第二章线性系统的数学模型ket

第二章 控制系统动态数学模型第一节 数学模型的基本概念 第二节 建立系统数学模型的一般步骤和方法 第三节 典型元件及系统时域数学模型的建立 第四节 数学模型的线性化 第五节 拉氏变换与反变换 第六节 传递函数及典型环节的传递函数 第七节 系统方块图及其简化 第八节 系统信号流图及梅逊公式 第九节 实际物理系统数学模型建立举例 第十节 Matlab在建立数学模型中的应用 第二章 控制系统的 动态 数学模型第一节 数学模型的基本概念数学模型属于仿真模型的一种，仿真模型通常包括实体模型和数学模型两大类。实体模型 ：顾名思义，此类模型有一个实体系统，但模型或是在几何形体上或是在各点的运动速度上或是在系统的动态特性上与被研究物体有一致的比例关系。整机仿真 MPRO_整机仿真 .avi model_2.avi 2(0.01s200步后视 ).avi第二章 控制系统的 动态 数学模型第一节 数学模型的基本概念这类模型没有具体的实体，通常利用代数方程、微分方程、空间状态方程或传递函数等数学手段来描述系统的静、动态特性。一、 系统的静态特性、动态特性和过渡过程的概念 静态特性： 在恒定的或缓变的输入量的作用下，系统所表现出来的性能或属性，一般均可用代数方程来描述。第二章 控制系统的 动态 数学模型第一节 数学模型的基本概念注：静态不是静止。例如，机械在恒力或在相对较低的交变力作用下表现出的性能都是系统的静态特性。动态特性： 在变化剧烈的输入量的作用下，系统表现出来的性能或属性，一般均可用微分方程来描述。变化的快慢主要是相对于系统的时间常数（或相对于系统的一阶固有频率）而言。 第二章 控制系统的 动态 数学模型第一节 数学模型的基本概念过渡过程： 系统由一个平衡状态进入到另一个新的平衡状态之间的时间历程。 第二章 控制系统的 动态 数学模型第一节 数学模型的基本概念1.定义： 控制系统输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型，是分析和设计自动控制系统的基础。2.为什么要建立数学模型？ 当需要了解系统的具体性能指标时，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能 进行定量的分析和计算 。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型，它 是分析和设计系统的依据。第二章 控制系统的动态数学模型另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械平移系统和 RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型 (相似系统 ）。3.表示形式： a.微分方程b.传递函数c.频率特性 d.状态空间描述三种数学模型之间的关系线性系统传递函数 微分方程 频率特性拉氏变换 傅氏变换同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。建模时要注意以下两点：(1)系统愈简化，模型愈容易建立，但误差也就可能愈大，所以应根据具体情况在两者之间作恰当的选择。(2)用数学手段直接建立的数学模型，通常都需要通过实验来加以验证。还有许多复杂的系统，目前也只能通过实验的方法来建立它们的数学模型。实验法建模虽然是一个十分重要的建模方法，但由于篇幅所限，本书中只介绍前一种方法。第二章 控制系统的动态数学模型第二节 建立系统数学模型的一般步骤和方法目前工程上采用的方法主要是：a.分析计算法分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型 适用于简单的系统。b.工程实验法工程实验法是利用系统的输入 -输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称 为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简黑盒输入 输出简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。二 .线性系统1.定义： 当系统中各组成环节或元件的状态或特性可以用线性微分方程来描述时，称这种系统为线性控制系统。线性控制系统的特点是可以运用叠加原理，即在系统存在有几个输入时，系统的输出等于各个输入分别作用于系统时系统输出之和，当系统输入增大或缩小时，系统的输出也按比例增大或缩小。第二章 控制系统的数学模型如果描述系统动态特性的微分方程的系数是常数而不随时间变化，则这种线性系统称为线性定常（或时不变）系统。若微分方程的系数是时间的函数，则这种线性系统称为 线性时变系统。线性元件： 具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。非线性元件： 不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。2.重要特点： 对线性系统可以应用迭加性和齐次性，给研究带来了极大的方便。迭加性的应用： 欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性表明： 当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析 简化了问题。