第一章___函数__极限___连续

第一章 函数 极限 连续微积分是数学中的重要分支，是高等数学的核心. 函数和极限分别是微积分研究的对象和工具. 本章将在复习和加深函数有关知识的基础上，着重讨论函数的极限和函数的连续性等问题. 本章重点：函数概念，极限的四则运算，两个重要极限；连续函数概念及闭区间上连续函数的性质.难点：极限概念，函数的连续点和间断点的判别.第一节 第一节 函数重点：函数的概念及性质，求函数的定义域，基本初等函数的基本性质及图形，会求初等函数的定义域难点：函数性质判断具有的授课内容：一 函数的概念，1定义设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集，如果对于每个数xD。变量 y 按照一定的法则 f，有惟一确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y=f(x), xD.其中x叫做自变量，y叫做因变量。数集D称为函数的定义域，i) i) 函数 y=f(x) 在 x0D 处的函数值，记作 y0=y|x=x0=f(x0)ii) ii) 表示函数的记号有多种，如：y=F(x),y=g(x) y=(x) y=(x)iii) iii) 函数定义中，如果对于给定的 x 值，对应的 y 值有多个，则称此函数为多值函数。符合上述定义的函数称为单值函数例 例 匀速直线运动中，高物体运动的速度为 v 物体运动的时间为 t，则物体运动的路程 s 与物体运动的速度，时间之间的关系式为 s=vt例 例 一商场衬衣零售价为元/件，每件衬衣的利润为零售价的，如果这家市场一年卖出，这种衬衣的用 x 表示，所获得的利润用表示，则这种衬衣一年所获得的利润与所售衬衣件数 x 之间的关系为Q=12020%x2.函数的定义域满足实际要求且使算式成立的一切实数组成的集合称为函数的定义域例例求 y= 416x的定义域解：要使 x4-160,必须 x416 即 x24 所以 x2 或 x-2所以函数 y= 的定义域( ,-2) 2,例例求 y=ln32解：因为x时函数才有意义.要使32x则302或302x即x或所以 x3 或 x3 或 x0,a1,a 为常数)称为指数函数，其定义域为（-，+ ） ，值域为（0，）. 当 a1 时，函数严格单调增加; 当 00,a1)称为对数函数。其定义域为（0，）,值域为（- ，+ ）.当 a1 时，函数严格单调增加; 当 0a1 时，函数严格单调减少，函数图形都过（1，0）点.yy= x10 xxyy=x2 y=xy=0xyy=x30 xy xaxaxo xy ) (a1lgx0 （1 ，0） ) (ay1log以 e 为底的对数称为自然对数，记作X（5）三角函数正弦函数： sinyx.定义域为（-，+ ） ，值域为-1 ，1 ，它是以 2 为周期的有界的奇数函数如图余弦函数：y=cosX.定义域为（-，） ，值域为-1，1 ，它是以 2 为周期的有界的偶函数如图正切函数：y=tanX.定义域为 XK 2，即（K- 2，K） （K=0,1,2）,它是以 为周期的单调增加的奇函数（在一个周期内）余切函数：y=cotX.定义域为 XK,即（K， （K+1） （K=0，1,2） ，它是以 为周期的单调减少的奇函数（在一个周期内）此外，还有正割函数 y=secX= 1cosx和余割函数 y=cscX= 1sinx，其图形和性质从略。（6）反三角函数反正弦函数：y=arcsinX,定义域为-1，1 ，值域为- 2， ，有界，单调增别，奇函数，它是正弦函数 y=sinX(当- 2x 时)的反函数如图.反余弦函数：y=arccosX.定义域为-1，1 ，值域为0， ，有界，单调减少，它是余弦函数 y=cosX(当 0X 时)的反函数如图.反正切函数：y=arctanX 定义域为（-，+） ，值域为（- 2x 时） 。有界，单调增加，奇函数，它是正切函数 y=tanX(当- 2x 时)的反函数如图.反余切函数： cotyarx定义域为（-,+ ） ，值域为 (0,).有界，单调减少，它是余切函数 t（当 0时的反函数如图 2初等函数基本初等函数经过有限次的四则运算和经过有限次复合运算并能用一个式子表示的函数称为初等函数。高等数学讨论的函数主要是初等函数.六建立函数关系举例例 14例 14 在半径为 r 的球内镶入一个内接圆柱体，试建立圆柱体体积 v 与其高 h 的函数关系解： 高，圆柱体底面直径 2R 与球的直径构成一个直角三角形（图书 1-13） 。则22()Rrh所以 4所以圆柱体体积: 22()rhvRh例 15 例 15 某市场出售某款衬衣，零信价 85 元/件，若实 20 件以上可以打 9 折；若买 100 件以上可打 8 折，度建立此款衬衣的出售价 Q 与衬衣件数 X 的函数关系85 1200.9 xxQ例 16 火车从 A 站出发，以 2.6/mink的匀加速前行，经过 3 秒后开始匀速行驶，再经过 8 秒后以 20.6/inkm匀减速行驶，经过 t 分钟到达 B 站，将火车从 A 站到 B 站行驶的路程 S 表示成时间 t 的函数.解 火车从 A 站以 20./i的匀速度前行 3 秒中行驶的路程为21.53.7s3 秒后的速度 163.8/minvk，匀速行驶 8 秒,前进的路程 2814k ，在 t 时间内,火车匀减速行驶的路程