第三章系统的数学模型

page控制工程基础第三章 系统的数学模型 1控制工程基础电气工程学院第一节 控制系统的微分方程第二节 传递函数第四节 闭环控制系统的传递函数第五节 相似系统第三节 系统的动态结构图主要内容page控制工程基础第三章 系统的数学模型 2控制工程基础电气工程学院研究与分析一个系统的动态特性，或对系统进行控制，不仅要定性的了解系统的工作原理，而且要定量的描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就要建立系统的 数学模型 。系统的数学模型 :描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的数学表达式。 描述各变量动态关系的数学表达式 ，称为 动态模型。 常用的动态模型有 微分方程、传递函数及动态结构图 。page控制工程基础第三章 系统的数学模型 3控制工程基础电气工程学院建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。一般应根据系统的实际结构参数及计算所要求的精度，略去一些次要因素，使模型即能准确的反映系统的动态特性，又能简化分析计算的工作。建立系统数学模型的方法试验法解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出变量之间的数学表达式，从而建立数学模型。page控制工程基础第三章 系统的数学模型 4控制工程基础电气工程学院第一节 控制系统的微分方程系统的 微分方程 是 动态数学模型 中最基本的一种。 用解析法建立系统微分方程式的一般步骤如下：1、根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出变量。2、从输入端开始 ,按照信号的传递顺序 ,依据各变量所遵循的物理 (或化学 )定律，列出在变化过程中的动态方程 ,一般为微分方程组。3、消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。4、标准化。page控制工程基础第三章 系统的数学模型 5控制工程基础电气工程学院一、微分方程式的建立例 1 弹簧 -质量 -阻尼器系统图 3-1-1表示一个弹簧 -质 -阻尼器系统。当外力 f(t)作用时，系统产生位移 y(t)， 要求写出系统在外力 f(t)作用下的运动方程式。 f(t)是系统的输入， y(t)是系统的输出。运动部件的质量为 M。图 3-1-1 弹簧 -质量-阻尼器系统page控制工程基础第三章 系统的数学模型 6控制工程基础电气工程学院(1)根据牛顿第二定律，有：(2)f1(t)和 f2(t)为中间变量：阻尼器阻力弹簧弹力K为弹性系数B为阻尼比page控制工程基础第三章 系统的数学模型 7控制工程基础电气工程学院此机械位移系统为线性定常系统。则有 弹簧 -质量 -阻尼系统的标准微分方程式令(4)标准化(3) 系统的微分方程式 :page控制工程基础第三章 系统的数学模型 8控制工程基础电气工程学院例 2 R-L-C电路图 3-1-2所示 R-L-C电路中， R、 L、 C 均为常值， 为输入电压， 为输出电压。要求列出 与 的方程关系式。图 3-1-2 RLC电路(1)根据克希霍夫定律可写出原始方程式 ：(2)i与输出 uc(t)有如下关系 ：page控制工程基础第三章 系统的数学模型 9控制工程基础电气工程学院(3) 输入输出微分方程式：page控制工程基础第三章 系统的数学模型 10控制工程基础电气工程学院例 3 如图 3-1-3为由两级形式相同的 RC电路串联组成的滤波网络 .试列写以 Ur为输入 , Uc为输出的网络的动态方程 .(1)根据克希霍夫定律写出原始方程式：图 3-1-3 两级 RC滤波网络page控制工程基础第三章 系统的数学模型 11控制工程基础电气工程学院(2) 输入输出微分方程式：令page控制工程基础第三章 系统的数学模型 12控制工程基础电气工程学院例4图 3-1-4电枢电压控制的直流电动机 线路原理图磁场固定不变 (激磁电流 if=c)，用电枢电压来控制的直流电动机。控制输入为电枢电压 Ua ，输出为 ，负载转矩 ML变化为主要扰动。求输入与输出关系微分方程式。page控制工程基础第三章 系统的数学模型 13控制工程基础电气工程学院(1)列写原始方程式。