第一章 线性空间和线性映射

矩阵理论其中 为 维输入变量， 维状态向量，为矩阵理论的简单应用一 矩阵在线性系统与多变量控制中的应用线性系统状态空间的线性微分方程组为第一章 线性空间和线性映射分别为m维输出向量，矩阵为型矩阵且均为时间的函数。定义 ：如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常系统。其状态空间线性方程为 考虑一个线性定常系统定义 对于上述系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入 ，在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是 可控 的；否则，称该系统是 不可控 的。定义 对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入为零的输出的观测来决定，则称该系统是 可观测 的 ;否则，称该系统是 不可观测 的 。我们首先以单输入单输出系统为例 。考虑下面的单输入单输出系统：其中 和 是 维矢量， 是 矩阵， 及 是标量。定理 1 上面的单输入单输出系统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵是可逆（非奇异）矩阵。由于矩阵是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。例 1 设 由于矩阵例 2 设是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统是不可控的。定理 2 上面的单输入单输出系统是可观测的充分 必要 条件是可观测性判别矩阵 是可逆（非奇异）矩阵。例 3由于矩阵是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。例 4 设由于矩阵是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统是不可观测的。我们再以多输入多输出系统为例 。考虑下面的多输入多输出系统：定理 3 多输入多输出系统是 可控制 的充分必要条件是可控制性判别矩阵是 行 满秩的。该系统是 可观测 的充分必要条件是可观测性判别矩阵是 列 满秩的。由于矩阵是行满秩的，所以相应的系统是可控的。例 5 设二 矩阵理论在生物数学中的应用在花的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如 百合花 的花瓣有 3瓣； 毛茛属 的植物有 5瓣花；许多 翠雀属 的植物花有 8瓣； 万寿菊 的花有 13瓣； 紫菀属 植物的花有 21瓣；大多数 雏菊 的花有 34， 55， 89 瓣。另外，在 向日葵 的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的 叶序 中也存在此种现象。这就是著名的 Fibonacci级数模式。我们称下面的数列为 Fibonacci级数。它满足下述递推公式： 以及初始条件： 试求该数列的通项公式，并且求出极限解 设因为 ，所以 令那么我们有于是我们为了求 Fibonacci数列的通项公式只需求出 即可，我们利用 的相似标准形来化简 的计算。 的特征多项式为 ， 它的两个特征根为：同理可得基础解系的一个向量为 :由此可以看出 可以对角化。解齐次线性方程组可以得到基础解系的一个向量为：令那么从而由递推公式以及初始条件可得比较上式的第二个分量得这就是著名的 Fibonacci数列通项公式，容易计算出：0.618 这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法经常称为 黄金分割法 。第一节 线性空间的概念一 线性空间的定义与例子定义 设 是一个非空的集合， 是一个数域，在集合 中定义两种代数运算 , 一种是加法运算 , 用 来表示 ; 另一种是数乘运算 , 用 来表示 , 并且这两种运算满足下列 八 条运算律：（ 1） 加法交换律（ 2） 加法结合律 （ 3） 零元素 在 中存在一个元素 ，使得对于任意的 都有（ 4） 负元素 对于 中的任意元素 都存在一个元素 使得则称 是 的 负元素 .（ 5） 数 1 （ 6） （ 7） （ 8） 称这样的集合 为数域 上的 线性空间 。例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的线性空间。例 2 复数域 上的全体 型矩阵构成的集合 为 上的线性空间。例 3 实数域 上全体次数小于或等于 的多项式集合 构成实数域 上的线性空间 .例 4 全体正的实数 在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：例 5 表示实数域 上的全体无限序列组成的的集合。即在 中定义加法与数乘： 则 为实数域 上的一个线性空间。例 6 在 中满足 Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成 上的线性空间。 Cauchy条件是：使得对于 都有例 7 在 中满足 Hilbert条件的无限序列组成的子集合 不 构成 上的线性空间。 Hilbert条件是：级数 收敛例 8 在 中有界的无限序列组成的子集也构成上的线性空间。一个无限序列 称为有界的，如果存在一个实数 ， 使得二 线性空间的基本概念及其性质定义 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩 .基本性质 ： （ 1）含有零向量的向量组一定线性相关；（ 2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；（ 3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（ 4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；（ 5）如果向量组（ I）可以由向量组（ II）线性表出，那么向量组（ I）的秩小于等于向量组（ II）的秩；（ 6）等价的向量组秩相同。例 1 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。例 2 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。例 3 实数域 上的线性空间 中，函数组也是线性无关的。例 4 实数域 上的线性空间空间 中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。线性空间的基底，维数与坐标变换定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在 中存在 个线性无关的向量 使得中的任意一个向量 都可以由 线性表出 :则称 为 的一个 基底 ；为向量 在基底 下的 坐标 。此时我们称 为一个 维线性空间，记为 例 1 实数域 上的线性空间 中向量组与向量组 都是 的基。 是 3维线性空间。例 2 实数域 上的线性空间 中的向量组与向量组 都是 的基。 是 4维线性空间。例 3 实数域 上的线性空间 中的向量