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4.闭区间上连续函数的性质均有使得对一切存在 ,0 DxDx 定义 1 若点 ,例如 ,符号函数 的最大值为 1,最小值为 -1;的最大值为 1,最小值为 -1;函数的最大值不存在 ,最小值为零 .注意 :既无最大值 ,又无最小值 .(其上确界为 1, 下确界为 -1 )思考：为何要强调闭区间呢？这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性质有着根本的区别 .从 几何上看 ,当连续曲线 从水平直线的一侧穿到另一侧时 , 两者至少有一个交点 .证 先证存在性：由 极限的保号使使得(读作 r 的 n 次算术根 ).例 3 则存在唯一的正数连续，我们只需证明 严格递增即可 . 事实上， 即例 4 求证 :再证 唯一性 :证即只要 , 若对任给的 , 存在 小于 , 不论两点 与 在 中处于什么位置 ,直观地说 , 在 上一致连续意味着： 则称函数 在区间 上 一致连续 .使得对任何 ,设 为定义在区间 上的函数 .定义 2就有只要它们的距离就可使四、一致连续性首先来看两个例题 .例 8 证证 首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在区例 9 但仍有确实不是一致连续的 .总有间 I上不一致连续的定义：试问 , 函数 在区间 I上一致连续与 在区间 I上连续的区别究竟在哪里？仅与 有关 .对于任意正数 , 所得答 :(1) 首先 , 对于 如果 在区间 I上连续，那么 , 不仅与 有关 , 而且还与所讨论的点而 在区间 I上一致 连续 . 那么在例 8中显然 关 .过程中有一个正下界 (当然(2) 函数 f (x) 在每一点 连续 ,下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质 .区间 I上就一致连续了 .这个下界只与 有关 , 而与 x0无关 ), 则此时 f (x)在上 连续 , 则 上 一致连续 . 这个定理告诉我们 : 定义在闭区间上的函数 , 连定理 4.9（一致连续性定理） 若函数 f 在闭区间续和一致连续是等价的 . 例 10 设区间 的右端点为 , 区间 的左端上 一致连续 , 在 区间 上也 一致连续 . 证明：若 分别在点也 为连续，所以分别存在 使得 当当则 对于任意的证 对任意的 因为 在 上 一致此时自然有有以下两种情形：注意到可得综上，证得 在 区间 上一致连续 . 注 例 10的条件 是 重要的 . 比如在 区间 与 区间 上分别一致连续 , 但在区间 1, 3 上 不 连续 , 当然也不一致连续 . 例 11 设 上 连续 , 并且证明 上 一致连续 .证 因为 , 所以对任意的正数存在又 上 连续 , 故由定理 4.9可知 f (x) 上 一致连续 . 因此对上述 ，
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