首先根据克希霍夫定律写出电枢回路方程式如下：反电势系数 (伏/弧度 /秒 ) 电动机角速度 （弧度 /秒）根据刚体旋转定律，可写运动方程式转动部分转动惯量 (公斤 米2)电动机轴上负载转矩 (牛顿 米 )电磁转矩 (牛顿 米 )转动部分粘性摩擦系数 (牛顿 米弧度秒 )(2)Md和 ia是中间变量(3)整理后得：电磁转矩系数 (牛顿 米 /安 )page控制工程基础第三章 系统的数学模型 14控制工程基础电气工程学院若输出为电动机的转角 ，则按式 (2.17)有 :page控制工程基础第三章 系统的数学模型 15控制工程基础电气工程学院功率放大器电动机测速发电机电位器图 3-1-5page控制工程基础第三章 系统的数学模型 16控制工程基础电气工程学院忽略粘性摩擦 page控制工程基础第三章 系统的数学模型 17控制工程基础电气工程学院控制系统都有一个平衡的工作状态和相应的工作点非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小 .展开成泰勒级数 :二、非线性微分方程的线性化图 3-1-6page控制工程基础第三章 系统的数学模型 18控制工程基础电气工程学院(1)线性方程中的参数与选择的工作点有关 ,因此处理时首先确定工作点。(2)当输入量变化较大时，用上述方法处理误差较大。(3)如果系统在工作点处的非线性特性是不连续的，其泰勒级数不收敛，上述方法不能用。若在工作点附近增量 很小 ,则上式近似为线性化处理时应注意以下几点 :page控制工程基础第三章 系统的数学模型 19控制工程基础电气工程学院目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型 传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响，十分方便。第二节 传递函数page控制工程基础第三章 系统的数学模型 20控制工程基础电气工程学院第二节 传递函数一、传递函数的概念二、传递函数的性质三、由微分方程直接求传递函数四、典型环节及其传递函数page控制工程基础第三章 系统的数学模型 21控制工程基础电气工程学院一、传递函数的基本概念1、已知单输入，单输出的 线性定常系统 的输入为 r(t),输出为 c(t),则微分方程为：page控制工程基础第三章 系统的数学模型 22控制工程基础电气工程学院2、在 零初始条件 下。u输入 -输出的初始条件为零，即u此时，拉氏变换的微分性质应用为page控制工程基础第三章 系统的数学模型 23控制工程基础电气工程学院3、将微分方程两边进行 拉氏变换 。微分方程：拉氏变换：page控制工程基础第三章 系统的数学模型 24控制工程基础电气工程学院4、令得 即为 传递函数拉氏变换：传递函数：page控制工程基础第三章 系统的数学模型 25控制工程基础电气工程学院 1.线性定常系统 2.在零初始条件下 3.输出与输入拉氏变换的 4.比值总结以上求解过程，得 传递函数的定义 为page控制工程基础第三章 系统的数学模型 26控制工程基础电气工程学院传递函数表示成方框图：信息传递关系为：page控制工程基础第三章 系统的数学模型 27控制工程基础电气工程学院二、传递函数的基本性质1.传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统（元件）本身的结构参数有关，与外界输入无关。l传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性l传递函数的分子反映系统同外界之间的关系page控制工程基础第三章 系统的数学模型 28控制工程基础电气工程学院2.传递函数只适用于线性定常系统。l因为它由拉氏变换而来的，而拉氏变换是一种线性变换。3.传递函数是在零初始条件下导出的，因此传递函数原则上不能反应系统在非零初始条件下的全部运动规律。4.一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，而不能反映系统内部的特性。page控制工程基础第三章 系统的数学模型 29控制工程基础电气工程学院5.系统的输入给定，系统的输出完全取决于传递函数。6.对实际的物理系统，传递函数分母多项式 s的最高阶次 n总是大于或等于其分子多项式 s的最高阶次 m。即l因为系统或元件总是存在惯性，即输入给出时系统有保持输入前零状态的趋势，输出滞后于输入，导致