第三章多元线性回归模型蓝色

在本章将把一元线性回归模型推广到多在本章将把一元线性回归模型推广到多元线性回归模型，即在模型中将包含二个元线性回归模型，即在模型中将包含二个以上的解释变量。多元线性回归模型是实以上的解释变量。多元线性回归模型是实践中广泛应用的模型。我们从简单的双解践中广泛应用的模型。我们从简单的双解释变量多元线性回归模型入手，然后再将释变量多元线性回归模型入手，然后再将其推广到三个及三个以上解释变量的多元其推广到三个及三个以上解释变量的多元线性回归模型。线性回归模型。第三章第三章 多元线性回归模型多元线性回归模型 第一节第一节 多元回归模型的定义多元回归模型的定义一、多元回归模型的意义一、多元回归模型的意义在一元线性回归模型中，我们假定影响在一元线性回归模型中，我们假定影响被解释变量的因素只有一个，即被解释变量的因素只有一个，即 解释变量解释变量X，这种情形在经济计量分析中往往是不，这种情形在经济计量分析中往往是不适宜的。因为在经济系统中，影响被解释适宜的。因为在经济系统中，影响被解释变量的重要变量往往不只一个。变量的重要变量往往不只一个。例如在收入例如在收入 消费模型中，除了收入影消费模型中，除了收入影响消费外，还有其它因素明显地影响消响消费外，还有其它因素明显地影响消费，很明显财富就是影响消费的重要变费，很明显财富就是影响消费的重要变量。在劳动力市场上，影响工资的变量量。在劳动力市场上，影响工资的变量不仅仅是工作年限，受教育程度也是影不仅仅是工作年限，受教育程度也是影响工资的一个重要变量。因此，在回归响工资的一个重要变量。因此，在回归分析模型中，就需要引进更多的解释变分析模型中，就需要引进更多的解释变量。量。 多元回归分析与一元回归分析相比有如多元回归分析与一元回归分析相比有如下优点下优点1 多元回归分析可以研究多影响因素多元回归分析可以研究多影响因素对被解释变量的影响。对被解释变量的影响。2 在模型中增加一些有助于解释在模型中增加一些有助于解释 Y 的的因素，因素， 的变动就能更好地予以解释。的变动就能更好地予以解释。因此，多元回归分析有助于更好地预测。因此，多元回归分析有助于更好地预测。3 多元回归模型更具有一般性。一多元回归模型更具有一般性。一元回归模型中，只能有一个解释变量，其元回归模型中，只能有一个解释变量，其函数形式不一定恰当。而多元回归模型具函数形式不一定恰当。而多元回归模型具有较大的灵活性，有利于对总体回归模型有较大的灵活性，有利于对总体回归模型做出正确的判断。做出正确的判断。 多元回归模型是经济学和其它社会科多元回归模型是经济学和其它社会科学进行计量分析时使用最为广泛的一个工学进行计量分析时使用最为广泛的一个工具。具。含有两个解释变量的多元回归模型是最简单的多元回归模型。模型形式为 二、含有两个解释变量的多元回归模型二、含有两个解释变量的多元回归模型 （ 5.1） 其中，其中， Yi 是被解释变量，是被解释变量， X2i 和和 X3i 是解释是解释变量，变量， ui是随机干扰项，是随机干扰项， i 指第指第 i 项观测。项观测。式（式（ 5.1） 中的中的 是截距项。表面上是截距项。表面上看，看， 代表代表 X2和和 X3均取均取 0时的时的 Y的均值，的均值， 但这仅仅是一种机械的解释，实际上但这仅仅是一种机械的解释，实际上 是指所有未包含到模型中来的变量对是指所有未包含到模型中来的变量对 Y 的的平均影响。平均影响。系数系数 和和 为偏回归系数，为偏回归系数， 表示表示在保持在保持 X3不变的条件下，不变的条件下， X2每变化一每变化一个单位时，个单位时， Y的均值的变化。类似地，的均值的变化。类似地，表示在保持表示在保持 X2不变的条件下，不变的条件下， X3每变化一个单位时，每变化一个单位时， Y的均值的变化。的均值的变化。例如在汽车需求分析中，可设定模型为例如在汽车需求分析中，可设定模型为（ 5.2） 其中，其中， Yt 汽车需求量，汽车需求量， Pt 汽车价格，汽车价格，It 居民收入。居民收入。 t 代表第代表第 t 次观测次观测 。式。式(5.2)中，汽车需求量主要受到价格和收入中，汽车需求量主要受到价格和收入这两个变量的影响。这两个变量的影响。又如在劳动力市场中，工资水平模型为又如在劳动力市场中，工资水平模型为（ 5.3） 其中，其中， Wi工资，工资， Ei 受教育水平，受教育水平，EPi 工作经验工作经验 。式（。式（ 5.3）表示工资水）表示工资水平主要受受教育水平和工作经验两个变平主要受受教育水平和工作经验两个变量的影响。量的影响。在含有两个解释变量的多元回归模型在含有两个解释变量的多元回归模型中，经典线性回归模型的假定条件如下。中，经典线性回归模型的假定条件如下。 