线性规划论文线性规划论文

线性规划论文线性规划 论文金融投资类线性规划及其数学模型的 MATLAB 求解摘要：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。本文讨论了在企业的各项管理活动如计划、生产、运输、技术等方面各种限制条件的组合选择出最为合理的一般计算方法。重在通过 MATLAB 程序设计来实现，建立线性规划模型求得最佳结果。 关键词：MATLAB 线性规划 编程 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型。简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决整数规划是从 1958 年由 R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的，30 多年来发展出很多方法解决各种问题。从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。 MATLAB 自身并没有提供整数线性规划的函数，但可以使用荷兰 Eindhoven科技大学 Michel Berkelaer 等人开发的 LP_Solve 包中的 MATLAB 支持的 mex文件。此程序可求解多达 30000 个变量，50000 个约束条件的整数线性规划问题，经编译后该函数的调用格式为 x，how=ipslv_mex(A，B，f，intlist，Xm，xm，ctype) 其中，B，B 表示线性等式和不等式约束。和最优化工具箱所提供的函数不同，这里不要求用多个矩阵分别表示等式和不等式，而可以使用这两个矩阵表不等式、大于式和小于式。 如我们在对线性规划 求解中可以看出，其目标函数可以用其系数向量 f=-2，-1，-4，-3，-1T来表示，另外，由于没有等式约束，故可以定义 Aep 和 Bep 为空矩阵。由给出的数学问题还可以看出，x 的下界可以定义为 xm=0，0，3.32，0.678，2.57T，且对上界没有限制，故可以将其写成空矩阵 此分析可以给出如下的 MATLAB 命令来求解线性规划问题，并立即得出结果为 x=19.785，0，3.32，11.385，2.57T，fopt=-89.5750。 从运算结果来看，由于 key 值为 1，故求解是成功的。以上只用了 5 步就得出了线性规划问题的解，可见 LP_Solve 数据包能较轻松地实现多变量线性规划整数解的问题。 对于小规模问题，可以考采用穷举算法。人为假定 xM 的各个元素均为20，当然可以采用逐个求取函数值，得出和前面一致的结果。 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。对于非线性整数规划问题要比整数线性规划问题更复杂，在实际应用中往往还会遇到整数或混合规划问题，基于该领域的常用算法是分支定界(branch and bound)算法。 通过下面实例归纳出线性规划数学模型的一般形式，最后通过 MATLAB 来实现其最优解。 （投资的收益和风险） 问题提出市场上有 n 种资产 si（i=1，2，3n）可以选择，现用数额为M 的相当大的资金作一个时期的投资。这 n 种资产在这一时期内购买 si 的平均收益率为 i，风险损失率为 Qi，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的 si 中最大的一个风险来度量。 购买 si 时要付交易费，(费率 pi)，当购买额不超过给定值 ui 时，交易费按购买 ui 计算。另外，假定同期银行存款利率是 r0，既无交易费又无风险（r0=5%）。 已知 n=4 时相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。 首先，我们做如下符号规定： si：第 i 种投资项目（如股票，债券） ri，pi，qi:分别为 si 的平均收益率，风险损失率，交易费率 ui:si 的交易定额 r0:同期银行利率 xi:投资项目 si 的资金 a:投资风险度 Q:总体收益 Q:总体收益的增量 要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。对此我们首先建立一个初步模型。在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限 a，使最大的一个风险 qixi/Ma 可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。 因此我们固定风险水平，优化收益，对模型做出简化并对其进行简化： 我们从 a=0 开始，以步长a=0.001 进行循环搜索，编制程序如下： a=0; while(1.1-a)1 c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0，0，0，0，0;vub=; x，val=linprog(c，A，b，Aeq，beq，vlb，vub); a x=x Q=-val plot(a，Q，.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001; end xlabel(a)，ylabel(Q) 计算结果如下： a=0.0030 x=0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q=0.1266 a=0.0060 x=0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q=0.2019 a=0.0080 x=0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q=0.2112 a=0.0100 x=0 0.4000 0.58430 0Q=0.2190 a=0.0200 x=0 0.8000 0.18820 0Q=0.2518 a=0.0400 x=0.0000 0.9901 0.0000 0 0Q=0.2673 分析结果可见： 在 a=0.006 附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是 a*=0.6%，q*=20%， 所对应投资方案为: 对于多变量线性规划问题的求解，常规解法需要设置大量的参数，计算过程繁琐、可操作性差、计算精度不高，而经由 MATLAB 设计的算法可有效地解决这一问题，大大提高了运算效率与精度，在工程、管理、经济、科研、