第三讲函数的连续性

医用高等数学数学教研室二、 函数的间断点 一、函数的连续性第四节 函数的连续性三、连续函数的性质医用高等数学数学教研室一、 函数连续性医用高等数学数学教研室医用高等数学数学教研室可见 , 函数 在点(1) 在点 即(2) 极限(3)连续必须具备下列条件 :存在 ;有定义 , 存在 ;医用高等数学数学教研室（ 2）若 在 某区间上每一点都连续 , 则称它在该 区间上连续 , 或称它为该 区间上的 连续函数 .（ 3）若函数）若函数 在开区间在开区间 (a,b) 内连续，且在内连续，且在左端点左端点 a 右连续，在右端点右连续，在右端点 b 左连续，则称函左连续，则称函数数 在闭区间在闭区间 a,b 上连续，并称上连续，并称 是是 a,b 上的连续函数。上的连续函数。医用高等数学数学教研室在在二、 函数的间断点(1) 函数(2) 函数 不 存在 ;(3) 函数 存在 , 但不连续 :设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点之一 函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为 间断点（ discontinuous point） 在 无定义 ;医用高等数学数学教研室间断点分类 :第一类间断点 :第二类间断点 :医用高等数学数学教研室为其无穷间断点 .为其振荡间断点 .为可去间断点 .例如 :医用高等数学数学教研室显然为其可去间断点 .(4)(5) 为其跳跃间断点 .医用高等数学数学教研室定理 . 连续单调递增 函数的反函数在其 定义域内连续三、连续函数的性质定理 1.3. 在某点连续的 有限个 函数经 有限次 和 , 差 , 积 ,商 (分母不为 0) 运算 , 结果仍是一个在该点连续的函数 .如 ,如 , 在 上 连续单调递增，其 反函数(递减 ).在 1 , 1 上也连续单调递增 .递增(递减 ) 也 连续单调1. 连续函数的运算医用高等数学数学教研室医用高等数学数学教研室医用高等数学数学教研室医用高等数学数学教研室基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在 定义区间内连续例如 ,的 连续区间为 (端点为单侧连续 )的 连续区间为的 定义域为因此它无连续点而2.基本初等函数的连续性医用高等数学数学教研室3.闭区间上连续函数的性质医用高等数学数学教研室例如 ,无 最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 , 医用高等数学数学教研室由 定理 1.5可知有证 : 设医用高等数学数学教研室医用高等数学数学教研室例 . 证明方程一个根 .证 : 显然故据零点定理 , 至少存在一点 使 即说明 :内必有方程的根 ;取 的中点内必有方程的根 ; 可用此法求近似根 .二分法在区间 内至少有则则医用高等数学数学教研室练习：至少有一个不超过 4 的 证 ：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .医用高等数学数学教研室内容小结基本初等函数 在定义区间内 连续连续函数的 四则运算 的结果连续连续函数的 反函数 连续连续函数的 复合函数 连续初等函数在定义区间内连续说明 : 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性 .作业 ： P19 23 24医用高等数学数学教研室第一章 习题课一 .内容小结二 .典型题目解答医用高等数学数学教研室一 .内容小结1. 初等函数的定义分段函数不是初等函数2.极限概念极限过程反映了自变量向某一目标趋近的过程中因变量的变化趋势 .任何有极限的变量都可以表示为其极限值与一个无穷量之和 .医用高等数学数学教研室 两个重要极限 3.函数连续的定义 一切初等函数在其定义区间上都是连续的 .4.几个关系函数在一点有无极限与在此点的函数值无关；函数在一点连续不仅要求函数在此点有定义，而且在此点的极限必须存在且等于在此