假定假定 1： ui 零均值假定零均值假定 E(ui|X2i, X3i) 0 对每个 i （ 5.4） 假定假定 2： ui 无序列相关假定无序列相关假定Cov(ui, uj) 0 ij （ 5.5） 假定假定 3： ui 同方差假定同方差假定（ 5.6） 假定假定 4： ui 与每一个解释变量无关与每一个解释变量无关 （ 5.7） 假定假定 5：无设定偏误：无设定偏误假定假定 6：解释变量：解释变量 X之间无完全的共线性之间无完全的共线性 （ 5.8） 无共线性的含义是，不存在一组不全为无共线性的含义是，不存在一组不全为零的数零的数 和和 使得使得如果这一关系式存在，则该如果这一关系式存在，则该 X2 和和 X3 是是共线的或线性关系。共线的或线性关系。 三、含有多个解释变量的模型 多个解释变量的多元回归模型是一多个解释变量的多元回归模型是一元回归模型和二元回归模型的推广。含元回归模型和二元回归模型的推广。含被解释变量被解释变量 Y 和和 k-1个解释变量个解释变量 X2， X3， ， Xk 的多元总体回归模型表示如的多元总体回归模型表示如下：下： i 1, 2, （ 5.9） 式（式（ 5.9） 中，中， 为截距，为截距， , , 为偏斜率系数，为偏斜率系数， u 为随机干扰项，为随机干扰项， i 为第为第 i 次观测。次观测。式（式（ 5.9） 的均值表达式为的均值表达式为i 1, 2, （ 5.10） 把式（把式（ 5.10）表示为增量形式则为）表示为增量形式则为（ 5.11） X2的系数的系数 的意义为：在所有其它变量的意义为：在所有其它变量X3i， X4i， ， Xki 保持不变的条件下，保持不变的条件下， X2改变一个单位而导致改变一个单位而导致 Yi 的均值的变化量。的均值的变化量。即在保持即在保持 X3， X4， ， Xk 不变的条件不变的条件下，有：下，有： （ 5.12） 其它斜率系数的意义与此类似。其它斜率系数的意义与此类似。例如，在汽车需求分析中，要研究竞例如，在汽车需求分析中，要研究竞争性市场中某一品牌汽车的需求。据需求争性市场中某一品牌汽车的需求。据需求理论，影响汽车需求的因素除了价格和收理论，影响汽车需求的因素除了价格和收入外，还有与之竞争的其它品牌汽车的价入外，还有与之竞争的其它品牌汽车的价格。格。 因此，该品牌汽车的需求模型为因此，该品牌汽车的需求模型为（ 5.13） 式（式（ 5.13）中，）中， Yt 某品牌汽车需求某品牌汽车需求量，量， Pt 该品牌汽车价格，该品牌汽车价格， It 居民收居民收入，入， 竞争性品牌汽车的价格竞争性品牌汽车的价格 .代表当代表当 居民收入居民收入 It 与竞争性品牌汽与竞争性品牌汽车价格不变时，该品牌汽车价格降低车价格不变时，该品牌汽车价格降低 1元，需求量增加的数量。元，需求量增加的数量。第二节第二节 最小二乘估计最小二乘估计 一、最小二乘估计量一、最小二乘估计量对于二个解释变量的回归模型，其样本回归对于二个解释变量的回归模型，其样本回归函数为函数为（ 5.14） 式中，式中， 分别为分别为 的估计值。的估计值。根据最小二乘准则，应选择使残差平方根据最小二乘准则，应选择使残差平方和最小的和最小的 。在给定。在给定 Y， X1和和 X2的的n个观测值时，同时选择个观测值时，同时选择 使下式使下式取最小值。取最小值。（ 5.15） 在含有多个解释变量的一般情形中，在含有多个解释变量的一般情形中，我们得到样本回归函数我们得到样本回归函数（ 5.16） 我们的目的就是得到式（我们的目的就是得到式（ 5.16）中的估计）中的估计值值 ，使残差平方和最小。，使残差平方和最小。最小的估计值最小的估计值 。据微积分知。据微积分知识，我们知道这个最小化问题就是使用多识，我们知道这个最小化问题就是使用多元微积分求解。其原理与一元线性回归方元微积分求解。其原理与一元线性回归方程的最小二乘法相同。得到含程的最小二乘法相同。得到含 这这 k 个未知变量的个未知变量的 k个线性方程。个线性方程。就是使就是使（ 5.18） 该方程组称为正规方程组，求解该方该方程组称为正规方程组，求解该方程组，可得到程组，可得到 的值。即使是较的值。即使是较小的方程组，手工计算也是很繁重的工小的方程组，手工计算也是很繁重的工作。借助经济计量分析软件，对较大的作。借助经济计量分析软件，对较大的 n 和和 k，也能很快求解这些，也能很快求解这些 方方 程。本书程。本书推荐的推荐的 EViews软件软件 就提供了这一计算程就提供了这一计算程序。序。如果使用普通最小二乘法而得到了如果使用普通最小二乘法而得到了 式式（ 5.16） 的样本回归函数，我们就称其的样本回归函数，我们就称其为：将为：将 Y 对对 X1, X2, , Xk 进行了回归。进行了回归。【 例例 5.1】 工资回归模型工资回归模型 利用横截面数据估计参数得到如下包含利用横截面数据估计参数得到如下包含三个解释变量的模型。三个解释变量的模型。Ln(Y)=0.284+0.092X2+0.0041X3+0.022X4 （ 5.19） 式中，式中， Y 工资，工资， X2 受教育年限，受教育年限，X3 工龄，工龄， X4现任职务的任期。现任职务的任期。 在式（在式（