：早上注入水缸中的水是 115 升.三、浓度和配比一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.从一些基本问题开始讨论.例 15 基本问题一（1）浓度为 10，重量为 80 克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为 8的糖水？（2）浓度为 20的糖水 40 克，要把它变成浓度为 40的糖水，需加多少克糖？解：（1）浓度 10，含糖 8010 8（克），有水 80-872（克）.如果要变成浓度为 8，含糖 8 克，糖和水的总重量是 88100（克），其中有水100-892（克）.还要加入水 92- 72 20（克）.（2）浓度为 20，含糖 40208 （克），有水 40- 8 32（克）.如果要变成浓度为 40，32 克水中，要加糖 x 克，就有x3240（1-40 ），例 16 基本问题二20 的食盐水与 5的食盐水混合，要配成 15的食盐水 900 克. 问：20与 5食盐水各需要多少克？解： 20比 15多（20-15）， 5比 15少（15-5），多的含盐量（20 -15 ）20 所需数量要恰好能弥补少的含盐量WESTWOOD百分数与配比问题 WESTWOOD第 6 页 共 8 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD（15-5 ）5 所需数量.也就是画出示意图：相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.答：需要浓度 20的 600 克，浓度 5的 300 克.这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.例 17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价 5 元，蓝笔定价 9 元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85出售，蓝笔按定价 80出售.结果他付的钱就少了 18.已知他买了蓝笔 30 支，问红笔买了几支？解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为 1-1882 .（85%-82）（82%-80）32.按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是 23.设买红笔是 x 支，可列出比例式5x 9302 3答：红笔买了 36 支.配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例17 中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.例 18 甲种酒精纯酒精含量为 72，乙种酒精纯酒精含量为 58，混合后纯酒精含量为 62.如果每种酒精取的数量比原来都多取 15 升，混合后纯酒精含量为 63.25.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？解：利用例 16 的方法，原来混合时甲、乙数量之比是后一次混合，甲、乙数量之比是WESTWOOD百分数与配比问题 WESTWOOD第 7 页 共 8 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD这与上一讲例 14 是同一问题.都加 15，比例变了，但两数之差却没有变.5 与 2 相差 3，5 与 3 相差 2.前者 3 份与后者 2 份是相等的.把 25 中前、后两项都乘2，3 5 中前、后两项都乘 3，就把比的份额统一了，即现在两个比的前项之差与后项之差都是 5.15 是 5 份，每份是 3.原来这答：第一次混合时，取甲酒精 12 升，乙酒精 30 升.例 19 甲容器中有 8的食盐水 300 克，乙容器中有 12.5的食盐水 120 克. 往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.甲中含盐量：乙中含盐量= 300812012.5= 85.现在要使（300 克+倒入水）（120 克+倒入水）85.把“300 克+ 倒入水”算作 8 份，“120 克+ 倒入水”算作 5 份，每份是（300-120 ）（8-5）= 60（克）.倒入水量是 608-300 180（克）.答：每一容器中倒入 180 克水.例 20 甲容器有浓度为 2的盐水 180 克，乙容器中有浓度为 9的盐水若干克，从乙取出 240 克盐水倒入