一 .微分方程的建立控制系统的数学模型通常是指动态数学模型，最基本、最重要的数学模型是微分方程，它反映了元部件或系统动态运行的规律。建立系统的数学模型，一般是根据系统的实际结构、参数及计算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系统的数学模型既能准确地反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。第二节 建立系统数学模型的一般步骤和方法一 .微分方程的建立解析法是根据系统及元部件中各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出系统各变量之间数学表达式，然后建立起系统的数学模型；实验法是采用某些检测仪器，在现场对控制系统加入特定信号，对输出响应进行测量和分析，得到实验数据，从而建立系统的数学模型。 第二章 控制系统的动态数学模型二、建立微分方程的一般步骤采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是：(1)确定系统或元部件的输入、输出变量。(2)根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。第二章 控制系统的动态数学模型(3)找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。(4)消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。(5)进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。 第二章 控制系统的动态数学模型任何一个控制系统都是由一个或一个以上的环节或元件所构成的。从整个系统的角度看，构成系统的元件或环节之间必然存在或多或少的相互影响即效应问题。环节： 系统中可以列写出独立微分方程（或运动方程）的那一部分。它可以由一个元件构成，也可以由多个元件构成。其微分方程的系数只由自身的特性决定，而与其它环节无关。负载效应： 前后连接的元件或环节之间，后一个元件或环节对前一个元件或环节运动状态（动态特性）产生的影响，称之谓负载效应。第二章 控制系统的动态数学模型如果一个元件或环节的运动状态与后面的元件或环节无关时，则该元件或环节称为 单向元件 。反之则称为非单向元件。如果在元件或环节间加隔离元件可以消除后一元件对前一元件的影响，则称前一元件为 可单向化 。对电气系统来说，通常隔离元件都是高输入阻抗低输出阻抗的元器件。不仅元件间有负载效应问题，系统本身也有负载效应问题。只有在系统的负载输入阻抗很高或系统输出开路的情况下（相当于负载输入阻抗为无穷大），才能得到较高精度的数学模型。分析系统时，没有特殊说明，均视系统为开路。第二章 控制系统的动态数学模型例 2-1控制工程教材定稿例 2-2例 2-3例 2-4例 2-5例 2-6例 2-7第 4节 非线性数学模型的线性化处理1、线性化的基本概念所谓非线性数学模型的线性化就是对一个非线性系统的数学模型找出其稳定的平衡点，如果在工作过程中，代表系统属性的各物理量只在该平衡点附近产生微小的变化，非线性系统模型就能够以此平衡点为基础，表示成一个线性模型，关于线性系统的控制理论都能适用于该模型，这便是自动控制理论里关于 小偏差线性化方法 或称 增量线性化方法的概念 。第 4节 非线性数学模型的线性化处理2、非线性数学模型的线性化的基本方法对于非线性系统，当系统变量偏离工作点的偏差值很小时，由级数理论可知，若变量在给定的工作区间内其各阶导数存在，便可在给定工作点的邻域内将非线性特性展开为泰勒级数，当偏差的范围很小时，可以忽略级数中偏差的高次项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。求解线性微分方程的步骤：(1)按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。(2)找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。(3)将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。(4)消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值加偏差量来表示。第五节 拉氏变换与反变换拉氏变换是一种积分变换，是求解线性微分方程的一种重要手段，也是建立系统传递函数的数学基础。一、拉氏变换的定义(1)当 对任意 t值都具有对应的单值；(2) 其中为 正实数。则函数的拉氏变换定义为 第 5节 拉氏变换与反变换式中复变量 ，且实部 ，这个式子便是我们今后常用到拉氏变换公式。 我们把 称作原函数，把 称为 象函数。一般工程实际问题中的时间函数都能满足上述条件。 二、典型时间函数的拉氏变换 (1)例 1.求阶跃函数 f(t)=A1(t) 的拉氏变换。单位阶跃函数 f(t)=1(t)的拉氏变换为 。 (2)例 2.求单位脉冲函数 f(t)= (t)的拉氏变换。