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第四节 非线性规划模型的解 二次插值法二次插值法 最速下降法最速下降法 罚函数法罚函数法非线性规划模型的一般形式：一、无约束模型 :二、有约束模型：则 称为 局部最优解， 或 局部解 ；则 称为 整体最优解， 或 最优解 或 解一、无约束模型的解沿某直线方向求目标函数的极小值点，称为 一维搜索 。高维问题 可通过一系列的一维搜索，求出其 近似最优解 。一维搜索沿某些方向作一维搜索化为无约束问题讨论顺序：1. 一维搜索 （二次插值法）单峰函数或过三点作抛物线：有故方程组有唯一解，且即抛物线的开口向上。令得极小值点再从 中选出满足前面不等式的三点 ， 重复前面的过程，直到满足终止条件：则注： 迭代时，若出现 退化情形可取 继续迭代。#2. 最速下降法 f (X)D= f (X)第 1步 求新点设 f(X) 可微，给定初始点 X1,0,每次沿使 f 下降得最快的 负梯度方向 D= f (X)搜索，直到满足终止条件为止。第 k次迭代令注意 ： k不是步长（因 Dk不是单位向量），且非负（否则，不是下降得最快的方向）。得新点设已得 Xk第 2步 验证终止条件否则，将 Xk+1作为新的出发点， 作为新的迭代方向，进行下一次迭代。有结论 ：因为可见，搜索路线呈 之字形 。该法的 优点 是：不论维数多高，每次迭代只沿一个方向搜索。“较 圆 ”时，则收敛得 较快 ；“较 扁 ”时，则收敛得 较慢 。当目标函数等值线实际中， 前面阶段可用最速下降法，后面阶段用旋转方向法。缺点 是： 收敛速度 “前快后慢 ”。例 求解解因 所以令则有由得新点：第 1步第 2步因 令沿 方向搜索，得迭代：经 5次迭代后得解点而本题的精确最优解是：搜索过程见 P.32表 1.11。例 1.24例 1.23罚函数法利用约束函数，引入辅助函数思路：二、有约束模型的解构造非负函数：作 罚函数：所有约束都满足至少有一个不满足作辅助函数： 罚因子 (充分大）原模型化为无约束模型：对给定的 M1, 求得最优解 X1=X(M1) 当 时， 当 时，否则，加大罚因子 ，迭代， 若满足终止条件（ X1近似可行）可以证明 ：对于因此，该方法也称为 外点法 。#例 用罚函数法求解解 构造辅助函数构造辅助函数在图中阴影区域内（在图中阴影区域内（ S外的点），用微外的点），用微分法求分法求 F的极小值点。的极小值点。即即令令注注 ：若不便用微分法求解，则可用无约束模型的搜：若不便用微分法求解，则可用无约束模型的搜索法对给定的索法对给定的 Mi（或任意的（或任意的 M）求）求 X(Mi),用终止条用终止条件终止计
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